二次函數(shù)的綜合1．如圖，直線過軸上一點(diǎn)，且與拋物線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求直線的表達(dá)式及拋物線的表達(dá)式．（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在拋物線上，若，直接寫出的取值范圍．（4）若拋物線上有一點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），使得，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】解：（1）設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得所以直線的解析式為；把代入得，所以拋物線解析式為；（2）解方程組得或，,所以（3）觀察圖象，當(dāng)拋物線在直線的下方時(shí)，滿足，即（4）設(shè)，，，解得或（舍去），．2．已知拋物線的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，圖象的對(duì)稱軸為直線.連接，有一動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求的長度；（2）連接、，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)為何值時(shí)，與相似．【解析】（1）∵對(duì)稱軸，∴，,∴當(dāng)時(shí)，，解得，，即，，∴.（2）經(jīng)過點(diǎn)和的直線關(guān)系式為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.在拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴，當(dāng)時(shí)，的最大值是，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，（3）連，情況一：如圖，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2，∴,情況二：∵點(diǎn)和，∴，即.如圖，當(dāng)時(shí)，，，即為等腰直角三角形，過點(diǎn)作，即點(diǎn)為等腰的中線，∴，，∴，即，解得，（舍去）綜述所述，當(dāng)或－2時(shí)，與相似．,3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知二次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)B(0，4)，與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)D．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求拋物線的頂點(diǎn)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△BOP的面積等于？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)？如果不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】解：(1)把點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(0，4)代入二次函數(shù)中得：解得：所以二次函數(shù)的解析式為：；（2）根據(jù)（1）得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0），=，,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）；(3)存在這樣的點(diǎn)P，設(shè)P的坐標(biāo)為P(x，y)，到y(tǒng)軸的距離為∣x∣∵S△BOP＝•BO•∣x∣∴＝×4•∣x∣解得：∣x∣＝所以x＝±把x＝代入中得：即：y＝，把x＝－代入中得：即：y＝－∴滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為P1(，)、P2()．4．已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為OC中點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上．（1）直接寫出A、B、C、D坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P在第四象限，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，PE交BC、BD于G、H，是否存在這樣的點(diǎn)P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）若直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3在x軸下方有兩個(gè)交點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．,【解析】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3；當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∵D為OC的中點(diǎn)，∴D（0，﹣）；（2）存在，理由如下：設(shè)直線BC的解析式為y＝kx﹣3，將點(diǎn)B（3，0）代入y＝kx﹣3，解得k＝1，∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，設(shè)直線BD的解析式為y＝mx﹣，將點(diǎn)B（3，0）代入y＝mx﹣，解得m＝，∴直線BD的解析式為y＝x﹣，,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），則E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），∴EH＝﹣x+，HG＝x﹣﹣（x﹣3）＝﹣x+，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，當(dāng)EH＝HG＝GP時(shí)，﹣x+＝﹣x2+3x，解得x1＝，x2＝3（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）；（3）當(dāng)直線y＝x+t經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，將點(diǎn)B（3，0）代入y＝x+t，得，t＝﹣1，當(dāng)直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程x+t＝x2﹣2x﹣3只有一個(gè)解，即x2﹣x﹣3﹣t＝0，△＝（）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，解得t＝﹣，∴由圖2可以看出，當(dāng)直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3在x軸下方有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為：﹣＜t＜﹣1時(shí)．,5．已知：如圖，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，，，點(diǎn)是線段上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積最大？【解析】解：（1）把，代入拋物線得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3；（2）由題意可得：拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，要使的值最小，對(duì)稱軸直線x=-1與線段AB的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M，,設(shè)直線AB的解析式為：，把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，解得：，∴直線AB：y=x+3，∴M（-1，2）；（3）連接OP，如圖所示：設(shè)P(t，-t2-2t+3)，其中t＜0，-t2-2t+3＞0，由（1）（2）可得：OA=3，OB=3，△PAO的高為點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離，△PBO的高為點(diǎn)P到x軸的距離，∴=0.5×3×（-t）+0.5×3×（-t2-2t+3）-0.5×3×3=-0.5(t+0.5)2+3.375；∵，即拋物線的開口向下，∴當(dāng)t=-0.5時(shí)，S最大，此時(shí)，點(diǎn)P(-0.5，3.75)．6．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（0，2），圖象的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，C，與二次函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D．,（1）求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式；（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）結(jié)合圖象，請(qǐng)直接寫出時(shí)，x的取值范圍：_____．【解析】解：（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入，得：，解得：，二次函數(shù)的解析式為．二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)、，，解得，一次函數(shù)的解析式為．,（2）聯(lián)立二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式得：，解之得或，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，（3）由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，有．7．平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0），（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和tan∠DAC；（2）點(diǎn)E是直線AC下方的拋物線上一點(diǎn)，且S△ACE＝2S△ACD，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，則點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，D點(diǎn)不變，Q點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長．【解析】解：（1）將A（﹣3，0），B（1，0）分別代入拋物線y＝ax2+bx+3可得：，解得；∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，,∴D（﹣1，4），C（0，3）；∴AC＝，DC＝；∴tan∠DAC＝．（2）如圖1所示，過E作EF//x軸交AC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E（m，﹣m2﹣2m+3），直線AC的表達(dá)式為y＝kx+n，將A（﹣3，0），C（0，3）分別代入y＝kx+n可得：，解得，∴直線AC表達(dá)式為y＝x+3，∴F（﹣m2﹣2m，﹣m2﹣2m+3），∴EF＝m+m2+2m＝m2+3m，∴S△ACE＝（xC﹣xA）EF，∵S△ACD＝AC•CD＝3，∴S△ACE＝（xC﹣xA）EF＝2S△ACD＝6，∴（m2+3m）＝6，解得m1＝1，m2＝﹣4（舍），∴E（1，0）．,（3）如圖2所示當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∵∠ADQ=∠DCA=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°=∠ADC+∠QDC，∴∠DAC=∠QDC，又∵∠DCA=∠DCQ=90°，∴△ADC∽△DQC，∴，∴，,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，∴∠Q'DC=∠ACD=90°，∴DQ'∥CQ，∵∠DAC=∠Q'P'D，∠Q'DP'=∠ACD=90°，∴△ADC∽△P'Q'D，∴，∴，∴DQ'=CQ，∴四邊形DQ'QC是平行四邊形，∴QQ'=CD=．8．已知，點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（異于原點(diǎn)）．（1）填空：用含的代數(shù)式表示______；（2）若是直角三角形，求的值；（3）點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是三等分點(diǎn)時(shí)，求的值．【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（1，1），∴1＝−＋b，∴b＝1＋，故答案為：；（2）∵，∴拋物線的解析式為：,令，則，解得，．∵點(diǎn)異于原點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴，∵，Q（a+1，0）∴，OQ2=，，∵是直角三角形，∴，即∴．（3）如圖，∵＝−（x−）2＋，∴點(diǎn)M（，），,設(shè)直線OM的解析式為y=kx，把M（，）代入得k==∴直線OM的解析式為y＝x，當(dāng)y＝1時(shí)，x＝，∴點(diǎn)N（，1），∵與直線AB交于點(diǎn)P，∴1＝−x2＋（1＋）x，∴x1＝1，x2＝a，∴點(diǎn)P（a，1），∵點(diǎn)N是BP三等分點(diǎn)，∴BN＝2PN，∴1−＝2（−a），解得：a＝1或．9．如圖，在坐標(biāo)系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．拋物線的圖象過C點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P使得△BPC的周長最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；,（3）直線BC解析式為，若平移該拋物線的對(duì)稱軸所在直線l，當(dāng)l移動(dòng)到何處時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分?【解析】（1）解：（1）如圖1所示，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠CAD+∠ACD＝90°．∵∠AOB＝90°∵∠OBA+∠OAB＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠OAB+∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD．在△AOB與△CDA中，∵，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2．∴OD＝OA+AD＝3．,∴C（3，1）．∵點(diǎn)C（3，1）在拋物線yx2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=∴拋物線的解析式為：；（2）把x=0代入，得y=-2，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(0，-2)，∵B(0，2)，∴點(diǎn)B，E關(guān)于x軸對(duì)稱，連接EC交x軸于點(diǎn)P，則BP+PC最小即△BPC的周長最小．設(shè)直線CE解析式為，把點(diǎn)E（0，-2），C（3，1）代入解析式，得，解得，∴直線EC的解析式為y=x-2，，令y=0，解得x=2，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)；,（3）如圖2，設(shè)直線AC解析式為，把點(diǎn)A（1,0），C（3，1）代入解析式，得，解得，∴直線EC的解析式為，．如圖設(shè)直線l與BC、AC分別交于點(diǎn)E、F，在△CEF中，EF邊上的高h(yuǎn)=OD﹣x=3﹣x．由題意得：S△CEF=S△ABC，即EF•h=S△ABC．∴，整理得：（3﹣x）=3．解得x=3﹣或x=3+（不合題意，舍去）．∴當(dāng)直線l解析式為x=3﹣時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分．,10．把函數(shù)的圖象繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到新函數(shù)的圖象，我們稱是關(guān)于點(diǎn)的相關(guān)函數(shù)，是圖象的對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）若，時(shí)，的相關(guān)函數(shù)為______；（2）的值為______（用含的代數(shù)式表示）；（3）若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，且，求的解析式．【解析】（1）∵，，∴函數(shù)為：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），∴繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），∴的相關(guān)函數(shù)為，即，故答案為：；（2）：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），頂點(diǎn)（，）圍繞點(diǎn)P（，0）旋轉(zhuǎn)180°的對(duì)稱點(diǎn)為（，），∴的相關(guān)函數(shù)為：，∴函數(shù)的對(duì)稱軸為：，，故答案為：；,（3）時(shí)，：，，對(duì)稱軸為直線，①當(dāng)時(shí)，∴時(shí)，有最小值，時(shí)，有最大值，則，整理得：，無解；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，有最大值，時(shí)，有最小值，（舍去）；③當(dāng)時(shí)，時(shí)，有最大值，時(shí)，有最小值，，解得：(舍去)或，故：，故的解析式為．,11．已知函數(shù)，（為常數(shù)）．（1）當(dāng)時(shí)，①求此函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)函數(shù)的值隨的增大而增大時(shí)，自變量的取值范圍為________．（2）若已知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，5），求的值，并直接寫出當(dāng)時(shí)函數(shù)的取值范圍．（3）要使已知函數(shù)的取值范圍內(nèi)同時(shí)含有和這四個(gè)值，直接寫出的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，①∵，∴把x＝0代入得．∴此函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）．②當(dāng)x≤時(shí)，配方得∵a＝－1＜0，對(duì)稱軸為直線x＝－1，∴當(dāng)x≤－1，y隨x的增大而增大，符合題意，當(dāng)x＞時(shí)，，配方得，∵a＝1＞0，對(duì)稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大，符合題意，,綜上所述：當(dāng)函數(shù)的值隨的增大而增大時(shí)，自變量的取值范圍為x≤或x≥1；（2）當(dāng)k≥1時(shí)，把（1,5）代入，得，解得無實(shí)根．當(dāng)k＜1時(shí)，把（1,5）代入，得，解得（不合題意，舍去），．∴．∴當(dāng)x＝－2時(shí)，將x＝－2代入得：y＝－4，當(dāng)－2＜x≤0時(shí)，配方得∵a＝1＞0，對(duì)稱軸為直線x＝2，∴當(dāng)－2＜x≤0時(shí)，8≤y＜20，綜上所述：當(dāng)－2≤x≤0時(shí)，y的取值范圍為或8≤y＜20．（3）由題意可知，當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，,則的最大值2k≥－2即可，解得k≥－1，∴－1≤k≤0，當(dāng)0＜k＜2時(shí)，的最大值2k＜4則當(dāng)x＞k時(shí)，的最小值＜4即可，將x＝k，y＝4代入得解得（舍去），∴0＜k＜，當(dāng)k≥2時(shí)，的最大值2k≥4，,如圖，此時(shí)在左邊的圖像上的最大值不小于4，符合題意，∴k≥2，綜上所述：≤k＜或k≥2．12．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸交x軸于E，點(diǎn)D在第一象限，且在拋物線的對(duì)稱軸上，DE＝OC，DM＝．（1）求拋物線的對(duì)稱軸方程；（2）若DA＝DC，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若在直線BM上只存在一個(gè)點(diǎn)Q，使∠PQC＝45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】（1）∵OC＝c，DE＝OC＝c，點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱軸上，∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為c，,∵點(diǎn)M是拋物線頂點(diǎn)，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，則DM＝c﹣（c﹣b2）＝，；解得b＝（舍去），或b＝﹣，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝=5；（2）由（1）可知拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣x+c，令y＝x2﹣x+c＝0，設(shè)A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)為xA、xB，則xA+xB＝10，xAxB＝4c，則AB＝＝＝，在Rt中，AE＝AB，DE＝c，AD＝DC＝5，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，，25＝c2+25﹣4c，化簡得：，解得c＝4，故拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣x+4；（3）如圖，連接PQ、PC、QC，作的外接圓K，連接KP、KC，過點(diǎn)K作y軸的垂線，交y軸于點(diǎn)F，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)N，,設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)P（5，t），∵∠PQC＝45°，故∠PKC＝90°，且PK＝CK＝QK，∵∠FKC+∠NKP＝90°，∠NKP+∠NPK＝90°，∴∠FKC＝∠NPK，∴Rt≌Rt（AAS），∴CF＝NK，PN＝MK，∴4﹣n＝5﹣m，t﹣n＝m，∴n＝m﹣1，t＝2m﹣1，故點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m﹣1），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，2m﹣1）．由拋物線的表達(dá)式知，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，﹣），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），由點(diǎn)B、M的坐標(biāo)得，直線MB的表達(dá)式為y＝x﹣6，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（r，r﹣6），由KC2＝KQ2得，m2+（m﹣1﹣4）2＝（m﹣r）2+（m﹣1﹣r+6）2，整理得：r2﹣（m+）r+20m＝0，關(guān)于r的一元二次方程，∵直線BM上只存在一個(gè)點(diǎn)Q，r的解只有一個(gè)，,∴△＝（m+）2﹣4××20m＝0，解得m＝5或，點(diǎn)P坐標(biāo)（5，t），t＝2m﹣1，當(dāng)m＝5時(shí)，t＝9；當(dāng)m＝時(shí)，t＝；故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，9）或（5，）．