相似三角形1．已知，如圖，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D為BC邊上一點(diǎn)，BD＝1，AD+AC=8．（1）找出圖中的一對(duì)相似三角形并證明；（2）求AC長．【解析】解：（1）△BAD∽△BCA，理由如下：AB＝2，BC＝4，BD＝1，，，又∠B=∠B，△BAD∽△BCA；（2）由（1）得：，即，AD+AC=8，，解得：，．2．如圖，在中，，，是上一點(diǎn)，，是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作，射線交線段于. （1）求證：；（2）當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求線段的長；【解析】（1）證明：∵，∴；∵，，∴.∴.（2）∵（已證）.∴；∵為的中點(diǎn)，，∴.設(shè)，則；又，∴，解得或3.故長為2或3.3．如圖，是一個(gè)照相機(jī)成像的示意圖． （1）如果像高M(jìn)N是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m，拍攝點(diǎn)離景物有多遠(yuǎn)？（2）如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4m，像高不變，則相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為多少？【解析】解：根據(jù)物體成像原理知：△LMN∽△LBA，∴．（1）∵像高M(jìn)N是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m，∴，解得：LD=7．∴拍攝點(diǎn)距離景物7m．（2）拍攝高度AB是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物L(fēng)C=4m，像高M(jìn)N不變，是35mm，∴，解得：LC=70．∴相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為70mm．4．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點(diǎn)M，若∠AFG＝∠ACD． （1）求證：①△MFC∽△MCA；②若AB＝5，AC＝8，求的值．（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，請(qǐng)直接寫出EF長．【解析】（1）①證明：∵∠AFG＝∠ACD，∴∠FCA+∠FAC＝∠FCA+∠MCF，∴∠FAC＝∠MCF，∵∠FMC＝∠CMA，∴△MFC∽△MCA．②解：∵四邊形AEFG，四邊形ABCD都是矩形，∴FG∥AE，CD∥AB，∴∠AFG＝∠FAE，∠ACD＝∠CAB，∵∠AFG＝∠ACD，∴∠FAE＝∠CAB，∵∠AEF＝∠ABC＝90°，∴△AEF∽△ABC，∴＝， ∴＝，∵∠FAE＝∠CAB，∴∠FAC＝∠EAB，∴△FAC∽△EAB，∴＝＝．（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，∵DM＝MC＝2，AD＝3，∴CD＝4，AM＝＝＝，AC＝＝＝5，∵△MFC∽△MCA，∴＝，∴FM＝＝，∴AF＝AM﹣FM＝，∵△AEF∽△ABC，∴＝，∴＝， ∴EF＝．5．已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC的延長線交于點(diǎn)E．（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：ED?EA=EC?EB；（2）如圖2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面積為6，求四邊形ABCD的面積．【解析】解：（1）證明：∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°，∴∠ABE＝∠CDE.又∵∠AEB＝∠CED，∴△EAB∽△ECD，∴，∴．（2）過點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H， ∵CD＝5，cos∠ADC＝，∴DG＝3，CG＝4.∵S△CED＝6，∴ED＝3，∴EG＝6.∵AB＝12，∠ABC＝120°，則∠BAH＝30°，∴BH＝6，AH＝，由（1）得△ECG∽△EAH，∴，∴EH＝，∴S四邊形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝＝．6．如圖，在中，，是高，平分，分別與，相交于點(diǎn)，．（1）求證：．（2）求證：．（3）若，，，求的長． 【解析】證明：（1）為邊上的高，，是的平分線，；（2），，，； （3）如圖，作于，，由，，，，由．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，直線BC和直線OB交于點(diǎn)B，直線AC與直線BC交x軸于點(diǎn)C，OA=4，軸，垂足為點(diǎn)A，AC與OB交于點(diǎn)M．(1)求直線BC的解析式；(2)求陰影部分的面積． 【解析】解：（1），所以點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），又軸，點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，4），設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b，將點(diǎn)B，C坐標(biāo)代入表達(dá)式，得，解得：k=4，b=﹣4，所以直線的表達(dá)式為．(2)軸，∴AB∥x軸，，∴，∵，∴，∴S陰影．8．在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處． （1）如圖1，若BC=2BA，求∠CBE的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)AB=5，且AFFD=10時(shí)，求BC的長；（3）如圖3，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點(diǎn)M，BM交AD于點(diǎn)N，當(dāng)NF=AD時(shí)，求的值．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=90°，∵將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處，∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90°，∵BC=2AB，∴BF=2AB，∴∠AFB=30°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AFB=∠CBF=30°，∴∠CBE=∠FBC=15°；（2）∵將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處， ∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴，∴AF?DF=AB?DE，∵AF?DF=10，AB=5，∴DE=2，∴CE=DC-DE=5-2=3，∴EF=3，∴DF=，∴AF=，∴BC=AD=AF+DF=．（3）過點(diǎn)N作NG⊥BF于點(diǎn)G， ∵NF=AD∴NF=BF，∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，∴△NFG∽△BFA，∴，設(shè)AN=x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN=NG=x，AB=BG=2x，設(shè)FG=y，則AF=2y，∵AB2+AF2=BF2，∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解得y=x，∴BF=BG+GF=．∴．9．如圖，拋物線y＝﹣（x+1）（x﹣n）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，△ABC的面積為5．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過P作PN⊥x軸交BC于M，交拋物線于N．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)MN最大時(shí)，求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間； （3）經(jīng)過多長時(shí)間，點(diǎn)N到點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離相等？【解析】（1）∵拋物線y＝與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C∴A（﹣1，0），B（n，0），C（0，），n＞0∴AB＝n+1，OC＝n由S△ABC＝×AB×OC＝5∴∴∴取正根n＝4∴y＝＝x2+x+2；（2）由（1），B（4，0），C（0，2）∴直線BC為設(shè)M（m,m+2），N（m,m2+m+2）∴MN＝＝＝∴當(dāng)m＝2時(shí)，MN最大 ∴OP＝2∴AP＝3，即經(jīng)過3s，MN最大；（3）如下圖所示，作BC的中垂線，與BC交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)N，∴△CDE～△COB∴由（2），得BC＝2，D（2，1）∴DE＝2CD＝2∴CE＝5∴OE＝3∴E（0，-3）∴直線DE為y＝2x-3由x2+x+2＝2x-3移項(xiàng)整理得：x2+x-5＝0∴x2+x-10＝0取正根x＝ ∴OP＝∴AP＝即經(jīng)過秒，點(diǎn)N到點(diǎn)B、點(diǎn)C的距離相等．10．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】解：（1）四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，，，； （2）四邊形是正方形，，，，同理可得，，，，；（3），，，，，，即，，，，即正方形的邊長為． 11．如圖，函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（0，n）兩點(diǎn)，m，n分別是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n．（Ⅰ）求m，n的值以及函數(shù)的解析式；（Ⅱ）設(shè)拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，連接AB，BC，BD，CD．求證：△BCD∽△OBA；（Ⅲ）對(duì)于（Ⅰ）中所求的函數(shù)y＝﹣x2+bx+c，（1）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，求函數(shù)y的最大值和最小值；（2）設(shè)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的最大值為p，最小值為q，若p﹣q＝3，求t的值．【解析】（I）∵m，n分別是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n，用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴m＝﹣1，n＝3，∴A（﹣1，0），B（0，3），把（﹣1，0），（0，3）代入得，， 解得，∴函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3．（II）證明：令y＝﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸的交點(diǎn)為A（﹣1，0），C（3，0），∴OA＝1，OC＝3，∴對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)D（1，﹣1+2+3），即D（1，4），∴，，，∵CD2＝DB2+CB2，∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，∴∠AOB＝∠DBC，在Rt△AOB和Rt△DBC中，，，∴，∴△BCD∽△OBA；（III）拋物線y＝﹣x2+2x+3的對(duì)稱軸為x＝1，頂點(diǎn)為D（1，4），（1）在0≤x≤3范圍內(nèi)，當(dāng)x＝1時(shí)，y最大值＝4；當(dāng)x＝3時(shí)，y最小值＝0；（2）①當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線完全在對(duì)稱軸的左側(cè)，當(dāng)x＝t時(shí)取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3， 令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．②當(dāng)t+1＝1時(shí)，此時(shí)p＝4，q＝3，不合題意，舍去；③當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線分別在對(duì)稱軸的兩側(cè)，此時(shí)p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+（舍），t2＝1﹣（舍）；或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即（不合題意，舍去）；④當(dāng)t＝1時(shí)，此時(shí)p＝4，q＝3，不合題意，舍去；⑤當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線完全在對(duì)稱軸的右側(cè)，當(dāng)x＝t時(shí)取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．綜上，t＝﹣1或t＝2．12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C為頂點(diǎn)作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，連接BN，射線NM交BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，若點(diǎn)A，M，N在一條直線上，①求證：BN+CM＝AM；②若AM＝4，BN＝，求BD的長；（2）如圖2，若AB＝4，CN＝2，將△CMN繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中射線NM交AB于點(diǎn)H，當(dāng)三角形DBH是直角三角形時(shí)，請(qǐng)你直接寫出CD的長．【解析】證明：（1）①如圖，過點(diǎn)C作CF⊥CN，交AN于點(diǎn)F， ∵△CMN是等腰直角三角形，∴∠CNM＝45°，CM＝MN，∵CF⊥CN，∠ACB＝90°，∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°，∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN，且AC＝BC，∴△ACF≌△BCN（SAS），∴AF＝BN，∵CF＝CN，CM⊥MN，∴MF＝MN＝CM，∴AM＝AF+FM＝BN+CM②∵AM＝4，BN＝，BN+CM＝AM，∴CM＝MN＝，∵△ACF≌△BCN，∴∠CAF＝∠CBN，∵∠CAF+∠ACF＝∠CFN＝45°，∠BCN+∠MCD＝∠MCN＝45°∴∠CAF＝∠MCD，且∠CAF＝∠CBN，∴∠MCD＝∠CBN ∴CM∥BN∴△MCD∽△NBD，∠CMD＝∠BND＝90°∴＝∴MD＝ND∵M(jìn)D+ND＝MN＝∴ND＝在Rt△DNB中，BD＝＝（2）若∠BDH＝90°，如圖，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合，∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝2∴CM＝MN＝∴CD＝，若∠BHD＝90°，如圖， ∵∠BHD＝90°，∠B＝45°，∴∠BDH＝45°∴∠CDN＝45°＝∠N∴CD＝CN＝2．