和長(zhǎng)度有關(guān)的最值1．如圖，一只螳螂在樹(shù)干的點(diǎn)處，發(fā)現(xiàn)它的正上方點(diǎn)處有一只小蟲(chóng)子，螳螂想捕到這只蟲(chóng)子，但又怕被發(fā)現(xiàn)，于是就繞到蟲(chóng)子后面吃掉它，已知樹(shù)干的半徑為，，兩點(diǎn)的距離為，求螳螂爬行的最短距離（π取3）．【解析】解：將圓柱形樹(shù)干的側(cè)面如圖所示展開(kāi)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得AB即為螳螂爬行的最短距離AF=2π×10≈60cm，BF=45cm∴cm答：螳螂爬行的最短距離為75cm．2．如圖，在△中，，的平分線交于；若，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，求長(zhǎng)度的最小值．【解析】解：由點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，要使DP的長(zhǎng)度最小，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，,∴DP⊥AC，如圖所示：∵AD平分∠BAC，∠ABC=90°，∴BD=DP，∵BD=3，∴DP=3，即DP的最小值為3．3．如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為下方的一動(dòng)點(diǎn)，．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)到的最大距離；（3）當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求四邊形的面積．【解析】是等邊三角形，又,;取的中點(diǎn)，連接:∠ACB=90°，AB=2,又點(diǎn)為下方的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大為連接為等邊三角形，.根據(jù)三角形三邊關(guān)系即共線時(shí)，最大，的最大長(zhǎng)度為此時(shí)，四邊形的面積為．,4．已知拋物線與軸交于點(diǎn)，且．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，均在該拋物線上，且，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）點(diǎn)為拋物線在直線下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】解：（1）把代入，即，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：，=則頂點(diǎn)．（2）由（1）知拋物線的對(duì)稱軸，所以點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上,∵∴的取值范圍為（3）令y=0,即=0，解得x1=1,x2=3,∴C（3,0）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得解得：∴直線的表達(dá)式為：，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，∴則，∵，故有最大值，此時(shí)，,故點(diǎn)．5．某班級(jí)在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線上存在點(diǎn)P，使得PA十PB的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，則A'B與直線的交點(diǎn)即為P，且PA＋PB的最小值為A'B．請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題；（1）如圖2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，作出點(diǎn)P，使得PA＋PE的值最?。唬?）如圖3，∠AOB=30°，M、N分別為OA、OB上一動(dòng)點(diǎn)，若OP=5，求ΔPMN的周長(zhǎng)的最小值．【解析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交BC于P，如圖所示，點(diǎn)P即為所求；（2）作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)這P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接，分別交OA、OB于M、N，如圖：,根據(jù)“將軍飲馬問(wèn)題”得到ΔPMN的周長(zhǎng)的最小值為，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30，OP=5，∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2，OF=OG=5，∴△FOG為邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，，答：ΔPMN的周長(zhǎng)的最小值為．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、，連接，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，連接，求的最小值．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．,∵、、，∴，．∴為等腰直角三角形．∴．∴．∵，∴此時(shí)的值最小，最小值為的長(zhǎng)．∵，，∴．∴的最小值為．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方形OABC，點(diǎn)，將長(zhǎng)方形OABC沿AC折疊，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，CD邊交x軸于點(diǎn)E，．,（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖2，在直線AC以及y軸上是否分別存在點(diǎn)M，N，使得△EMN的周長(zhǎng)最??？如果存在，求出△EMN周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，作直線AP交直線CD于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P使得△CPQ為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出∠OAP的度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】解：（1）∵四邊形AOCB是矩形，∴OC＝AB＝4，∵∠OAC＝30°∴AC＝2CO＝8，AO＝CO＝4，∠CAB＝60°，∵長(zhǎng)方形OABC沿AC折疊，使得點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，∴AD＝AB＝4，∠CAD＝60°，∴∠DAO＝30°，如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AO于F，,∵DF⊥AO，∠DAO＝30°，∴DF＝AD＝2，AF＝DF＝2，∴OF＝AO﹣AF＝2，∴點(diǎn)D坐標(biāo)（2，﹣2）；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作y軸的對(duì)稱點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作AC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交y軸于點(diǎn)N，與AC交于M，即△EMN的周長(zhǎng)最小值為GH，∵∠OAD＝30°，AD＝4，∠ADC＝90°∴AE＝，∴OE＝，∵點(diǎn)G，點(diǎn)E關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)E，點(diǎn)H關(guān)于AC對(duì)稱，∴點(diǎn)G（﹣，0），點(diǎn)H（，4）∴GH＝，∴△EMN的周長(zhǎng)最小值為8；,（3）存在點(diǎn)P使得△CPQ為等腰三角形，∵∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠OCE＝30°，①若CP＝CQ，如圖3，∵CP＝CQ，∠OCE＝30°，∴∠CPQ＝75°，∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝15°，②若PQ＝CQ時(shí)，如圖4，∵CQ＝PQ，∴∠QPC＝∠PCQ＝30°，,∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝60°；③若CP＝PQ，如圖5，∴∠PCQ＝∠PQC＝30°，∴∠OPA＝60°，且∠OCA＝60°，∴不存在這樣的點(diǎn)P，綜上，滿足條件的點(diǎn)P存在，并且∠OAP=15º或60º．8．如圖1，直線分別與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在一側(cè)作正方（、、、四點(diǎn)始終為逆時(shí)針順序）（1）求直線的解析式；（2）當(dāng)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)恰好落在軸上時(shí)（點(diǎn)除外），求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，，且的兩邊分別交邊和于、兩點(diǎn)，連接，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)和周長(zhǎng)的最小值．,【解析】（1）設(shè)直線解析式為，，兩點(diǎn)在直線上，，，∴的解析式:（2）正方形頂點(diǎn)落于軸上，且點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，將，代入中，得．∴；當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，同法可得；（3）將向左旋轉(zhuǎn)得到，,，，，三點(diǎn)一線，，，在和中，，，，周長(zhǎng)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的周長(zhǎng)存在最小值．即讓最短即可，點(diǎn)到直線最短距離為垂線段長(zhǎng)度，即即可，直線的斜率，設(shè)直線解析式為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，直線解析式為，直線與的交點(diǎn)為（，），故點(diǎn)時(shí)，周長(zhǎng)有最小值為8．9．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，∠AED=90°，將AED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，A′E交AD于P，D′E交CD于Q，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，AED停止轉(zhuǎn)動(dòng)．（1）求線段AD的長(zhǎng)；,（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，試判斷PQ與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）求出從開(kāi)始到停止，線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．【解析】解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°，∴AE＝＝＝，∵∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∴△ABE∽△DEA，∴，∴，∴AD＝5；（2）PQ∥A′D′，理由如下：∵，∠AED＝90°,∴＝＝2，∵AD＝BC＝5，∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，則∠FEC＝90°，∵∠A'ED'＝∠AED＝90°，∴∠PEF＝∠CEQ，∵∠C＝∠PFE＝90°，∴△PEF∽△QEC，∴，∵，∴，∴PQ∥A′D′；（3）連接EM，作MN⊥AE于N，,由（2）知PQ∥A′D′，∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，又∵△PEQ為直角三角形，M為PQ中點(diǎn)，∴PM＝ME，∴∠EPQ＝∠PEM，∵∠EPF＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM＝∠PEM+∠AEA′∴∠EPF＝∠NEM，又∵∠PFE＝∠ENM﹣90°，∴△PEF∽△EMN，∴＝為定值，又∵EF＝AB＝2，∴MN為定值，即M的軌跡為平行于AE的線段，∵M(jìn)初始位置為AD中點(diǎn)，停止位置為DE中點(diǎn)，∴M的軌跡為△ADE的中位線，∴線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)＝＝．10．如圖1，點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B,的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在上，連，，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）連接，猜想，，存在的等量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論．（3）如圖2，延長(zhǎng)到，使，將線段沿直線上下平移，平移后的線段記為，若，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【解析】（1）證明：∵CA=CE，CD=CB，∴∴∵（對(duì)頂角相等）∴∴（2），，存在的等量關(guān)系為：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N,∵∴四邊形CMFN為矩形∵，，CA=CE∴∴CM=CN，AM=EN∴四邊形CMFN為正方形∴∵AM=EN∴∴（3）由題意可知，且∵∴，且∴四邊形為平行四邊形∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，即的值最小,∴點(diǎn)G在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)將軍飲馬模型（或軸對(duì)稱的性質(zhì)），若使，應(yīng)作B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則過(guò)作于點(diǎn)H∴∴∴設(shè)∴，∴∴．11．如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊長(zhǎng)為4，，對(duì)角線與的交點(diǎn)恰好在軸上，點(diǎn)是中點(diǎn)，直線交于．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________；,（2）如圖1，在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，連接．請(qǐng)求出的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，那么在直線上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、為頂．點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】解：（1）如圖1中，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，,，，，，，，，，，，，直線的解析式為，直線的解析式為，，直線的解析式為，由，解得，．故答案為．（2）如圖中，過(guò)點(diǎn)作射線，使得，點(diǎn)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于．,，，，直線的解析式為，，直線的解析式為，由，解得，，，，在中，，，，,，的最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）如圖2中，過(guò)點(diǎn)作交于，連接，．是等邊三角形，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，四邊形是平行四邊形，此時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，四邊形是平行四邊形，此時(shí)，，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或，．12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于A（-1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y,軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)H是直線CE下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H且與y軸平行的直線與BC，CE分別交于點(diǎn)F，G，試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形CHEF的面積最大，求點(diǎn)H的坐標(biāo)及最大面積；（3）若點(diǎn)K為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M（4，m）是該拋物線上的一點(diǎn)，在x軸，y軸上是否存在點(diǎn)P，Q，使四邊形PQKM的周長(zhǎng)最小，若沒(méi)有，說(shuō)明理由；若有，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)．【解析】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0），B（5，0）在拋物線y＝ax2+bx﹣5上，∴，解得，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣4x﹣5，（2）設(shè)H（t，t2﹣4t﹣5），∵CE∥x軸，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為﹣5，∵E在拋物線上，∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，,∴x＝0（舍）或x＝4，∴E（4，﹣5），∴CE＝4，設(shè)直線BC的解析式為y=kx＋c將B（5，0），C（0，﹣5）代入，得解得：∴直線BC的解析式為y＝x﹣5，∴F（t，t﹣5），∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+，∵CE∥x軸，HF∥y軸，∴CE⊥HF，∴S四邊形CHEF＝CE•HF＝﹣2（t﹣）2+，∵-2＜0∴當(dāng)t=時(shí)，S四邊形CHEF最大，最大值為∴H（，﹣）；（3）如圖2，四邊形PQKM的周長(zhǎng)=PM＋PQ＋QK＋KM（其中KM為定值）,∵K為拋物線的頂點(diǎn)，y=x2-4x-5=（x-2）2-9∴K（2，﹣9），∴K關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)K′（﹣2，﹣9），∵M(jìn)（4，m）在拋物線上，∴m=16－16－5=-5∴M（4，﹣5），∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′（4，5），連接K′M′，分別交x軸于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)Q∴此時(shí)PM=PM′，QK=QK′∴此時(shí)四邊形PQKM的周長(zhǎng)=PM＋PQ＋QK＋KM=PM′＋PQ＋QK′＋KM=M′K′＋KM，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)四邊形PQKM的周長(zhǎng)最小設(shè)直線K′M′的解析式為y＝ex＋d將K′、M′的坐標(biāo)代入，得,解得：∴直線K′M′的解析式為y＝，當(dāng)y=0時(shí)，解得x=；當(dāng)x=0時(shí)，解得y=，∴P（，0），Q（0，﹣）．