2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個數(shù)為4.故選：C.【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學(xué)生對交集定義的理解，是一道容易題.2.復(fù)數(shù)的虛部是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出z即可.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.【點晴】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部的定義，是一道基礎(chǔ)題.3.在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】計算出四個選項中對應(yīng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此可得出標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組.【詳解】對于A選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于B選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于D選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選：B.【點睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題. 4.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C【解析】【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計算能力，屬于中等題.5.設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x=2與拋物線C：y2=2px(p>0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標(biāo)為（）A.（，0）B.（，0）C.（1，0）D.（2，0）【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進而求得其焦點坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標(biāo)為，故選：B. 【點睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線的對稱性，點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標(biāo)，屬于簡單題目.6.已知向量a，b滿足，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】計算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及向量模的計算，考查計算能力，屬于中等題.7.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據(jù)余弦定理： 可得，即由故.故選：A.【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A.6+4B.4+4C.6+2D.4+2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個面的面積，即可求得其表面積.【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形根據(jù)立體圖形可得： 根據(jù)勾股定理可得：是邊長為的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得：該幾何體的表面積是：.故選：C.【點睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（）A.–2B.–1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.10.若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（）A.y=2x+1B.y=2x+C.y=x+1D.y=x+【答案】D【解析】【分析】 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.11.設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（）A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.【詳解】，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選：A. 【點睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.12.已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（）A.a400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為、、、的概率分別為、、、；（2）；（3）有，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計算出該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為、、、的概率；（2）利用每組的中點值乘以頻數(shù)，相加后除以可得結(jié)果；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.【詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為，等級為 的概率為；（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為（3）列聯(lián)表如下：人次人次空氣質(zhì)量不好空氣質(zhì)量好，因此，有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，．（1）證明：點在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】【分析】（1）連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進而可證得點在平面內(nèi)；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計算出二面角的余弦值，進而可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）在棱上取點，使得，連接、、、，在長方體中，且，且，，，且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，同理可證四邊形為平行四邊形，且，且，則四邊形為平行四邊形，因此，點在平面內(nèi)；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、 軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，得，，則，，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為.【點睛】本題考查點在平面的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題. 20.已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因為，可得，，根據(jù)離心率公式，結(jié)合已知，即可求得答案；（2）點在上，點在直線上，且，，過點作軸垂線，交點為，設(shè)與軸交點為，可得，可求得點坐標(biāo)，求出直線的直線方程，根據(jù)點到直線距離公式和兩點距離公式，即可求得的面積.【詳解】（1），，根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）點在上，點在直線上，且，，過點作軸垂線，交點為，設(shè)與軸交點為根據(jù)題意畫出圖形，如圖 ，，，又，，，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，，，，設(shè)點為，可得點縱坐標(biāo)為，將其代入，可得：，解得：或，點為或，①當(dāng)點為時，故，， ，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：；②當(dāng)點時，故，，，可得：點為，畫出圖象，如圖 ,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.【點睛】本題主要考查了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和求三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的離心率定義和數(shù)形結(jié)合求三角形面積，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.21.設(shè)函數(shù)，曲線在點(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個絕對值不大于1的零點，證明：所有零點的絕對值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；（2）由（1）可得，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且 ，采用反證法，推出矛盾即可.【詳解】（1）因為，由題意，，即則；（2）由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點中存在一個絕對值大于1的零點，則或，即或.當(dāng)時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即在上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時，，又，由零點存在性定理知在上存在唯一一個零點，即上存在唯一一個零點，在上不存在零點，此時不存在絕對值不大于1的零點，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點的絕對值都不大于1.【點晴】 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)且t≠1），C與坐標(biāo)軸交于A、B兩點．（1）求；（2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AB的極坐標(biāo)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由參數(shù)方程得出的坐標(biāo)，最后由兩點間距離公式，即可得出的值；（2）由的坐標(biāo)得出直線的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可.【詳解】（1）令，則，解得或（舍），則，即.令，則，解得或（舍），則，即；（2）由（1）可知，則直線的方程為，即.由可得，直線的極坐標(biāo)方程為.【點睛】本題主要考查了利用參數(shù)方程求點的坐標(biāo)以及直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程，屬于中檔題.[選修4—5：不等式選講]（10分）23.設(shè)a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． （1）證明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得出證明；（2）不妨設(shè)，由題意得出，由，結(jié)合基本不等式，即可得出證明.【詳解】（1），.均不為，則，；（2）不妨設(shè)，由可知，，，.當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，，即.【點睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.