2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數學Ⅰ一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上．1.已知集合，則_____.【答案】【解析】【分析】根據集合交集即可計算.【詳解】∵,∴故答案為：.【點睛】本題考查了交集及其運算，是基礎題型．2.已知是虛數單位，則復數的實部是_____.【答案】3【解析】【分析】根據復數的運算法則，化簡即可求得實部的值.【詳解】∵復數∴∴復數的實部為3.故答案為：3.【點睛】本題考查復數的基本概念，是基礎題．3.已知一組數據的平均數為4，則的值是_____.【答案】2【解析】【分析】 根據平均數的公式進行求解即可．【詳解】∵數據的平均數為4∴，即.故答案為：2.【點睛】本題主要考查平均數的計算和應用，比較基礎．4.將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是_____.【答案】【解析】【分析】分別求出基本事件總數，點數和為5的種數，再根據概率公式解答即可．【詳解】根據題意可得基本事件數總為個.點數和為5的基本事件有，，，共4個.∴出現(xiàn)向上的點數和為5的概率為.故答案為：.【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5.如圖是一個算法流程圖，若輸出的值為，則輸入的值是_____.【答案】【解析】【分析】根據指數函數的性質，判斷出，由此求得的值. 【詳解】由于，所以，解得.故答案為：【點睛】本小題主要考查根據程序框圖輸出結果求輸入值，考查指數函數的性質，屬于基礎題.6.在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線﹣=1(a＞0)的一條漸近線方程為y=x，則該雙曲線的離心率是____.【答案】【解析】【分析】根據漸近線方程求得，由此求得，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線，故.由于雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎題.7.已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時，，則f(-8)的值是____.【答案】【解析】【分析】先求，再根據奇函數求【詳解】，因為為奇函數，所以故答案為：【點睛】本題考查根據奇函數性質求函數值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.8.已知=，則的值是____.【答案】 【解析】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結果.【詳解】故答案為：【點睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.9.如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【答案】【解析】【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結果.【詳解】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為：【點睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎題.10.將函數y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是____. 【答案】【解析】【分析】先根據圖象變換得解析式，再求對稱軸方程，最后確定結果.【詳解】當時故答案為：【點睛】本題考查三角函數圖象變換、正弦函數對稱軸，考查基本分析求解能力，屬基礎題.11.設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列．已知數列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是_______．【答案】【解析】【分析】結合等差數列和等比數列前項和公式的特點，分別求得的公差和公比，由此求得.【詳解】設等差數列的公差為，等比數列的公比為，根據題意.等差數列的前項和公式為，等比數列的前項和公式為，依題意，即， 通過對比系數可知，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查等差數列和等比數列的前項和公式，屬于中檔題.12.已知，則的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】根據題設條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】∵∴且∴，當且僅當，即時取等號.∴的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了基本不等式在求最值中的應用.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內涵：一正是，首先要判斷參數是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數否在定義域內，二是多次用或時等號能否同時成立）.13.在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數），則CD的長度是________． 【答案】【解析】【分析】根據題設條件可設，結合與三點共線，可求得，再根據勾股定理求出，然后根據余弦定理即可求解.【詳解】∵三點共線，∴可設，∵，∴，即，若且，則三點共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設，，則，.∴根據余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長度為. 當時，，重合，此時的長度為，當時，，重合，此時，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點睛】本題考查了平面向量知識的應用、余弦定理的應用以及求解運算能力，解答本題的關鍵是設出．14.在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則△PAB面積的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根據條件得,再用圓心到直線距離表示三角形PAB面積，最后利用導數求最大值.【詳解】設圓心到直線距離為，則所以令（負值舍去）當時，；當時，，因此當時，取最大值，即取最大值為，故答案為：【點睛】本題考查垂徑定理、利用導數求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點． （1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.【解析】【分析】（1）通過證明，來證得平面.（2）通過證明平面，來證得平面平面.【詳解】（1）由于分別是的中點，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，屬于中檔題. 16.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）根據的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進而求得的值.【詳解】（1）由余弦定理得，所以.由正弦定理得.（2）由于，，所以.由于，所以，所以所以. 由于，所以.所以.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，屬于中檔題.17.某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上、橋AB與MN平行，為鉛垂線(在AB上).經測量，左側曲線AO上任一點D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關系式；右側曲線BO上任一點F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關系式.已知點B到的距離為40米.（1）求橋AB的長度；（2）計劃在谷底兩側建造平行于的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元)、橋墩CD每米造價(萬元)(k>0).問為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低?【答案】（1）120米（2）米【解析】【分析】（1）根據A,B高度一致列方程求得結果；（2）根據題意列總造價的函數關系式，利用導數求最值，即得結果. 【詳解】（1）由題意得米（2）設總造價為萬元，，設，(0舍去)當時，；當時，，因此當時，取最小值，答：當米時，橋墩CD與EF的總造價最低.【點睛】本題考查實際成本問題、利用導數求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．（1）求△AF1F2的周長；（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準線相交于點Q，求的最小值；（3）設點M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點M的坐標．【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.【解析】【分析】（1）根據橢圓定義可得，從而可求出的周長； （2）設，根據點在橢圓上，且在第一象限，，求出，根據準線方程得點坐標，再根據向量坐標公式，結合二次函數性質即可出最小值；（3）設出設，點到直線的距離為，由點到直線的距離與，可推出，根據點到直線的距離公式，以及滿足橢圓方程，解方程組即可求得坐標.【詳解】（1）∵橢圓的方程為∴,由橢圓定義可得：.∴的周長為（2）設，根據題意可得.∵點在橢圓上，且在第一象限，∴∵準線方程為∴∴，當且僅當時取等號.∴的最小值為.（3）設，點到直線的距離為.∵，∴直線的方程為∵點到直線的距離為， ∴∴∴①∵②∴聯(lián)立①②解得，.∴或.【點睛】本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓相交問題、點到直線距離公式的運用，熟悉運用公式以及根據推出是解答本題的關鍵.19.已知關于x的函數與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．【答案】（1）；（2）；（3）證明詳見解析【解析】【分析】（1）求得與的公共點，并求得過該點的公切線方程，由此求得的表達式. （2）先由，求得的一個取值范圍，再由，求得的另一個取值范圍，從而求得的取值范圍.（3）先由，求得的取值范圍，由方程的兩個根，求得的表達式，利用導數證得不等式成立.【詳解】（1）由題設有對任意的恒成立.令，則，所以.因此即對任意的恒成立，所以，因此.故.（2）令，.又.若，則在上遞增，在上遞減，則，即，不符合題意.當時，，符合題意.當時，在上遞減，在上遞增，則，即，符合題意.綜上所述，.由當，即時，在為增函數，因為，故存在，使，不符合題意.當，即時，，符合題意.當，即時，則需，解得. 綜上所述，的取值范圍是.（3）因為對任意恒成立，對任意恒成立，等價于對任意恒成立.故對任意恒成立令，當，，此時，當，，但對任意的恒成立.等價于對任意的恒成立.的兩根為，則，所以.令，則.構造函數，，所以時，，遞減，.所以，即.【點睛】本小題主要考查利用的導數求切線方程，考查利用導數研究不等式恒成立問題，考查利用導數證明不等式，考查分類討論的數學思想方法，屬于難題.20.已知數列的首項a1=1，前n項和為Sn．設λ與k是常數，若對一切正整數n，均有成立，則稱此數列為“λ–k”數列． （1）若等差數列是“λ–1”數列，求λ的值；（2）若數列是“”數列，且an＞0，求數列的通項公式；（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數列為“λ–3”數列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，【答案】（1）1（2）（3）【解析】【分析】（1）根據定義得，再根據和項與通項關系化簡得，最后根據數列不為零數列得結果；（2）根據定義得，根據平方差公式化簡得，求得，即得；（3）根據定義得，利用立方差公式化簡得兩個方程，再根據方程解的個數確定參數滿足的條件，解得結果【詳解】（1）（2）， （3）假設存在三個不同的數列為數列.或或∵對于給定的，存在三個不同的數列為數列，且或有兩個不等的正根.可轉化為，不妨設，則有兩個不等正根，設.①當時，，即，此時，，滿足題意.②當時，，即，此時，，此情況有兩個不等負根，不滿足題意舍去.綜上，【點睛】本題考查數列新定義、由和項求通項、一元二次方程實根分步，考查綜合分析求解能力，屬難題. 數學Ⅱ(附加題)【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修4-2：矩陣與變換]21.平面上點在矩陣對應的變換作用下得到點．（1）求實數，的值；（2）求矩陣的逆矩陣．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據變換寫出具體的矩陣關系式，然后進行矩陣的計算可得出實數的值；（2）設出逆矩陣，由定義得到方程，即可求解.【詳解】（1）∵平面上點在矩陣對應的變換作用下得到點∴∴，解得（2）設，則 ∴，解得∴【點睛】本題考查矩陣變換的應用，考查逆矩陣的求法，解題時要認真審題，屬于基礎題．B．[選修4-4：坐標系與參數方程]22.在極坐標系中，已知點在直線上，點在圓上（其中，）．（1）求，的值（2）求出直線與圓的公共點的極坐標．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)將A,B點坐標代入即得結果；（2）聯(lián)立直線與圓極坐標方程，解得結果.【詳解】（1）以極點為原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，，因為點為直線上，故其直角坐標方程為，又對應的圓的直角坐標方程為：，由解得或， 對應的點為，故對應的極徑為或.（2），，當時；當時，舍；即所求交點坐標為當【點睛】本題考查極坐標方程及其交點，考查基本分析求解能力，屬基礎題.C．[選修4-5：不等式選講]23.設，解不等式．【答案】【解析】【分析】根據絕對值定義化為三個方程組，解得結果【詳解】或或或或所以解集為【點睛】本題考查分類討論解含絕對值不等式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．24.在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點． （1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量數量積求直線向量夾角，即得結果；（2）先求兩個平面法向量，根據向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得結果.詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標系，則 從而直線與所成角的余弦值為（2）設平面一個法向量為令設平面一個法向量為令因此【點睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.25.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和Xn的數學期望E(Xn)(用n表示)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根據操作，根據古典概型概率公式可得結果；（2）根據操作，依次求，即得遞推關系，構造等比數列求得，最后根據數學期望公式求結果. 【詳解】（1），，（2），，因此，從而，即.又的分布列為012故.【點睛】本題考查古典概型概率、概率中遞推關系、構造法求數列通項、數學期望公式，考查綜合分析求解能力，屬難題.