絕密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第I卷注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：如果事件與事件互斥，那么．如果事件與事件相互獨立，那么．球的表面積公式，其中表示球的半徑．一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先進(jìn)行補集運算，然后進(jìn)行交集運算即可求得集合的運算結(jié)果. 【詳解】由題意結(jié)合補集的定義可知：，則.故選：C.【點睛】本題主要考查補集運算，交集運算，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即可.【詳解】求解二次不等式可得：或，據(jù)此可知：是的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的圖象大致為（）AB. C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點的函數(shù)值排除錯誤選項即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，選項CD錯誤；當(dāng)時，，選項B錯誤.故選：A.【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．4.從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為（） A.10B.18C.20D.36【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直方圖確定直徑落在區(qū)間之間的零件頻率，然后結(jié)合樣本總數(shù)計算其個數(shù)即可.【詳解】根據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間之間的零件頻率為：，則區(qū)間內(nèi)零件的個數(shù)為：.故選：B.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的計算與實際應(yīng)用，屬于中等題.5.若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出正方體的體對角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.【詳解】這個球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對角線的一半，即， 所以，這個球的表面積為.故選：C.【點睛】本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.求多面體的外接球的面積和體積問題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心.6.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關(guān)系.【詳解】因為，，，所以.故選：D.【點睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)冪和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應(yīng)值的范圍.比較指對冪形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時，函數(shù)遞增；當(dāng)時，函數(shù)遞減；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時，函數(shù)遞增；當(dāng)時，函數(shù)遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等. 7.設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由拋物線的焦點可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程．【詳解】由題可知，拋物線的焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得．故選：．【點睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：①的最小正周期為；②是的最大值；③把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．其中所有正確結(jié)論的序號是A.①B.①③C.②③D.①②③【答案】B 【解析】【分析】對所給選項結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為，所以周期，故①正確；，故②不正確；將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，故③正確.故選：B.【點晴】本題主要考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，邏輯分析那能力，是一道容易題.9.已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為與有個不同交點，分三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.【詳解】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根即可，令，即與的圖象有個不同交點. 因為，當(dāng)時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；當(dāng)時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；當(dāng)時，如圖3，當(dāng)與相切時，聯(lián)立方程得，令得，解得（負(fù)值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題. 絕密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)第Ⅱ卷注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_________．【答案】【解析】【分析】將分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，然后利用運算化簡可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.11.在的展開式中，的系數(shù)是_________．【答案】10【解析】【分析】寫出二項展開式的通項公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出． 【詳解】因為的展開式的通項公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題主要考查二項展開式的通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為_________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，進(jìn)而利用弦長公式，即可求得．【詳解】因為圓心到直線的距離，由可得，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查圓的弦長問題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．13.已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為_________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率關(guān)系，即可求出兩球都落入盒子的概率；同理可求兩球都不落入盒子的概率，進(jìn)而求出至少一球落入盒子的概率. 【詳解】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.故答案為：；.【點睛】本題主要考查獨立事件同時發(fā)生的概率，以及利用對立事件求概率，屬于基礎(chǔ)題.14.已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時取等號，結(jié)合,解得，或時，等號成立.故答案為：【點睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，“1”合理變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________． 【答案】(1).(2).【解析】【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，則點（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為, ∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時，取得最小值.故答案為：；.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，角所對的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┣蟮闹?；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理運算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先計算出進(jìn)一步求出，再利用兩角和的正弦公式計算即可.【詳解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得 ，又因為，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角為銳角，由，可得，進(jìn)而，所以.【點晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.17.如圖，在三棱柱中，平面，，點分別在棱和棱上，且為棱的中點．（Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）計算出向量和的坐標(biāo)，得出，即可證明出；（Ⅱ）可知平面的一個法向量為，計算出平面的一個法向量為，利用空間向量法計算出二面角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求解結(jié)果；（Ⅲ）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】依題意，以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得、、、、、、、、.（Ⅰ）依題意，，，從而，所以； （Ⅱ）依題意，是平面的一個法向量，，．設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得．，．所以，二面角的正弦值為；（Ⅲ）依題意，．由（Ⅱ）知為平面的一個法向量，于是．所以，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查利用空間向量法證明線線垂直，求二面角和線面角的正弦值，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.18.已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，并借助，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）利用直線與圓相切，得到，設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出點坐標(biāo)，進(jìn)而求出點坐標(biāo)，再根據(jù)，求出直線的斜率，從而得解.【詳解】（Ⅰ）橢圓的一個頂點為，，由，得，又由，得，所以，橢圓的方程為；（Ⅱ）直線與以為圓心的圓相切于點，所以，根據(jù)題意可知，直線和直線的斜率均存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，，消去，可得，解得或.將代入，得，所以，點的坐標(biāo)為，因為為線段的中點，點的坐標(biāo)為，所以點的坐標(biāo)為，由，得點的坐標(biāo)為， 所以，直線的斜率為，又因為，所以，整理得，解得或.所以，直線的方程為或.【點睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、中點坐標(biāo)公式以及直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算求解能力，屬于中檔題.當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時，要想到聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程.19.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項公式得到結(jié)果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項和，然后利用作差法證明即可；(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項公式，然后分別利用指數(shù)型裂項求和和錯位相減求和計算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計算數(shù)列的前2n項和即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1. 從而的通項公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當(dāng)n奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：. 因此，.所以，數(shù)列的前2n項和為.【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項求和，錯位相減求和等，屬于中等題.20.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）當(dāng)時，求證：對任意的，且，有．【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的極小值為，無極大值；（Ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】(Ⅰ)(i)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；(ii)首先求得的解析式，然后利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）首先確定導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后令，將原問題轉(zhuǎn)化為與有關(guān)的函數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)(i)當(dāng)k=6時，，.可得，，所以曲線在點處的切線方程為，即. (ii)依題意，.從而可得，整理可得：，令，解得.當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞)；g(x)的極小值為g(1)=1，無極大值.（Ⅱ）證明：由，得.對任意的，且，令，則.①令. 當(dāng)x>1時，，由此可得在單調(diào)遞增，所以當(dāng)t>1時，，即.因為，，，所以.②由(Ⅰ)(ii)可知，當(dāng)時，，即，故③由①②③可得.所以，當(dāng)時，任意的，且，有.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．