2021年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分。請(qǐng)選出每小題中一個(gè)最符合題意的選項(xiàng)，不選、多選、錯(cuò)選均不給分）1．實(shí)數(shù)2，0，﹣3，中，最小的數(shù)是（ ）A．2B．0C．﹣3D．2．第七次全國(guó)人口普查數(shù)據(jù)顯示，紹興市常住人口約為5270000人，這個(gè)數(shù)字5270000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ?。〢．0.527×107B．5.27×106C．52.7×105D．5.27×1073．如圖的幾何體由五個(gè)相同的小正方體搭成，它的主視圖是（ ?。〢．B．C．D．4．在一個(gè)不透明的袋中裝有6個(gè)只有顏色不同的球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球．從袋中任意摸出一個(gè)球，是白球的概率為（ ）A．B．C．D．5．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在上（ ?。〢．30°B．45°C．60°D．90°6．關(guān)于二次函數(shù)y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列說(shuō)法正確的是（ ?。〢．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值67．如圖，樹(shù)AB在路燈O的照射下形成投影AC，已知路燈高PO＝5m，樹(shù)AB與路燈O的水平距離AP＝4.5m，則樹(shù)的高度AB長(zhǎng)是（ ）
A．2mB．3mC．mD．m8．如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，沿折線BC﹣CD方向移動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)D停止．在△ABP形狀的變化過(guò)程中（ ?。〢．直角三角形→等邊三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等邊三角形C．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形9．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，連結(jié)CE，則的值為（ ?。〢．B．C．D．210．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組同學(xué)從“中國(guó)結(jié)”的圖案（圖1）中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形放置，用2個(gè)相同的菱形放置，得到3個(gè)菱形．下面說(shuō)法正確的是（ ）
A．用3個(gè)相同的菱形放置，最多能得到6個(gè)菱形B．用4個(gè)相同的菱形放置，最多能得到16個(gè)菱形C．用5個(gè)相同的菱形放置，最多能得到27個(gè)菱形D．用6個(gè)相同的菱形放置，最多能得到41個(gè)菱形二、填空題（本大題有6小題，每小題5分，共30分）11．（5分）分解因式：x2+2x+1＝ ?。?2．（5分）我國(guó)明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩；若每人9兩，則差8兩．銀子共有 兩．13．（5分）圖1是一種矩形時(shí)鐘，圖2是時(shí)鐘示意圖，時(shí)鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD的對(duì)角線BD上，則BC長(zhǎng)為 cm（結(jié)果保留根號(hào)）．14．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑作弧，連結(jié)AP，則∠BAP的度數(shù)是 ?。?5．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，C
在第一象限，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（，2）（常數(shù)k＞0，x＞0）的圖象恰好經(jīng)過(guò)正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，則k的值是 ?。?6．（5分）已知△ABC與△ABD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D不重合，AB＝4，AC＝AD＝2 ?。?、解答題（本大題有8小題，第17～20小題每小題8分，第21小題10分，第22，23小題每小題8分，第24小題14分，共80分.解答需寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程17．（8分）（1）計(jì)算：4sin60°﹣+（2﹣）0．（2）解不等式：5x+3≥2（x+3）．18．（8分）紹興蓮花落，又稱“蓮花樂(lè)”，“蓮花鬧”，某校設(shè)置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四個(gè)選項(xiàng)，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將抽查結(jié)果繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：
（1）本次接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生有多少人？并求圖2中“了解”的扇形圓心角的度數(shù)；（2）全校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)全校學(xué)生中“非常了解”、“了解”蓮花落的學(xué)生共有多少人．19．（8分）Ⅰ號(hào)無(wú)人機(jī)從海拔10m處出發(fā)，以10m/min的速度勻速上升，Ⅱ號(hào)無(wú)人機(jī)從海拔30m處同時(shí)出發(fā)（m/min）的速度勻速上升，經(jīng)過(guò)5min兩架無(wú)人機(jī)位于同一海拔高度b（m）（m）與時(shí)間x（min）的關(guān)系如圖．兩架無(wú)人機(jī)都上升了15min．（1）求b的值及Ⅱ號(hào)無(wú)人機(jī)海拔高度y（m）與時(shí)間x（min）的關(guān)系式；（2）問(wèn)無(wú)人機(jī)上升了多少時(shí)間，Ⅰ號(hào)無(wú)人機(jī)比Ⅱ號(hào)無(wú)人機(jī)高28米．20．（8分）拓展小組研制的智能操作機(jī)器人，如圖1，水平操作臺(tái)為l，高AB為50cm，連桿BC長(zhǎng)度為70cm，C是轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，且AB（1）轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，如圖2，求手臂端點(diǎn)D離操作臺(tái)l的高度DE的長(zhǎng)（精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作臺(tái)l上，距離底座A端110cm的點(diǎn)M處，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC，手臂端點(diǎn)D能否碰到點(diǎn)M？請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，E分別在邊AB，AC上，連結(jié)CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數(shù)；
（2）寫(xiě)出∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．22．（12分）小聰設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出截面示意圖，杯體ACB是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)C在y軸上，且點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，杯高DO＝8，杯底MN在x軸上．（1）求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式（不必寫(xiě)出x的取值范圍）；（2）為使獎(jiǎng)杯更加美觀，小敏提出了改進(jìn)方案，如圖2，杯口直徑A′B′∥AB，杯腳高CO不變，求A′B′的長(zhǎng)．23．（12分）問(wèn)題：如圖，在?ABCD中，AB＝8，∠DAB，∠ABC的平分線AE，F(xiàn)，求EF的長(zhǎng)．答案：EF＝2．探究：（1）把“問(wèn)題”中的條件“AB＝8”去掉，其余條件不變．①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，求AB的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求EF的長(zhǎng)．（2）把“問(wèn)題”中的條件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余條件不變，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求的值．
24．（14分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，∠ADB＝30°．連結(jié)EF（1）若EF⊥BD，求DF的長(zhǎng)；（2）若PE⊥BD，求DF的長(zhǎng)；（3）直線PE交BD于點(diǎn)Q，若△DEQ是銳角三角形，求DF長(zhǎng)的取值范圍．
參考答案一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分。請(qǐng)選出每小題中一個(gè)最符合題意的選項(xiàng)，不選、多選、錯(cuò)選均不給分）1．實(shí)數(shù)2，0，﹣3，中，最小的數(shù)是（ ?。〢．2B．0C．﹣3D．【分析】根據(jù)正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，即可判斷出最小的數(shù)．【解答】解：∵﹣3＜0＜＜2，∴最小的數(shù)是﹣3，故選：C．2．第七次全國(guó)人口普查數(shù)據(jù)顯示，紹興市常住人口約為5270000人，這個(gè)數(shù)字5270000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ?。〢．0.527×107B．5.27×106C．52.7×105D．5.27×107【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【解答】解：5270000＝5.27×106．故選：B．3．如圖的幾何體由五個(gè)相同的小正方體搭成，它的主視圖是（ ）A．B．C．D．【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．【解答】解：從正面看，底層是三個(gè)小正方形，故選：D．4．在一個(gè)不透明的袋中裝有6個(gè)只有顏色不同的球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球．從袋中任意摸出一個(gè)球，是白球的概率為（ ?。?
A．B．C．D．【分析】用白球的數(shù)量除以所有球的數(shù)量即可求得白球的概率．【解答】解：∵袋子中共有6個(gè)小球，其中白球有1個(gè)，∴摸出一個(gè)球是白球的概率是，故選：A．5．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在上（ ?。〢．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BC弧所對(duì)的圓心角為90°，則∠BOC＝90°，然后根據(jù)圓周角定理求解．【解答】解：連接OB、OC，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴BC弧所對(duì)的圓心角為90°，∴∠BOC＝90°，∴∠BPC＝∠BOC＝45°．故選：B．6．關(guān)于二次函數(shù)y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列說(shuō)法正確的是（ ?。〢．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到該函數(shù)有最小值，最小值為6，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)是正確的．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞2，
∴該函數(shù)圖象開(kāi)口向上，有最小值，故選：D．7．如圖，樹(shù)AB在路燈O的照射下形成投影AC，已知路燈高PO＝5m，樹(shù)AB與路燈O的水平距離AP＝4.5m，則樹(shù)的高度AB長(zhǎng)是（ ）A．2mB．3mC．mD．m【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴，∴，∴OP＝4（m），故選：A．8．如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，沿折線BC﹣CD方向移動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)D停止．在△ABP形狀的變化過(guò)程中（ ?。〢．直角三角形→等邊三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等邊三角形C．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形【分析】把點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BC﹣CD方向移動(dòng)的整個(gè)過(guò)程，逐次考慮確定三角形的形狀即可。
【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由兩個(gè)等邊三角形組合而成，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，此時(shí)△ABP為等腰三角形；當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C處時(shí)，此時(shí)△ABP為等邊三角形；當(dāng)點(diǎn)P在CD上且位于AB的中垂線時(shí)，則△ABP為等腰三角形；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，故選：C．9．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，連結(jié)CE，則的值為（ ?。〢．B．C．D．2【分析】設(shè)DE交AC于T,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H.首先證明EA＝ED＝EC,再證明∠B＝∠ECD,可得結(jié)論。【解答】解：設(shè)DE交AC于T,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于H．∵∠BAC＝90°,BD＝DC,∴AD＝DB＝DC,∴∠B＝∠DAB,∵∠B＝∠ADE,∴∠DAB＝∠ADE,
∴AB∥DE,∴∠DTC＝∠BAC＝90°,∵DT∥AB,BD＝DC,∴AT＝TC,∴EA＝EC＝ED,∴∠EDC＝∠ECD,∵EH⊥CD,∴CH＝DH,∵DE∥AB,∴∠EDC＝∠B,∴∠ECD＝∠B,∴cos∠ECH＝cosB＝,∴＝,∴＝＝2,故選：D．10．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組同學(xué)從“中國(guó)結(jié)”的圖案（圖1）中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形放置，用2個(gè)相同的菱形放置，得到3個(gè)菱形．下面說(shuō)法正確的是（ ）A．用3個(gè)相同的菱形放置，最多能得到6個(gè)菱形B．用4個(gè)相同的菱形放置，最多能得到16個(gè)菱形C．用5個(gè)相同的菱形放置，最多能得到27個(gè)菱形D．用6個(gè)相同的菱形放置，最多能得到41個(gè)菱形【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，從圖形中找到出現(xiàn)的菱形的個(gè)數(shù)即可．
【解答】解：如圖所示，用2個(gè)相同的菱形放置，最多能得到3個(gè)菱形；用8個(gè)相同的菱形放置，最多能得到8個(gè)菱形，用4個(gè)相同的菱形放置，最多能得到16個(gè)菱形，故選：B．二、填空題（本大題有6小題，每小題5分，共30分）11．（5分）分解因式：x2+2x+1＝?。▁+1）2 ．【分析】本題中沒(méi)有公因式，總共三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)能化為兩個(gè)數(shù)的平方和，第三項(xiàng)正好為這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，直接運(yùn)用完全平方和公式進(jìn)行因式分解．【解答】解：x2+2x+8＝（x+1）2．故答案為：（x+3）2．12．（5分）我國(guó)明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩；若每人9兩，則差8兩．銀子共有 46 兩．【分析】通過(guò)設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，可以列出銀子總數(shù)相等的二元一次方程組，本題得以解決．【解答】解：設(shè)有x人，銀子y兩，由題意得：，解得，故答案為46．
13．（5分）圖1是一種矩形時(shí)鐘，圖2是時(shí)鐘示意圖，時(shí)鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD的對(duì)角線BD上，則BC長(zhǎng)為 cm（結(jié)果保留根號(hào)）．【分析】根據(jù)題意即可求得∠FOD＝2∠DOE，即可求得∠DOE＝30°，由矩形的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)可求得∠DBC＝30°，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OE⊥CD，OF⊥AD，F(xiàn)，由題意知∠FOD＝2∠DOE，∵∠FOD+∠DOE＝90°，∴∠DOE＝30°，∠FOD＝60°，在矩形ABCD中，∠C＝90°，∴OE∥BC，∴∠DBC＝∠DOE＝30°，∴BC＝CD＝，故答案為．14．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑作弧，連結(jié)AP，則∠BAP的度數(shù)是 15°或75°?。痉治觥扛鶕?jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到△ABC
各內(nèi)角的關(guān)系，然后根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，利用分類討論的方法求出∠BAP的度數(shù)即可．【解答】解：如右圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP1，∴∠CAP1＝∠CP6A＝＝＝55°，∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP4，∴∠CAP2＝∠CP1A＝＝＝35°，∴∠BAP2＝∠CAP2﹣∠CAB＝35°+40°＝75°；由上可得，∠BAP的度數(shù)是15°或75°，故答案為：15°或75°．15．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，C在第一象限，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（，2）（常數(shù)k＞0，x＞0）的圖象恰好經(jīng)過(guò)正方形ABCD
的兩個(gè)頂點(diǎn)，則k的值是 5或22.5?。痉治觥孔鱀M⊥x軸于M，BN⊥軸于N，過(guò)C點(diǎn)作x軸的平行線，交DM于E，交BN于F，通過(guò)證得三角形求得表示出B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k＝xy即可求得結(jié)果．【解答】解：作DM⊥x軸于M，BN⊥軸于N，交DM于E，正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠DAM+∠BAN＝90°，∵∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠ADM＝∠BAN，在△ADM和△BAN中，，∴△ADM≌△BAN（AAS），∴AM＝BN，DM＝AN，∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（，6）．∴OM＝，DM＝6，同理：△ADM≌△DCE，∴AM＝DE，CE＝DM，∴AM＝BN＝DE，DM＝AN＝CE＝2，設(shè)AM＝BN＝DE＝m，∴ON＝+m+2＝4.5+m，∴B（4.5+m，m），4+m），
當(dāng)反比例函數(shù)y＝（常數(shù)k＞0、D時(shí)×2＝5；當(dāng)反比例函數(shù)y＝（常數(shù)k＞5、c時(shí)，解得m＝3，∴k＝4.7×（2+3）＝22.6，故答案為5或22.5．16．（5分）已知△ABC與△ABD在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C，D不重合，AB＝4，AC＝AD＝2 2±2或4或2?。痉治觥糠諧,D在AB的同側(cè)或異側(cè)兩種情形，分別求解，注意共有四種情形?！窘獯稹拷猓喝鐖D，當(dāng)C，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于E．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°,∠ABE＝30°,∴AE＝AB＝5,∵AD＝AC＝2,∴DE＝＝2＝2,∴DE＝EC＝AE,
∴△ADC是等腰直角三角形，∴CD＝5,當(dāng)C,D異側(cè)時(shí),∵△BCC′是等邊三角形，BC＝BE﹣EC＝2,∴CH＝BH＝﹣1CH＝3﹣2,在Rt△DC′H中，DC′＝＝,∵△DBD′是等邊三角形，∴DD′＝2+6,∴CD的長(zhǎng)為2±7或4或2。故答案為：2±8或4或2。三、解答題（本大題有8小題，第17～20小題每小題8分，第21小題10分，第22，23小題每小題8分，第24小題14分，共80分.解答需寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程17．（8分）（1）計(jì)算：4sin60°﹣+（2﹣）0．（2）解不等式：5x+3≥2（x+3）．【分析】（1）原式第一項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，第二項(xiàng)利用開(kāi)平方法則化簡(jiǎn)，最后一項(xiàng)利用零指數(shù)冪的意義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1可得．【解答】解：（1）原式＝2﹣6＝1；（2）8x+3≥2（x+4），去括號(hào)得：5x+3≥5x+6,移項(xiàng)得：5x﹣5x≥6﹣3，合并同類項(xiàng)得：6x≥3，解得：x≥1．18．（8分）紹興蓮花落，又稱“蓮花樂(lè)”，“蓮花鬧”，某校設(shè)置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四個(gè)選項(xiàng)，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將抽查結(jié)果繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：（1）本次接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生有多少人？并求圖2中“了解”的扇形圓心角的度數(shù)；（2）全校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)全校學(xué)生中“非常了解”、“了解”蓮花落的學(xué)生共有多少人．【分析】（1）從兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中可知，在抽查人數(shù)中，“非常了解”的人數(shù)為30人，占調(diào)查人數(shù)的15%，可求出接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生數(shù)，進(jìn)而求出“了解”所占比例，即可得出“了解”的扇形圓心角的度數(shù)；（2）樣本中“非常了解”、“了解”的占調(diào)查人數(shù)的，進(jìn)而估計(jì)總體中“非常了解”和“了解”的人數(shù)．【解答】解：（1）接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生數(shù)：30÷15%＝200（人），“了解”的扇形圓心角度數(shù)為360°×＝126°；答：本次接受問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生有200人，圖2中“了解”的扇形圓心角的度數(shù)為126°；（3）1200×＝600（人），答：估計(jì)全校學(xué)生中“非常了解”、“了解”蓮花落的學(xué)生共有600人．19．（8分）Ⅰ號(hào)無(wú)人機(jī)從海拔10m處出發(fā)，以10m/min的速度勻速上升，Ⅱ號(hào)無(wú)人機(jī)從海拔30m處同時(shí)出發(fā)（m/min）的速度勻速上升，經(jīng)過(guò)5min兩架無(wú)人機(jī)位于同一海拔高度b（m）（m）與時(shí)間x（min）的關(guān)系如圖．兩架無(wú)人機(jī)都上升了15min．（1）求b的值及Ⅱ號(hào)無(wú)人機(jī)海拔高度y（m）與時(shí)間x（min）的關(guān)系式；
（2）問(wèn)無(wú)人機(jī)上升了多少時(shí)間，Ⅰ號(hào)無(wú)人機(jī)比Ⅱ號(hào)無(wú)人機(jī)高28米．【分析】（1）由題意得：b＝10+10×5＝60；再用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式即可；（2）由題意得：（10z+10）﹣（6x+30）＝28，即可求解．【解答】解：（1）b＝10+10×5＝60，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為y＝kx+t，將（0,30）,60）代入上式得，故函數(shù)表達(dá)式為y＝6x+30（5≤x≤15）；（2）由題意得：（10z+10）﹣（6x+30）＝28，解得x＝12＜5，故無(wú)人機(jī)上升12min，Ⅰ號(hào)無(wú)人機(jī)比Ⅱ號(hào)無(wú)人機(jī)高28米．20．（8分）拓展小組研制的智能操作機(jī)器人，如圖1，水平操作臺(tái)為l，高AB為50cm，連桿BC長(zhǎng)度為70cm，C是轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，且AB（1）轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，如圖2，求手臂端點(diǎn)D離操作臺(tái)l的高度DE的長(zhǎng)（精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作臺(tái)l上，距離底座A端110cm的點(diǎn)M處，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC，手臂端點(diǎn)D能否碰到點(diǎn)M？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AE于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥CP于點(diǎn)Q，在Rt△BCQ中，CQ＝BC?sin53°，再根據(jù)DE＝CP＝CQ+PQ可得答案；（2）當(dāng)B,C,D共線時(shí)，根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AE于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥CP于點(diǎn)Q∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝53°，在Rt△BCQ中，CQ＝BC?sin53°≈70×0.8＝56cm，∵CD∥l，∴DE＝CP＝CQ+PQ＝56+50＝106cm．（2）當(dāng)B,C,D共線時(shí)BD＝60+70＝130cm，AB＝50cm，在Rt△ABD中，AB2+AD2＝BD2，∴AD＝120cm＞110cm．∴手臂端點(diǎn)D能碰到點(diǎn)M．21．（10分）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，E分別在邊AB，AC上，連結(jié)CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數(shù)；（2）寫(xiě)出∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDC＝∠BCD＝(180°﹣80°)＝50°,根據(jù)三角形的內(nèi)角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣50°＝60°,推出△BCE是等邊三角形，得到∠EBC＝60°,于是得到結(jié)論;(2)設(shè)∠BEC＝α,∠BDC＝β,由于α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CBE＝∠BEC＝α,求得∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+∠ABE,推出∠CBE＝∠BEC＝α,于是得到結(jié)論?！窘獯稹拷猓海?）∵∠ABC＝80°，BD＝BC,∴∠BDC＝∠BCD＝(180°﹣80°)＝50°,∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°,∠A＝40°,∴∠ACB＝180°﹣40°﹣50°＝60°,∵CE＝BC,∴△BCE是等邊三角形，∴∠EBC＝60°,∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝20°;(2)∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系：∠BEC+∠BDC＝110°,理由：設(shè)∠BEC＝α,∠BDC＝β,在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE,∵CE＝BC,∴∠CBE＝∠BEC＝α,∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+4∠ABE＝40°+∠ABE,∵CE＝BC,∴∠CBE＝∠BEC＝α,
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE,在△BDC中，BD＝BC,∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝6β+40°+2∠ABE＝180°,∴β＝70°﹣∠ABE,∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°,∴∠BEC+∠BDC＝110°．22．（12分）小聰設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出截面示意圖，杯體ACB是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)C在y軸上，且點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，杯高DO＝8，杯底MN在x軸上．（1）求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式（不必寫(xiě)出x的取值范圍）；（2）為使獎(jiǎng)杯更加美觀，小敏提出了改進(jìn)方案，如圖2，杯口直徑A′B′∥AB，杯腳高CO不變，求A′B′的長(zhǎng)．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法，由題意設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝ax2+4，進(jìn)而求得答案；（2）由題意知：＝0.6，進(jìn)而求得OD′＝10，再由題意得拋物線y＝x2+4過(guò)B′(x1,10),A′(x2,10),從而列方程求出x1和x2，進(jìn)而求得A′B′的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵CO＝4，∴頂點(diǎn)C(0，8)，∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+4，∵AB＝6，∴AD＝DB＝2，∵DO＝8，
∴A(﹣7，8)，8)，將B(5，8)代入y＝ax2+5，得：8＝a×22+4，解得：a＝1，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+4；（2）由題意得：＝0.6,∴＝0.3，∴CD′＝6，∴OD′＝OC+CD′＝4+2＝10，又∵杯體A′CB′所在拋物線形狀不變，杯口直徑A′B′∥AB，∴設(shè)B′(x1，10)，A′(x2，10),∴當(dāng)y＝10時(shí)，10＝x7+4，解得：x1＝，x2＝﹣，∴A′B′＝4，∴杯口直徑A′B′的長(zhǎng)為2．23．（12分）問(wèn)題：如圖，在?ABCD中，AB＝8，∠DAB，∠ABC的平分線AE，F(xiàn)，求EF的長(zhǎng)．答案：EF＝2．探究：（1）把“問(wèn)題”中的條件“AB＝8”去掉，其余條件不變．①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，求AB的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求EF的長(zhǎng)．（2）把“問(wèn)題”中的條件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余條件不變，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求的值．【分析】（1）①證∠DEA＝∠DAE，得DE＝AD＝5，同理BC＝CF＝5，即可求解；②由題意得DE＝DC＝5，再由CF＝BC＝5，即可求解；
（2）分三種情況，由（1）的結(jié)果結(jié)合點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，分別求解即可．【解答】解：（1）①如圖1所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝5，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5，同理：BC＝CF＝5，∵點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，∴AB＝CD＝DE+CF＝10；②如圖3所示：∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，∴DE＝DC＝5，∵CF＝BC＝5，∴點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，∴EF＝DC＝5；（2）分三種情況：①如圖3所示：
同（1）得：AD＝DE，∵點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，∴AD＝DE＝EF＝CF，∴＝；②如圖4所示：同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝FE＝CE，∴＝；③如圖5所示：同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝DC＝CE，∴＝2；綜上所述，的值為或．24．（14分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，∠ADB＝30°．連結(jié)EF（1）若EF⊥BD，求DF的長(zhǎng)；（2）若PE⊥BD，求DF的長(zhǎng)；
（3）直線PE交BD于點(diǎn)Q，若△DEQ是銳角三角形，求DF長(zhǎng)的取值范圍．【分析】（1）由題意得點(diǎn)P在BD上，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）由對(duì)稱可得△DEF是等腰三角形，分兩種情況畫(huà)出圖形，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)即可求解；（3）分兩種情況畫(huà)出圖形，根據(jù)中點(diǎn)的定義以及直角三角形的性質(zhì)分別求出EM、FM、DM的值，即可得出DF的值，結(jié)合（2）中求得的DF的值即可得出答案。【解答】解：（1）∵點(diǎn)D、點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱，∴點(diǎn)P在BD上，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AB＝4，∠ADB＝30°．∴AD＝4，∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴DE＝2，∵EF⊥BD，∴DF＝8；（2）①如圖2，
∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．∴∠PED＝60°,由對(duì)稱可得，EF平分∠PED，∴∠DEF＝∠PEF＝30°，∴△DEF是等腰三角形，∴DF＝EF,∵PE⊥BD,∠ADB＝30°，∴QE＝,∵∠PEF＝30°，∴EF＝2,∴DF＝EF＝2；②如圖5，∵PE⊥BD，∠ADB＝30°．∴∠PED＝120°,由對(duì)稱可得，PF＝DF,EF平分∠PED，∴∠DEF＝∠PEF＝120°，∴∠EFD＝30°,∴△DEF是等腰三角形，∵PE⊥BD,∴QD＝QF＝DF,∵PE⊥BD,∠ADB＝30°，∴QE＝,QD＝3∴DF＝7QD＝6；
∴DF的長(zhǎng)為2或6；（3）由（2）得，當(dāng)∠DQE＝90°時(shí),當(dāng)∠DEQ＝90°時(shí)，第一種情況，如圖4，∵EF平分∠PED,∴∠DEF＝45°,過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于點(diǎn)M，設(shè)EM＝a,DM＝a，∴a+a＝2，∴a＝8﹣,DF＝6﹣8,∴2<DF<；第二種情況,如圖5,∵EF平分∠AEQ,∴∠MEF＝45°,過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AD于點(diǎn)M，設(shè)EM＝a,DM＝a，∴a﹣a＝2，∴a＝5+,DF＝6+6,∵6+5＞8,∴DF最大值為5，
∴6<DF≤8。綜上，DF長(zhǎng)的取值范圍為3<<6﹣2<DF≤8．
