絕密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)Ⅰ注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1．本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題~第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符。4．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗。參考公式：柱體的體積，其中是柱體的底面積，是柱體的高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1．已知集合，則▲．2．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部是▲．3．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是▲．4．將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是▲．5．如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是▲． 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率是▲．7．已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，，則的值是▲．8．已知=，則的值是▲．9．如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是▲cm.10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是▲．11．設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是▲．12．已知，則的最小值是▲．13．在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是▲． 14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則△PAB面積的最大值是▲．二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．16．（本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點(diǎn)D，使得，求的值．17．（本小題滿分14分） 某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上)．經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關(guān)系式；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關(guān)系式.已知點(diǎn)B到的距離為40米．（1）求橋AB的長(zhǎng)度；（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點(diǎn))．.橋墩EF每米造價(jià)k(萬元)、橋墩CD每米造價(jià)(萬元)(k>0)，問為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？18．（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點(diǎn)B．（1）求的周長(zhǎng)；（2）在x軸上任取一點(diǎn)P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記與的面積分別為S1，S2，若，求點(diǎn)M 的坐標(biāo)．19．（本小題滿分16分）已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．20．（本小題滿分16分）已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ～k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ～3”數(shù)列，且？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．?dāng)?shù)學(xué)Ⅰ試題參考答案一、填空題:本題考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算和基本思想方法.每小題5分,共計(jì)70分.1．2．33．24．5．6．7．8．9．10．11．412．13．或014．二、解答題15．本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分. 證明：因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)槠矫?，平?所以.又,平面,平面,所以平面.又因?yàn)槠矫?所以平面平面.16．本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分14分.解：（1）在中，因?yàn)?，由余弦定理，得，所?在中，由正弦定理，得，所以（2）在中，因?yàn)?所以為鈍角，而,所以為銳角.故則. 因?yàn)?，所以?從而.17．本小題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、用導(dǎo)數(shù)求最值、解方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.滿分14分.解：（1）設(shè)都與垂直，是相應(yīng)垂足.由條件知，當(dāng)時(shí)，則.由得所以（米）.（2）以為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖所示）.設(shè)則.因?yàn)樗?設(shè)則所以記橋墩和的總造價(jià)為， 則，令得所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.答：（1）橋的長(zhǎng)度為120米；（2）當(dāng)為20米時(shí)，橋墩和的總造價(jià)最低.18．本小題主要考查直線方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、分析問題能力和運(yùn)算求解能力.滿分16分.解：（1）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，則.所以的周長(zhǎng)為.（2）橢圓的右準(zhǔn)線為.設(shè)，則，在時(shí)取等號(hào).所以的最小值為. （3）因?yàn)闄E圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，則.所以直線設(shè)，因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線距離等于點(diǎn)到直線距離的3倍.由此得，則或.由得，此方程無解；由得，所以或.代入直線，對(duì)應(yīng)分別得或.因此點(diǎn)的坐標(biāo)為或.19．本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力.滿分16分.解:（1）由條件，得，取，得，所以．由，得，此式對(duì)一切恒成立，所以，則，此時(shí)恒成立，所以．（2）.令，則令，得. 所以.則恒成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立．另一方面，恒成立，即恒成立，也即恒成立．因?yàn)?，?duì)稱軸為，所以，解得．因此，k的取值范圍是（3）①當(dāng)時(shí)，由，得，整理得令則．記則恒成立，所以在上是減函數(shù)，則，即．所以不等式有解，設(shè)解為，因此．②當(dāng)時(shí)，．設(shè)，令，得． 當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．，，則當(dāng)時(shí)，．（或證：．）則，因此．因?yàn)?，所以．③?dāng)時(shí)，因?yàn)?，均為偶函?shù)，因此也成立．綜上所述，．20．本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問題的能力．滿分16分．解：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列是“λ～1”數(shù)列，則，即，也即，此式對(duì)一切正整數(shù)n均成立．若，則恒成立，故，而，這與是等差數(shù)列矛盾．所以．（此時(shí)，任意首項(xiàng)為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）（2）因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列，所以，即．因?yàn)?，所以，則．令，則，即．解得，即，也即，所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列． 因?yàn)椋裕畡t（3）設(shè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，則，即．因?yàn)?，而，所以，則．令，則，即．（*）①若或，則（*）只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個(gè)．（此數(shù)列為1，0，0，0，…）②若，則（*）化為，因?yàn)?，所以，則（*）只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個(gè)．（此數(shù)列為1，0，0，0，…）③若，則的兩根分別在（0，1）與（1，+∞）內(nèi)，則方程（*）有兩個(gè)大于或等于1的解：其中一個(gè)為1，另一個(gè)大于1（記此解為t）．所以或．由于數(shù)列從任何一項(xiàng)求其后一項(xiàng)均有兩種不同結(jié)果，所以這樣的數(shù)列有無數(shù)多個(gè)，則對(duì)應(yīng)的有無數(shù)多個(gè)．綜上所述，能存在三個(gè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，的取值范圍是．?dāng)?shù)學(xué)Ⅱ(附加題)21．【選做題】本題包括A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分） 平面上點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求矩陣的逆矩陣．B．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在圓上（其中，）．（1）求，的值；（2）求出直線與圓的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)．C．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）設(shè)，解不等式．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22．（本小題滿分10分）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)．（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．23．（本小題滿分10分）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．?dāng)?shù)學(xué)Ⅱ(附加題)參考答案21．【選做題】A．[選修4-2：矩陣與變換] 本小題主要考查矩陣的運(yùn)算、逆矩陣等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．滿分10分．解：（1）因?yàn)?，所以解得，所以．?）因?yàn)?，，所以可逆，從而．B．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]本小題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．滿分10分．解：（1）由，得；，又（0，0）（即（0，））也在圓C上，因此或0．（2）由得，所以．因?yàn)?，，所以，．所以公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為．C．[選修4-5：不等式選講]本小題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解和推理論證能力．滿分10分．解：當(dāng)x>0時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得．綜上，原不等式的解集為．22．【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力．滿分10分．解：（1）連結(jié)OC，因?yàn)镃B=CD，O為BD中點(diǎn)，所以CO⊥BD． 又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O–xyz．因?yàn)锽D=2，，AO=2，所以B（1，0，0），D（–1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）．因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以E（0，1，1）．則=（1，0，–2），=（1，1，1），所以．因此，直線AB與DE所成角的余弦值為．（2）因?yàn)辄c(diǎn)F在BC上，，=（–1，2，0）．所以．又，故．設(shè)為平面DEF的一個(gè)法向量，則即取，得，，所以．設(shè)為平面DEC的一個(gè)法向量，又=（1，2，0），則即取，得，，所以．故．所以． 23．【必做題】本小題主要考查隨機(jī)變量及其概率分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯思維能力和推理論證能力．滿分10分．解：（1），，，．（2）當(dāng)時(shí)，，①，②，得．從而，又，所以，．③由②，有，又， 所以，．由③，有，．故，．的概率分布012則．