圓1．【解析】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，又∵OC為半徑，∴AE=ED；（2）解：連接CD，OD，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°，∵OC∥BD，∴∠OCB=∠CBD=30°，∴∠COD=2∠CBD=60°，∠ABD=60°，∴∠AOD=120°，∵AB=6，∴BD=3，AD=3，∵OA=OB，AE=ED，∴OE＝BD＝，∴S陰影=S扇形AOD-S△AOD==．2．【解析】（1）和是所對(duì)圓周角，；AB是圓的直徑，， 在中，，，，，，AE是⊙O的切線．（2）如圖：AB是圓的直徑，DC平分∠ACB，，，，，是直角三角形；，，．3．【解析】（1）證明，．∵平分，， ，．，，∴是的切線；（2）證明：連接NE，∵為的直徑，∴．，．，，，．4．【解析】解：（1）連接DN，ON ∵⊙O的半徑為，∴CD=5∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，∴BD=CD=AD=5，∴AB=10，∴BC==8∵CD為直徑∴∠CND=90°，且BD=CD∴BN=NC=4（2）∵∠ACB=90°，D為斜邊的中點(diǎn)，∴CD=DA=DB=AB，∴∠BCD=∠B，∵OC=ON，∴∠BCD=∠ONC，∴∠ONC=∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE為⊙O的切線． 5．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，AB=8cm，∠BAC=30°，點(diǎn)D是弦AC上的一點(diǎn)．（1）若OD⊥AC，求OD長；（2）若CD=2OD，判斷形狀，并說明理由．【解析】解：（1）AB為⊙O的直徑，AB=8cm，∠BAC=30°，OD⊥AC，，（2）是等腰三角形．理由如下：如圖，過作于連接 設(shè)則由勾股定理可得：是等腰三角形．6．已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過點(diǎn)C作AB的垂線交⊙O于點(diǎn)D，垂足為E點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)AE=4，BE=2時(shí)，求CD的長度；（2）如圖2，連接AC，BD，點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)．求證：ME⊥AC． 【解析】解：（1）如圖1，連接OC．∵AE=4，BE=2，∴AB=6，∴CO=AO=3，∴OE=AE-AO=1，∵CD⊥AB，∴CE=∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE=DE，∴CD=2CE=．（2）證明：如圖2，延長ME與AC交于點(diǎn)N． ∵CD⊥AB，∴∠BED=90°．∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，∴EM=BD=DM，∴∠DEM=∠D，∴∠CEN=∠DEM=∠D．∵∠B=∠C，∴∠CNE=90°，即ME⊥AB．7．如下圖所示，在直角坐標(biāo)系中，以為圓心的與軸相交于兩點(diǎn)，與軸相交于兩點(diǎn)，連接． （1）上有一點(diǎn)，使得．求證；（2）在（1）的結(jié)論下，延長到點(diǎn)，連接，若，請(qǐng)證明與相切；（3）如果，的半徑為2，求（2）中直線的解析式．【解析】解：（1）由題意可知，，又因?yàn)?，所以，故∽，所以，?）連接，則，因?yàn)?，，故，即，所以與相切．（3），，所以，，所以，均為等邊三角形，它們的高分別是，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為， 設(shè)的直線為，則，所以，所以直線的解析式為．8．如圖1，CD是⊙O的直徑，且CD過弦AB的中點(diǎn)H，連接BC，過弧AD上一點(diǎn)E作EF∥BC，交BA的延長線于點(diǎn)F，連接CE，其中CE交AB于點(diǎn)G，且FE＝FG．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）如圖2，連接BE，求證：BE2＝BG?BF；（3）如圖3，若CD的延長線與FE的延長線交于點(diǎn)M，tanF＝，BC＝5，求DM的值．【解析】（1）連接OE，則∠OCE＝∠OEC＝，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝， ∵H是AB的中點(diǎn)，∴CH⊥AB，∴∠GCH＋∠CGH＝＋＝90°，∴∠FEO＝∠FEG＋∠CEO＝＋＝90°，∴EF是⊙O的切線；（2）∵CH⊥AB，∴∴∠CBA＝∠CEB，∵EF∥BC，∴∠CBA＝∠F，故∠F＝∠CEB，∴∠FBE＝∠GBE，∴△FEB∽△EGB，∴∴；（3）如圖2，過點(diǎn)F作FR⊥CE于點(diǎn)R， 設(shè)∠CBA＝∠CEB＝∠GFE＝，則tan＝，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCG＝，故△BCG為等腰三角形，則BG＝BC＝5，在Rt△BCH中，BC＝5，tan∠CBH＝tan＝，則sin＝，cos＝，CH＝BCsin＝5×＝3，同理HB＝4；設(shè)圓的半徑為r，則OB2＝OH2＋BH2，即r2＝（r﹣3）2＋（4）2，解得：r＝；GH＝BG﹣BH＝5﹣4＝，tan∠GCH＝，則cos∠GCH＝，則tan∠CGH＝3＝tan，則cos＝，連接DE，則∠CED＝90°，在Rt△CDE中cos∠GCH＝，解得：CE＝，在△FEG中，cos＝， 解得：FG＝；∵FH＝FG＋GH＝，∴HM＝FHtan∠F＝×＝；∵CM＝HM＋CH＝，∴MD＝CM﹣CD＝CM﹣2r＝．9．（1）如圖①，的頂點(diǎn)O重合，且，則∠AOB+∠COD=______°；（直接寫出結(jié)果）（2）連接，若分別是四邊形的四個(gè)內(nèi)角的平分線.①如圖②，如果，那么的度數(shù)為_______；（直接寫出結(jié)果）②如圖③，若，與平行嗎？為什么？【答案】（1）180；（2）①；②，理由見解析.【解析】（1）,可得；（2）①結(jié)合,可得；②， 理由是：因?yàn)榉謩e是四邊形的四個(gè)內(nèi)角的平分線，所以.所以在四邊形中，.所以在中，.在中，.所以.所以所以.因?yàn)?，所以在中?因?yàn)?，所?所以.所以10．如圖1，設(shè)是一個(gè)銳角三角形，且，為其外接圓，分別為其外心和垂心，為圓直徑，為線段上一動(dòng)點(diǎn)且滿足．（1）證明：為中點(diǎn)； （2）過作的平行線交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，證明：；（3）直線與圓的另一交點(diǎn)為（如圖2），以為直徑的圓與圓的另一交點(diǎn)為．證明：若三線共點(diǎn)，則；反之也成立．【解析】解：（1）連接，則，又為垂心∴，∴∴四邊形為平行四邊形∴，又為中點(diǎn)∴為中點(diǎn)（2）過作連接，由（1）可知四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形∵∴∴為垂心∴ ∴（3）設(shè)與交點(diǎn)為由（1）可知四邊形為平行四邊形∴為直徑中點(diǎn)而圓與圓相交弦為∴∴設(shè)則為垂心∴三線共點(diǎn)三點(diǎn)共線11．如圖，是的直徑，是的弦，交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，垂足為，．（1）求證：；（2）點(diǎn)在的延長線上，連接． ①求證：與相切；②當(dāng)時(shí)，直接寫出的長．【解析】（1）證明：，即（2）①連接 即是的半徑與相切②如圖，∵BC為直徑，EF⊥AB，∴∠BAC=∠BFE=90°，∴AC∥FE，∴，∵CE=4，∴BE=10，∴BC=14， ∴OA=OC=7，∴，在Rt△AOE中，由勾股定理，得，∵，，∴△AEO∽△GEA，∴，即，∴，∴．12．如圖，是的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接交于，連接，交于、交于點(diǎn)，已知，，求的長．【解析】解：（1）連接，∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)， ∴弧弧∴∵∴；（2）延長交于點(diǎn)，連接．∵，是的直徑∴弧弧∵弧弧∴弧弧∴∴；（3）連接∵是的直徑∴設(shè)∴∵弧弧∴∵∴∴∴∴ 連接，作于點(diǎn)∵∴，，∴∵弧弧∴，∵是的直徑，∴∴∴∴，∴由（1）知，，∴，∴∴∵∴，∴，，作于點(diǎn)，連接∴∴，∴，∴，四邊形是矩形，∴．