面積的最值問題1．如圖三角形ABC，BC＝12，AD是BC邊上的高AD＝10．P，N分別是AB，AC邊上的點，Q，M是BC上的點，連接PQ，MN，PN交AD于E．求（1）若四邊形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的長；（2）若四邊形PQMN是矩形，求當(dāng)矩形PQMN面積最大時，求最大面積和PQ、PN的長．【解析】解：（1）設(shè)PQ＝y(tǒng)，則PN＝2y，∵四邊形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴＝，即＝，解得y＝，∴PQ＝，PN＝．（2）設(shè)AE＝x．∵四邊形PQMN是矩形，∴PN∥BC， ∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴＝，∴PN＝x，PQ＝DE＝10﹣x，∴S矩形PQMN＝x（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+30，∴當(dāng)x＝5時，S的最大值為30，∴當(dāng)AE＝5時，矩形PQMN的面積最大，最大面積是30，此時PQ＝5，PN＝6．2．如圖，四邊形的兩條對角線、互相垂直，，當(dāng)、的長是多少時，四邊形的面積最大？【解析】解：設(shè)AC=x，四邊形ABCD面積為S，則BD=10-x，則：， ∴當(dāng)x=5時，S最大=，所以當(dāng)AC=BD=5時，四邊形ABCD的面積最大．3．已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，AD上，AH＝2，連接CF．（1）當(dāng)四邊形EFGH為正方形時，求DG的長；（2）當(dāng)DG＝6時，求△FCG的面積；（3）求△FCG的面積的最小值．【解析】解：（1）∵四邊形EFGH為正方形，∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS），∴DG=AH=2；（2）過F作FM⊥DC，交DC延長線于M，連接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE， ∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG（AAS），∴FM=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點F到直線CD的距離始終為定值2，因此S△FCG=×FM×GC=×2×（7-6）=1；（3）設(shè)DG=x，則由（2）得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值為7-，此時DG=，∴當(dāng)DG=時，△FCG的面積最小為（7-）．4．如圖，已知點P是∠AOB內(nèi)一點，過點P的直線MN分別交射線OA，OB于點M，N，將直線MN繞點P旋轉(zhuǎn)，△MON的形狀與面積都隨之變化．（1）請在圖1中用尺規(guī)作出△MON，使得△MON是以O(shè)M為斜邊的直角三角形；（2）如圖2，在OP的延長線上截取PC＝OP，過點C作CM∥OB交射線OA于點M，連接MP并延長交OB于點N．求證：OP平分△MON的面積； （3）小亮發(fā)現(xiàn)：在直線MN旋轉(zhuǎn)過程中，（2）中所作的△MON的面積最小．請利用圖2幫助小亮說明理由．【解析】（1）①在OB下方取一點K，②以P為圓心，PK長為半徑畫弧，與OB交于C、D兩點，③分別以C、D為圓心，大于CD長為半徑畫弧，兩弧交于E點，④作直線PE，分別與OA、OB交于點M、N，故△OMN就是所求作的三角形；（2）∵CM∥OB，∴∠C＝∠PON，在△PCM和△PON中，，∴△PCM≌△PON（ASA），∴PM＝PN，∴OP平分△MON的面積； （3）過點P作另一條直線EF交OA、OB于點E、F，設(shè)PF＜PE，與MC交于于G，∵CM∥OB，∴∠GMP＝∠FNP，在△PGM和△PFM中，，∴△PGM≌△PFN（ASA），∴S△PGM＝S△PFN∴S四邊形MOFG＝S△MON．∵S四邊形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF，∴當(dāng)點P是MN的中點時S△MON最?。?．如圖，現(xiàn)有一張矩形紙片，，，點，分別在矩形的邊，上，將矩形紙片沿直線折疊，使點落在矩形的邊上，記為點，點落在處，連接，交于點，連接． （1）求證：；（2）當(dāng)，重合時，求的值；（3）若的面積為，求的取值范圍．【解析】（1）證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN=∠MNC，∵∠MNC=∠PNM，∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN．（2）解：點P與點A重合時，如圖2中， 設(shè)BN=x，則AN=NC=6-x，在Rt△ABN中，AB2+BN2=AN2，即22+x2=（6-x）2，解得x=，∴CN=6-=，，∴，∴，∴．（3）解：當(dāng)MN過點D時，如圖3所示，此時，CN最短，四邊形CMPN的面積最小，則S最小為菱形CMPN=， 當(dāng)P點與A點重合時，CN最長，四邊形CMPN的面積最大，則S最大為，∴．6．某公司對辦公大樓一塊墻面進行如圖所示的圖案設(shè)計．這個圖案由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成的大正方形，設(shè)小正方形的邊長m，直角三角形較短邊長n，且n＝2m﹣4，大正方形的面積為S．（1）求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．（2）若小正方形邊長不大于3，當(dāng)大正方形面積最大時，求m的值．【解析】解：（1）∵小正方形的邊長m，直角三角形較短邊長n，∴直角三角形較長邊長為m+n，∴由勾股定理得：S＝（m+n）2+n2，∵n＝2m﹣4，∴S＝（m+2m﹣4）2+（2m﹣4）2，＝13m2﹣40m+32，∵n＝2m﹣4＞0，∴m＞2，∴S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為S＝13m2﹣40m+32（m＞2）；（2）∵S＝13m2﹣40m+32（2＜m≤3）， ∴S＝13(m-)2+∵m≥時，S隨x的增大而增大，∴m＝3時，S取最大．∴m＝3．7．如圖：已知矩形ABCD中，AB=cm，BC=3cm，點O在邊AD上，且AO=1cm.將矩形ABCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角()，得到矩形A′B′C′D′(1)求證：AC⊥OB；(2)如圖1,當(dāng)B′落在AC上時，求AA′；(3)如圖2，求旋轉(zhuǎn)過程中△CC′D′的面積的最大值.【解析】解：(1)Rt△OAB中，∴∠AOB＝60°Rt△ACD中，∴∠CAD＝30°∴∠OMA＝180°－60°－30°＝90°即AC⊥OB (2)Rt△OAM中，Rt△OAB中，OB′＝OB＝＝2，Rt△OB′M中，B′M＝，BM＝OB－OM＝，Rt△BB′M中，∴，∴(3)如圖，過C點作CH⊥于C′D′點H，連結(jié)OC，則CH≤OC＋OD′只有當(dāng)D′在CO的延長線上時，CH才最大.又C′D′長一定，故此時△CC′D′的面積的最大.而 ∴△CC′D′的最大面積為8．[問題提出]（1）如圖①，在中，為上一點，則面積的最大值是（2）如圖②，已知矩形的周長為，求矩形面積的最大值[實際應(yīng)用]（3）如圖③，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料，經(jīng)測量且木匠師傅從這塊余料中裁出了頂點在邊上且面積最大的矩形求該矩形的面積【解析】解：（1）過點A作AE⊥BC，如圖所示： ∴，∵D為BC上一點，∴，∴要使△ABC的面積最大，則需滿足AD=AE，∵BC=6，AD=4，∴△ABC的面積最大為：；故答案為12；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∵矩形ABCD的周長是12，∴設(shè)AB=x，則有AD=6-x，矩形ABCD的面積為S，則有：，此函數(shù)為二次函數(shù)，由，二次函數(shù)的開口向下，∴當(dāng)x=3時，矩形ABCD的面積有最大值為：；（3）如圖所示： ∵四邊形PQMN是矩形，∴QM=PN，PQ=MN，∠QMN=∠PNM=90°，∵∠B=∠C=60°，∠QMB=∠PNC=90°，∴△BMQ≌△CNP，∴BM=NC，設(shè)BM=NC=x，則有MN=PQ=80-2x，∴，∴，此函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，由可得開口向下，∴當(dāng)x=20時，矩形PQMN的面積有最大，即．9．如圖，已知，是線段上的兩點，，，，以為中心順時針旋轉(zhuǎn)點，以為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點，使，兩點重合成一點，構(gòu)成，設(shè)．（1）求的取值范圍； （2）求面積的最大值．【解析】解：（1）∵，，，∴．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，由三角形的三邊關(guān)系，得解不等式①得，解不等式②得，∴的取值范圍是．（2）如圖，過點作于點，設(shè)，由勾股定理，得，，∵，∴，兩邊平方并整理，得，兩邊平方整理，得．∵的面積為，∴， ∴當(dāng)時，面積最大值的平方為，∴面積的最大值為．10．如圖，已知AB為半圓O的直徑，P為半圓上的一個動點（不含端點），以O(shè)P、OB為一組鄰邊作?POBQ，連接OQ、AP，設(shè)OQ、AP的中點分別為M、N，連接PM、ON．（1）試判斷四邊形OMPN的形狀，并說明理由．（2）若點P從點B出發(fā)，以每秒15°的速度，繞點O在半圓上逆時針方向運動，設(shè)運動時間為ts．①試求：當(dāng)t為何值時，四邊形OMPN的面積取得最大值？并判斷此時直線PQ與半圓O的位置關(guān)系（需說明理由）；②是否存在這樣的t，使得點Q落在半圓O內(nèi)？若存在，請直接寫出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．【解析】（1）四邊形OMPN為矩形，理由如下：∵四邊形POBQ為平行四邊形，∴PQ∥OB，PQ=OB．又∵OB=OA，∴PQ=AO．又∵PQ∥OA，∴四邊形PQOA為平行四邊形， ∴PA∥QO，PA=QO．又∵M、N分別為OQ、AP的中點，∴OM=OQ，PN=AP，∴OM=PN，∴四邊形OMPN為平行四邊形．∵OP=OA，N是AP的中點，∴ON⊥AP，即∠ONP=90°，∴四邊形OMPN為矩形；（2）①∵四邊形OMPN為矩形，∴S矩形OMPN=ON·NP=ON·AP，即S矩形OMPN=S△AOP．∵△AOP的底AO為定值，∴當(dāng)P旋轉(zhuǎn)運動90°（運動至最高點）時，△AOP的AO邊上的高取得最大值，此時△AOP的面積取得最大值，∴t=90÷15=6秒，∴當(dāng)t=6秒時，四邊形OMPN面積最大．此時，PQ與半圓O相切．理由如下：∵此時∠POB=90°，PQ//OB，∴∠OPQ=90°，∴PQ與半圓O相切；②當(dāng)點Q在半圓O上時， ∵四邊形POBQ為平行四邊形，且OB=OP，∴四邊形POBQ為菱形，∴OB=BQ=OQ=OP=PQ，∴∠POQ=∠BOQ=60°，即：∠BOP=120°，∴此時，t=120°÷15°=8秒，當(dāng)點P與點A重合時，t=180°÷15°=12秒，綜上所述：當(dāng)8＜t＜12時，點Q在半圓O內(nèi)．11．如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．點D，E分別是邊AC，BC上的動點，連接DE．設(shè)CD＝x（x＞0），BE＝y(tǒng)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示．（1）求出圖②中線段PQ所在直線的函數(shù)表達式；（2）將△DCE沿DE翻折，得△DME．①點M是否可以落在△ABC的某條角平分線上？如果可以，求出相應(yīng)x的值；如果不可以，說明理由；②直接寫出△DME與△ABC重疊部分面積的最大值及相應(yīng)x的值． 【解析】解：（1）設(shè)線段PQ所在直線的函數(shù)表達式為y＝kx+b，將P（3，4）和Q（6，0）代入得，，解得，∴線段PQ所在直線的函數(shù)表達式為；（2）①如圖1，連接CM并延長CM交AB于點F，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，由（1）得BE＝， ∴CE＝，∴，∵∠DCE＝∠ACB，∴△DCE∽△ACB，∴∠DEC＝∠ABC，∴DE//AB，∵點C和點M關(guān)于直線DE對稱，∴CM⊥DE，∴CF⊥AB，∵，∴6×8＝10×CF，∴CF＝,∵∠C＝90°，CD＝x，CE＝，∴DE＝，∴CM＝，MF＝，過點M作MG⊥AC于點M，過點M作MH⊥BC于點H，則四邊形GCHM為矩形，∵∠GCM+∠BCF＝∠BCF+∠ABC＝90°，∴∠GCM＝∠ABC， ∵∠MGC＝∠ACB＝90°，∴△CGM∽△BCA，∴，即，∴MG＝，CG＝，∴MH＝，（Ⅰ）若點M落在∠ACB的平分線上，則有MG＝MH，即，解得x＝0（不合題意舍去），（Ⅱ）若點M落在∠BAC的平分線上，則有MG＝MF，即，解得x＝，（Ⅲ）若點M落在∠ABC的平分線上，則有MH＝MF，即，解得x＝．綜合以上可得，當(dāng)x＝或x＝時，點M落在△ABC的某條角平分線上．②當(dāng)0＜x≤3時，點M不在三角形外，△DME與△ABC重疊部分面積為△DME的面積，∴，當(dāng)x＝3時，S的最大值為．當(dāng)3＜x≤6時，點M在三角形外，如圖2， 由①知CM＝2CQ＝，∴MT＝CM﹣CF＝，∵PK//DE，∴△MPK∽△MDE，∴，∴，∵，∴，即：，∴當(dāng)x＝4時，△DME與△ABC重疊部分面積的最大值為8．綜合可得，當(dāng)x＝4時，△DME與△ABC重疊部分面積的最大值為8．12．問題提出（1）如圖①，已知線段AB，請以AB為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；（2）如圖②，已知點A是直線l外一點，點B、C均在直線l上，AD⊥l且AD=3，∠BAC=60°，求△ABC面積的最小值；問題解決 （3）如圖③，某園林單位要設(shè)計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=6m，點E、F分別為AB、AD上的點，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值?若存在，請求出面積的最大值；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）如圖，Rt△ACB即為所求．（2）如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過點O作OE⊥BC于點E，則∠BOC=2∠BAC，OA=OB=OC，BE=CE=BC，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，設(shè)OA=OB=OC=r，則OE=r，BC=2BE=r，∵AO+OE≥AD，AD=3，∴r+r≥3，解得r≥2，∴BC=r≥， ∴S△ABC=BC·AD≥××3=，∴△ABC面積的最小值為．（3）存在；如圖，分別延長AB、DC交于點M，則△ADM、△CBM均為等腰直角三角形，∵CB=CD=6m，∴BM=6m，CM=m，AD=DM=（6+）m，∴S四邊形ABCD=S△ADM-S△CBM=DM2-BC2=×（6+）2-×62=（36+）m2．將△CBE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)135°得到△CDE′，則A、D、E′三點共線．∴S四邊形AECF=S四邊形ABCD–（S△CBE+S△CDF）=S四邊形ABCD–S△CE′F∵S四邊形ABCD為定值， ∴當(dāng)S△CE′F取得最小值時，S四邊形AECF取得最大值．∵∠E′CF=135°-90°=45°，∴以E′F為斜邊作等腰Rt△OE′F，則△CE′F的外接圓是以點O為圓心，OF長為半徑的圓，設(shè)△CE′F的外接圓半徑為rm，∴E′F=rm，又∵OC+OD≥CD，∴r+r≥6，∴r≥12-，當(dāng)點O在CD上時，E′F最短，此時E′F=r=（-12）m，∴S△CE′F最小=×（-12）×6=（-36）m2，∴S四邊形AECF最大=S四邊形ABCD-S△CE’F最小=36+-（-36）=72m2．