四邊形1．如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，連接EQ．（1）求證：EA是∠QED的平分線；（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的長(zhǎng)．【詳解】證明：（1）∵將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，在△AQE和△AFE中，，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ＝∠AEF，
∴EA是∠QED的平分線；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠ABQ＝45°，∴∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2＝1+9＝10，∴EF＝．2．四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；（2）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是35°時(shí)，求∠EFC的度數(shù)．【詳解】解：（1）證明：如圖，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
四邊形ABCD為正方形，∵∠DCA＝∠BCA＝45°，∴EQ＝EP，矩形DEFG，∠PED+∠PEF＝90°，∵∠QEF+∠PEF＝90°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt≌Rt（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）①當(dāng)DE與AD的夾角為35°時(shí)，如圖2，
∵∠ADE＝35°，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝55°，②當(dāng)DE與DC的夾角為35°時(shí)，如圖3，即交于，∠EDC＝∠EFC＝35°，綜上所述：∠EFC＝35°或125°．3．如圖所示，四邊形中，，以，為邊作平行四邊形，的延長(zhǎng)線交于，求證：.
【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)FC交AD于點(diǎn)G，∵四邊形CDEF為平行四邊形，∴CF∥DE，CF=DE，又∵CE∥AD，∴四邊形CEDG為平行四邊形，∴CG=DE，∴CF=CG，且BC∥AG，∴BC是△FAG的中位線，∴B為AF的中點(diǎn)，即AB=FB．4．如圖1，已知正方形和正方形，點(diǎn)在同一直線上，連接，，與相交于點(diǎn)．（1）求證：．（2）如圖2，是邊上的一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．
①求證：；②若，直接寫出的值．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形CEGF是正方形，∴BC=CD=AB，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°∴△BCE≌△DCF（SAS），∴BE=FD；（2）①∵四邊形ABCD和四邊形CEGF是正方形，∴CD//GE，GF=EC∴，∴∴∵∴∵BC=CD∴②∵∴∵
∴∵AB=CD∴5．如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，BE＝BF＝，連結(jié)AE，CF．（1）求證：△ABE≌△CBF．（2）如圖2，連結(jié)DE，當(dāng)DE＝BE時(shí)，求S△BCF的值．（3）如圖3，當(dāng)Rt△BEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部，且線段AE與線段CF存在交點(diǎn)G時(shí)，若M是CD的中點(diǎn)，P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)滿足MP+PG的值最小時(shí)，求MP的值．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，又∵BE＝BF，AB＝BC，∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△CBF，∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∴△ADE≌△ABE（SSS），∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°，∴AH＝EH，∵BE2＝BH2+EH2，∴10＝BE2+（4﹣BE）2，∴BE＝1或3，當(dāng)BE＝1時(shí)∴S△ABE＝S△CBF＝AB×EH＝×4×1＝1，當(dāng)BE＝3時(shí)∴S△ABE＝S△CBF＝AB×EH＝×4×3＝6，（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AE于K，
由（1）同理可得△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF，∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)G，點(diǎn)C，點(diǎn)D四點(diǎn)共圓，∴∠ACD＝∠AGD＝45°，∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°，∴PK＝GK＝PG，∴MP+PG＝MP+PK，∴當(dāng)點(diǎn)M，點(diǎn)P，點(diǎn)K三點(diǎn)共線時(shí)，且點(diǎn)E，點(diǎn)G重合時(shí)，MP+PG值最小，如圖4，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥CF于Q，
∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝，∵CQ＝＝＝，∴CE＝CQ﹣EQ＝﹣，∵M(jìn)K⊥AE，CE⊥AE，∴MK∥CE，∴，又∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，∴DC＝2DM，∴MP＝CE＝．6．如圖，在正方形中，點(diǎn)、均為中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接，證明：．
【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)至，使得，連接，在正方形中，、分別是、的中點(diǎn)，，在和中，，，，在和中，，，，
，，是等腰直角三角形，．即．7．如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作于G，延長(zhǎng)BG至點(diǎn)F使．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求AB的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：因?yàn)锳BCD是正方形所以
在三角形BGA中，因?yàn)椋?）過(guò)點(diǎn)C作，因?yàn)锳BCD是正方形，所以AB=BC，由（1）所以在三角形CHF中，，所以．（3）在三角形CHF中，
．8．已知正方形ABCD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)G在AD，點(diǎn)F在射線BC上，點(diǎn)H在CD上．（1）如圖1，DE⊥FG，求證：BF＝AE+AG；（2）如圖2，DE⊥DF，P為EF中點(diǎn)，求證：BE＝PC；（3）如圖3，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若CD＝4，BF＝DG＝1，則線段EH的長(zhǎng)為 ?。驹斀狻拷猓海?）如圖1，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC于M，則∠GMB＝∠GMF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，∴四邊形ABMG是矩形，∴AG＝BM，
∵DE⊥GF，∴∠ADE+∠DGF＝∠ADE+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DGF，又∠DGF＝∠MFG，∴∠AED＝∠MFG，∴△DAE≌△GMF（AAS），∴AE＝MF，則BF＝BM+MF＝AG+AE；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EQ∥PC，交BC于點(diǎn)Q，∵P是EF的中點(diǎn)，∴PC是△EQF的中位線，則EQ＝2PC，QC＝CF，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，又∵∠A＝∠DCF＝90°，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF＝QC，
∵AB＝BC，∴BE＝BQ，則∠BEQ＝45°，∴EQ＝BE，則2PC＝BE，∴BE＝PC；（3）如圖3所示，作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，則四邊形BFGM和四邊形BEHN是平行四邊形，∴BM＝GF，BF＝MG＝1，BN＝EH，∵DG＝1，CD＝AD＝4，∴AM＝2，延長(zhǎng)DC到P，使CP＝AM＝2，∵BA＝BC，∠A＝∠BCP＝90°，∴△BAM≌△BCP（SAS），∴∠ABM＝∠CBP，BM＝BP，∵∠GOH＝45°，BN∥EH，BM∥GF，∴∠MBN＝45°，
∴∠ABM+∠CBN＝45°，∴∠CBP+∠CBN＝45°，即∠PBN＝45°，∴△MBN≌△PBN（SAS），∴MN＝PN，設(shè)CN＝x，則MN＝PN＝CN+PC＝x+2，DN＝4﹣x，在Rt△DMN中，由DM2+DN2＝MN2可得22+（4﹣x）2＝（x+2）2，解得x＝，則EH＝BN＝＝＝，故答案為：．9．已知：四邊形為正方形，是等腰，．（1）如圖：當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，若邊、分別與、相交于點(diǎn)、，連接，試證明：．
（2）如圖，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，若邊、分別與、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)、，連接．①試寫出此時(shí)三線段、、的數(shù)量關(guān)系并加以證明．②若，，求：正方形的邊長(zhǎng)以及中邊上的高．【詳解】（1）證明：如圖1，延長(zhǎng)CB到G，使BG=DF，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠ABC=∠DAB=∠ABG=90°，AD=AB，在△ADF和△ABG中，，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AG=AF，∠DAF=∠BAG，
∵∠EAF=45°，∴∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠EAB+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠EAG，∵AE=AE，∴△EAF≌△EAG，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．（2）①三線段、、的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下:如圖2，在上取一點(diǎn)，使連接，同(1)可證，∴AG=AF，∠DAF=∠BAG，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，
在和中，∴，∴，∵，∴．②如圖2，過(guò)F作FH⊥AE于H，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是x，則BC=CD=x，∵CE=6，DF=BG=2，∴EF=GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4，在Rt△FCE中，由勾股定理得：EF2=FC2+CE2，∴（x+4）2=（x+2）2+62，解得：x=6，∴AG=AF=，∵∠FAM=45°，∴FH=AF==，，即△AEF中AE邊上的高為．10．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD中，作∠ACD的平分線交AD于F，過(guò)F作直線AC的垂線交AC于P，交CD的延長(zhǎng)線于Q，又過(guò)P作AD的平行線與直線CF交于點(diǎn)E，連接DE，AE，PD，PB．
（1）求AC，DQ的長(zhǎng)；（2）四邊形DFPE是菱形嗎？為什么？（3）探究線段DQ，DP，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明探究結(jié)論；（4）探究線段PB與AE之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明探究結(jié)論．【詳解】解：（1）AC=，∵CF平分∠BCD，F(xiàn)D⊥CD，F(xiàn)P⊥AC，∴FD=FP，又∠FDQ=∠FPA，∠DFQ=∠PFA，∴△FDQ≌△FPA（ASA），∴QD=AP，∵點(diǎn)P在正方形ABCD對(duì)角線AC上，∴CD=CP=a，∴QD=AP=AC-PC=；（2）∵FD=FP，CD=CP，∴CF垂直平分DP，即DP⊥CF，∴ED=EP，則∠EDP=∠EPD，∵FD=FP，∴∠FDP=∠FPD，而EP∥DF，∴∠EPD=∠FDP，
∴∠FPD=∠EPD，∴∠EDP=∠FPD，∴DE∥PF，而EP∥DF，∴四邊形DFPE是平行四邊形，∵EF⊥DP，∴四邊形DFPE是菱形；（3）DP2+EF2=4QD2，理由是：∵四邊形DFPE是菱形，設(shè)DP與EF交于點(diǎn)G，∴2DG=DP，2GF=EF，∵∠ACD=45°，F(xiàn)P⊥AC，∴△PCQ為等腰直角三角形，∴∠Q=45°，可得△QDF為等腰直角三角形，∴QD=DF，在△DGF中，DG2+FG2=DF2，∴有（DP）2+（EF）2=QD2，整理得：DP2+EF2=4QD2；（4）∵∠DFQ=45°，DE∥FP，∴∠EDF=45°，又∵DE=DF=DQ=AP=，AD=AB，
∴△ADE≌BAP（SAS），∴AE=BP，∠EAD=∠ABP，延長(zhǎng)BP，與AE交于點(diǎn)H，∵∠HPA=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠DAE，∠PAB+∠DAE+∠HAP=90°，∴∠HPA+∠HAP=90°，∴∠PHA=90°，即BP⊥AE，綜上：BP與AE的關(guān)系是：垂直且相等.11．如圖1，在一個(gè)平面直角三角形中的兩直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。在△ABC中，∠C=90°，則AC2+BC2＝AB2．我們定義為“商高定理”。（1）如圖1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，試求AC＝__________；（2）如圖2，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD．試證明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊BC和斜邊AB為邊向外作正方形BCFG和正方形ABED，連結(jié)CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．
【詳解】解：（1）：∵在△ABC中，∠C=90°中，BC=4，AB=5，∴AC==3，故答案為：3；（2）證明：在Rt△DOA中，∠DOA=90°，∴OD2+OA2=AD2，同理：OD2+OC2=CD2，OB2+OC2=BC2，OA2+OB2=AB2，∴AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2，AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2，∴AB2+CD2=AD2+BC2?；（3）解：連接CG、AE，設(shè)AG交CE于I，AB交CE于J，如圖3所示：∵四邊形BCFG和四邊形ABED都是正方形，∴∠GBC=∠EBA=90°，AB=BE=5，BG=BC=4，∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA，∴∠ABG=∠EBC，在△ABG和△EBC中，，∴△ABG≌△EBC（SAS），∴∠BAG=∠BEC，∵∠AJI=∠EJB，
∴∠EBJ=∠AIJ=90°，∴AG⊥CE，由（2）可得：AC2+GE2=CG2+AE2，在Rt△CBG中，CG2=BC2+BG2，即CG2=42+42=32，在Rt△ABE中，AE2=BE2+AB2，即AE2=52+52=50，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，即52=AC2+42，∴AC2=9，∵AC2+GE2=CG2+AE2?，?即9+GE2=32+50，∴GE2=73．12．已知：在正方形ABCD中，AB＝3，E是邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），連接AE，點(diǎn)H是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，交AE于點(diǎn)G，交DC于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝BF；（2）過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AE，交∠DCH的平分線于點(diǎn)M，連接FM，判斷四邊形BFME的形狀，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，∠EMC的正弦值為，求四邊形AGFD的面積．【詳解】
解：證明：（1）∵在正方形ABCD中，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，∵∠BAE+∠ABF＝90°，∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（ASA）∴AE＝BF，（2）四邊形BFME是平行四邊形理由如下：如圖1：在AB上截取BN＝BE，∵△ABE≌△BCF∴∠BAE＝∠FBC∵AB＝BC，BN＝BE，∴AN＝EC，∠BNE＝45°∴∠ANE＝135°∵CM平分∠DCH∴∠DCM＝∠MCH＝45°∴∠ECM＝135°＝∠ANE∵AE⊥EM
∴∠AEB+∠MEC＝90°，∠AEB+∠BAE＝90°∴∠BAE＝∠MEC，且AN＝EC，∠ANE＝∠DCM∴△ANE≌△ECM（SAS）∴AE＝EM，∠BAE＝∠MEC∴∠BAE＝∠FBC＝∠MEC∴BF∥EM，且BF＝AE＝EM∴四邊形BFME是平行四邊形（3）如圖2，連接BD，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BD于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝3，∠DBC＝∠BDC＝45°，∴BD＝3，∠DBF+∠FBC＝45°∵∠MCH＝∠MEC+∠EMC＝45°，∠FBC＝∠MEC∴∠EMC＝∠DBF∴sin∠EMC＝sin∠DBF＝＝∴設(shè)NF＝a，BF＝10a，∵∠BDC＝45°，F(xiàn)N⊥BD
∴DN＝NF＝a，DF＝NF＝2a∴BN＝3﹣a∵BF2﹣NF2＝BN2，∴98a2＝（3﹣a）2，∴a＝∴DF＝2×＝∴FC＝∵△ABE≌△BCF∴BE＝CF＝，∴EC＝，BF＝＝∵∠FBC＝∠FBC，∠BGE＝∠BCF∴△BGE∽△BCF∴∴∴BG＝，GE＝∴S四邊形ADFG＝S四邊形ADEC﹣S四邊形ECFG，∴S四邊形ADFG＝
