猜想與證明1．已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖，，，、的長滿足關(guān)系式．（1）求、的長；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使是以為腰的等腰三角形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】解：⑴由.可知，，∴.⑵作軸與點(diǎn)D，
⑶存在.當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，使AP=AC，則為等腰三角形，P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，則為等腰三角形，P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸時(shí)，使AC=CP，則為等腰三角形，，；所以存在，點(diǎn)P或或．2．在平面坐標(biāo)系中，已知線段，且的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）線段與軸的位置關(guān)系是（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使得三角形面積為3.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】解：（1）因?yàn)锳、B點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，所以線段與軸平行；（2），C是線段AB的中點(diǎn)，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（3）在軸上存在點(diǎn)，使得三角形的面積為3.其理由如下：由（2）知：，
即：或，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：或時(shí)，三角形的面積為3.3．探索與證明：（1）如圖①，直線經(jīng)過正三角形的頂點(diǎn)，在直線上取點(diǎn)，，使得，．通過觀察或測(cè)量，猜想線段，與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明；（2）將（1）中的直線繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到如圖②的位置，，．通過觀察或測(cè)量，猜想線段，與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【解析】解：（1）DE=BD＋CE，證明如下∵△ABC為等邊三角形∴AB=CA，∠BAC=60°∵，∴∴∠ABD＋∠BAD=180°－∠ADB=120°∠CAE＋∠BAD=180°－∠BAC=120°∴∠ABD=∠CAE在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE
∴BD=AE，AD=CE∴DE=AE＋AD=BD＋CE；（2）CE=BD＋DE，證明如下∵△ABC為等邊三角形∴AB=CA，∠BAC=60°∵，∴∴∠ABD＋∠BAD=180°－∠ADB=60°∠CAE＋∠BAD=∠BAC=60°∴∠ABD=∠CAE在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE∴BD=AE，AD=CE∵AD=AE＋DE∴CE=BD＋DE．4．如圖，鈍角中，，為上一點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，．（1）作于，交的延長線于．①判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．②求證；（2）若，，求的長．【解析】解：（1）①,理由是：
∵，于，∴，∵作于，，∴，∴．②∵，∴，∴，∴，即，由①知，，∴（）．（2）作交射線于，交的延長線于∵，，∴，由（1）可知，，∵，∴，∴，由勾股定理，得，
∴，∴，，∴，，，∴，∴的長為．5．如圖，在中，，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，，且，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，又的邊上的高為．（1）求的大?。唬?）判斷直線，是否平行？并說明理由；（3）證明：．【解析】（1）∵，，∴，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，，∴，∴，∴；（2）直線，平行．理由：
∵，∴，如圖，取中點(diǎn)，連接，則為等邊三角形，為等腰三角形，∴，∴，∴，即．又∵的邊上的高為，∴，∴；（3）如圖，過點(diǎn)作、的垂線，垂足分別為、．∵，即點(diǎn)在的平分線上，∴．∵，，∴，即點(diǎn)在的平分線上，∴，∴，∴點(diǎn)在的平分線上．又∵，∴，∴，∴，
∴中，，∴．6．如圖，邊長為的正方形中，P是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、C不重合），連接，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，連接，與交于點(diǎn)E，延長線與（或延長線）交于點(diǎn)F．（1）連接，證明：；（2）設(shè)，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，；（3）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解析】（1）證明：∵線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BQ，∴BP=BQ，，∵四邊形ABCD是正方形，∴BA=BC，，∴，∴，即，在△BAP和△BCQ中，∵，∴（SAS），
∴CQ=AP．（2）如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∴，∵DC=AD=，由勾股定理可得：，∵AP=x，∴PC=4-x，∵△PBQ是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，
由，∴，得到，，得x=3或x=1．當(dāng)x=3或1時(shí)，．（3）結(jié)論：PF=EQ，理由是：如圖，當(dāng)F在邊AD上時(shí)，過P作，交AB于G，則，∵，∴，∴，∵PB=BQ，，∴（SAS），∴EQ=PG，∵，∴F、A、G、P四點(diǎn)共圓，連接FG，∴，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF=PG，∴PF=EQ．
當(dāng)F在AD的延長線上時(shí)，如圖所示，同理可得：PF=PG=EQ．7．問題提出：（1）同一平面內(nèi)的兩條線段和，已知，，則線段最大值是______；最小值是______．問題探究：（2）如圖，四邊形中，，，，且，問是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決：（自行作圖并解決）（3）在中，，，以為一邊作正方形，連接，問是否存在最大值或者最小值?若存在，求出相應(yīng)最值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，由三角形的三邊關(guān)系定理得：，，即；②當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，點(diǎn)B在點(diǎn)的中間時(shí)，則，點(diǎn)C在點(diǎn)的中間時(shí)，則，
綜上，線段AC的取值范圍為，則線段最大值是5，最小值是1，故答案為：5，1；（2）存在，求解過程如下：如圖，連接AC，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AE、BE、CE，，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，是等邊三角形，，①當(dāng)點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，，即，；②當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，，，綜上，當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，AC有最大值，最大值為6；（3）如圖，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接EF、BF、CF，四邊形ABCD是正方形，，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
在中，，①當(dāng)點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)，，，即；②當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，，綜上，當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，有最大值，最大值為．8．如圖，在直角中，，，，是邊上的中線，直線，是邊延長線上一點(diǎn)，連接并延長交直線于點(diǎn)，將沿翻折得，射線交直線于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求的長．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的上方時(shí)，求證：．（3）如果的面積為，求的長．
【解析】解：(1)，，在中：，是邊上的中線，，是等邊三角形，，，，在中：，，，，在和中，，，，故答案為：4．(2)由(1)可知：為等邊三角形，，沿翻折得，，，，，，，，又，．(3)過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖所示：
∴四邊形是一個(gè)矩形，∴，∵，∴為的中點(diǎn)，∴，由(1)知：，，得到，∴，∴，∴，∴設(shè)，則，由(2)知：，，∴，代入數(shù)據(jù)：∴，即，解得：或(舍去)，∴的長度為，由(1)知：∴的長度為，故答案為：2．9．如圖，在ABC中，∠ABC＝60°，點(diǎn)D，E分別為AB，BC上一點(diǎn)，BD＝BE，連接DE，DC，AC＝CD．（1）如圖1，若AC＝3，DE＝2，求EC的長；
（2）如圖2，連接AE交DC于點(diǎn)F，點(diǎn)M為EC上一點(diǎn)，連接AM交DC于點(diǎn)N，若AE＝AM，求證：2DE＝MC；（3）在（2）的條件下，若∠ACB＝45°，直接寫出線段AD，MC，AC的等量關(guān)系．【解析】解：（1）如圖1，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，∴∠AGC＝∠AGB＝90°，∵AC＝CD，∴AG＝DG，設(shè)DG＝a，∵BD＝BE，∠ABC＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∴BD＝DE＝2，∴BG＝BD+DG＝2+a，在Rt△BGC中，∠BCG＝90°﹣∠ABC＝30°，∴BC＝2BG=4+2a，CG＝BG＝6+a，在Rt△DGC中，CD＝AC＝3，根據(jù)勾股定理得，CG2+DG2＝CD2，∴(6+a)2+a2＝90，∴a＝或a＝（舍），∴BC＝EC+BE＝EC+BD，∴EC+BD＝2(BD+DG)，∴EC＝BD+2DG＝2+2a＝2+2×＝9﹣；
（2）如圖2，在MC上取一點(diǎn)P，使MP＝DE，連接AP，∵△BDE是等邊三角形，∴∠BED＝60°，BE＝DE，∴∠DEC＝120°，BE＝PM，∵AE＝AM，∴∠AEM＝∠AME，∴∠AEB＝∠AMP，∴△ABE≌△APM（SAS），∴∠APM＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝120°＝∠DEC，過點(diǎn)M作AC的平行線交AP的延長線于Q，∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC，∴∠CDE＝180°﹣∠BDE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC，在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC＝∠CDE，∵M(jìn)Q//AC，∴∠PMQ＝∠ACB，∴∠PMQ＝∠EDC，∴△MPQ≌△DEC（ASA），∴MQ＝CD，∵AC＝MQ，∴△APC≌△QPM（AAS），∴CP＝MP，
∴CM＝MP+CP＝2DE；（3）MC+AD＝AC．如備用圖，在MC上取一點(diǎn)P，使PM＝DE，由（2）知，MC＝2CP＝2DE，△ABE≌△APM，∴AB＝AP，∵∠ABC＝60°，∴△ABP是等邊三角形，∴BP＝AB，∵BE＝BD，∴PE＝AD，∴BC＝BE+PE+CP＝DE+PE+DE＝2DE+AD＝MC+AD，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，設(shè)BH＝m，在Rt△ABH中，AH＝BH＝m，在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠ACB＝45°＝∠ACB，∴CH＝AH＝m，AC＝AH＝m，∵M(jìn)C+AD＝BC＝BH+CH＝m+m＝(1+)m，∴MC+AD＝AC．
10．如圖，已知直線y=kx+8的與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)C，直線y=x+b與直線AB交于點(diǎn)E，線段OA，OC的長滿足．（1）求OA，OC的長；（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在x軸上，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以C，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】解：（1）∵，，∴，∴OA=4，OC=5．（2）∵OA=4，OC=5∴A（4，0），C（-5，0）將C（-5，0）代入y=x+b中，得到0=-5+b∴b=5，y=x+5將A（4，0）代入y=kx+8，得到0=4k+8∴k=-2，y=-2x+8
聯(lián)立得解得∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6）．（3）①取CE的中點(diǎn)D，過D作CE的垂線，交x軸于點(diǎn)P，連接PE．∵C（-5，0），E（1，6）設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b）∵D為CE中點(diǎn)∴a==-2，b==3∴D（-2，3）設(shè)直線PD的的解析式為y=kx+b∵CE⊥PD∴k·1=-1∴k=-1再代入D（-2，3），得到3=-（-2）+b∴b=1，y=-x+1在y=-x+1中，令y=0得到0=-x+1，x=1∴直線與x軸交點(diǎn)P為（1，0）∵E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6）∴PE⊥PC
∴要構(gòu)造的菱形CEPQ為正方形∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，6）②以C為圓心CE長為半徑作圓，交x正半軸于點(diǎn)P，作EQCP且EQ=CE，連接AQ．∵同一個(gè)圓所有半徑相等∴AC=CE又∵EQ平行且等于CP∴四邊形PQCE為菱形∵C（-5，0），E（1，6）∴CE=∴EQ=CE=∴Q（1+，6）③以C為圓心CE長為半徑作圓，交x負(fù)半軸于點(diǎn)P，作EQAC且EQ=CE，連接AQ．∵同一個(gè)圓所有半徑相等∴PC=CE又∵EQ平行且等于CP
∴四邊形PQCE為菱形由②知CE=，E（1，6）∴Q（1-6，6）④以E為圓心CE長為半徑作圓，交x軸正半軸于點(diǎn)P，連接EP，作E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接CQ、PQ．∵同圓半徑相等∴CE=EP又∵Q點(diǎn)與E點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱∴CE=CQ，PE=PQ∴CE=EP=PQ=QC∴四邊形CEPQ為菱形又∵Q點(diǎn)與E點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，E（1，6）∴Q（1，-6）綜上所述，存在Q點(diǎn)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-6）或（-5，6）或（1-6，6）或（1+6，6）．11．如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-3，0)，C(0，3)，交x軸于另一點(diǎn)B，其頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，直線CP交x軸于點(diǎn)E，若△CAE與△OCD相似，求P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如果點(diǎn)F在y軸上，點(diǎn)M在直線AC上，那么在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使得以C，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出菱形的周長；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得此拋物線解析式為：；（2）∵∴頂點(diǎn)∵，，∴，，，∴點(diǎn)E只能在A點(diǎn)左邊①如下圖，若則∴∴∴∵∴
聯(lián)立∴，（舍去）∴；②若則∴AE=2∴∴∵∴聯(lián)立∴，（舍去）得因此，或；
（3）在拋物線上存在點(diǎn)N，使得以C，F(xiàn)，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形①若CF為對(duì)角線，則CF與NM互相垂直平分時(shí)，四邊形CNFM為菱形∵∴∴，四邊形CNFM為正方形∴N點(diǎn)與頂點(diǎn)D重合∵∴，∴菱形CNFM的周長為；②若CF為菱形的一邊，則，，NM=NF時(shí)，四邊形CNFM為菱形過F作FH⊥NM于H，設(shè)直線NM交x軸于G，則,∴NM===NF∵，∴∴NF=FH又FH=OG=∴=∴或∴NF=或NF=菱形周長為或
因此，存在菱形，其周長為，或.12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1，4)，點(diǎn)B(3，2)，連接OA，OB．（1）求直線OB與AB的解析式；（2）求△AOB的面積．（3）下面兩道小題，任選一道作答．作答時(shí)，請(qǐng)注明題號(hào)，若多做，則按首做題計(jì)入總分．①在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB周長最?。舸嬖冢?qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．②在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)C，使以A，O，C，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】解：（1）設(shè)直線OB的解析式為y=mx，∵點(diǎn)B(3，2)，∴，∴直線OB的解析式為，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意可得：
解之得∴直線AB的解析式為y=-x+5．故答案為：直線OB的解析式為，直線AB的解析式為y=-x+5；（2）如圖，延長線段AB交x軸于點(diǎn)D，當(dāng)y=0時(shí)，-x+5=0，x=5，∴點(diǎn)D橫坐標(biāo)為5，OD=5，∴，∴，故答案為：5．（3）①存在，(0，)；過點(diǎn)A作y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接B，交y軸與點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為使△PAB周長最小的點(diǎn)，由作圖可知，點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)B（3，2）則直線B的解析式為：，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為，故答案為：；
②存在．或或．有三種情況，如圖所示：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為，當(dāng)平行四邊形以AO為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，AO的中點(diǎn)坐標(biāo)和BC中點(diǎn)坐標(biāo)相同，∴解得∴點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)平行四邊形以AB為對(duì)角線時(shí)，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和OC的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，則∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)平行四邊形以BO為對(duì)角線時(shí)，BO的中點(diǎn)坐標(biāo)和AC的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，則解得∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：存在，或或．
