2021年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷附答案解析浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分，請選出各題中唯一的正確選項(xiàng)，不選、多選錯(cuò)選，均不得分）1．2021年5月22日，我國自主研發(fā)的“祝融號”火星車成功到達(dá)火星表面．已知火星與地球的最近距離約為55000000千米，數(shù)據(jù)55000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。〢．55×106B．5.5×107C．5.5×108D．0.55×1082．如圖是由四個(gè)相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖為（　?。〢．B．C．D．3．能說明命題“若x為無理數(shù)，則x2也是無理數(shù)”是假命題的反例是（　?。〢．x＝﹣1B．x＝+1C．x＝3D．x＝﹣4．已知三個(gè)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列結(jié)論中正確的是（　　）A．y2＜y1＜0＜y3B．y1＜y2＜0＜y3C．y3＜0＜y2＜y1D．y3＜0＜y1＜y25．將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（　?。〢．等腰三角形B．直角三角形C．矩形D．菱形6．5月1日至7日，我市每日最高氣溫如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（　?。?A．中位數(shù)是33℃B．眾數(shù)是33℃C．平均數(shù)是℃D．4日至5日最高氣溫下降幅度較大7．已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（　　）A．相離B．相交C．相切D．相交或相切8．為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊(duì)買了兩種價(jià)格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費(fèi)30元，熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是熒光棒的1.5倍．若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，根據(jù)題意可列方程為（　　）A．﹣＝20B．﹣＝20C．﹣＝20D．﹣＝209．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，點(diǎn)D在AC上，且AD＝2，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F，G分別是BC和DE的中點(diǎn)，連結(jié)AG，F(xiàn)G，當(dāng)AG＝FG時(shí)，線段DE長為（　?。?A．B．C．D．410．已知點(diǎn)P（a，b）在直線y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，則下列不等式一定成立的是（　?。〢．≤B．≥C．≥D．≤二、填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）11．（4分）已知二元一次方程x+3y＝14，請寫出該方程的一組整數(shù)解　?。?2．（4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們位似中心的坐標(biāo)是　?。?3．（4分）觀察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此規(guī)律，則第n個(gè)等式為2n﹣1＝　　．14．（4分）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AH⊥BD于點(diǎn)H，若AB＝2，BC＝2，則AH的長為　?。?5．（4分）看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來分析：齊王與田忌的上中下三個(gè)等級的三匹馬記分如表，每匹馬只賽一場，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場兩勝則贏．已知齊王的三匹馬出場順序?yàn)?0，8，6．若田忌的三匹馬隨機(jī)出場，則田忌能贏得比賽的概率為　?。R匹姓名下等馬中等馬上等馬齊王6810,田忌57916．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP，點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對稱點(diǎn)為A′，連結(jié)A′C，A′P．在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A′到直線AB距離的最大值是　?。稽c(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A′P掃過的面積為　　．三、解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20，21題每題8分，第22，23題每題10分，第24題12分，共66分）17．（6分）（1）計(jì)算：2﹣1+﹣sin30°；（2）化簡并求值：1﹣，其中a＝﹣．18．（6分）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的過程如下框：小敏：兩邊同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，則x＝6．小霞：移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．則x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．19．（6分）如圖，在7×7的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，每一個(gè)小正方形的邊長為1．（1）以AB為邊畫菱形，使菱形的其余兩個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（畫出一個(gè)即可）．（2）計(jì)算你所畫菱形的面積．,20．（8分）根據(jù)數(shù)學(xué)家凱勒的“百米賽跑數(shù)學(xué)模型”，前30米稱為“加速期”，30米~80米為“中途期”，80米~100米為“沖刺期”．市田徑隊(duì)把運(yùn)動(dòng)員小斌某次百米跑訓(xùn)練時(shí)速度y（m/s）與路程x（m）之間的觀測數(shù)據(jù)，繪制成曲線如圖所示．（1）y是關(guān)于x的函數(shù)嗎？為什么？（2）“加速期”結(jié)束時(shí)，小斌的速度為多少？（3）根據(jù)如圖提供的信息，給小斌提一條訓(xùn)練建議．21．（8分）某市為了解八年級學(xué)生視力健康狀況，在全市隨機(jī)抽查了400名八年級學(xué)生2021年初的視力數(shù)據(jù)，并調(diào)取該批學(xué)生2020年初的視力數(shù)據(jù)，制成如圖統(tǒng)計(jì)圖（不完整）：青少年視力健康標(biāo)準(zhǔn),類別視力健康狀況A視力≥5.0視力正常B4.9輕度視力不良C4.6≤視力≤4.8中度視力不良D視力≤4.5重度視力不良根據(jù)以上信息，請解答：（1）分別求出被抽查的400名學(xué)生2021年初輕度視力不良（類別B）的扇形圓心角度數(shù)和2020年初視力正常（類別A）的人數(shù)．（2）若2021年初該市有八年級學(xué)生2萬人，請估計(jì)這些學(xué)生2021年初視力正常的人數(shù)比2020年初增加了多少人？（3）國家衛(wèi)健委要求，全國初中生視力不良率控制在69%以內(nèi)．請估計(jì)該市八年級學(xué)生2021年初視力不良率是否符合要求？并說明理由．22．（10分）一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，△BCD為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．當(dāng)按壓柄△BCD按壓到底時(shí)，BD轉(zhuǎn)動(dòng)到BD′，此時(shí)BD′∥EF（如圖3）．（1）求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D′的路徑長；（2）求點(diǎn)D到直線EF的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）,23．（10分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5．（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m﹣n＝3，求t的值．24．（12分）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，連結(jié)BD．[探究1]如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)C′恰好在DB延長線上．若AB＝1，求BC的長．[探究2]如圖2，連結(jié)AC′，過點(diǎn)D′作D′M∥AC′交BD于點(diǎn)M．線段D′M與DM相等嗎？請說明理由．[探究3]在探究2的條件下，射線DB分別交AD′，AC′于點(diǎn)P，N（如圖3），發(fā)現(xiàn)線段DN，MN，PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明．,2021年浙江省嘉興市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分，請選出各題中唯一的正確選項(xiàng)，不選、多選錯(cuò)選，均不得分）1．2021年5月22日，我國自主研發(fā)的“祝融號”火星車成功到達(dá)火星表面．已知火星與地球的最近距離約為55000000千米，數(shù)據(jù)55000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）A．55×106B．5.5×107C．5.5×108D．0.55×108【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正數(shù)．【解答】解：55000000＝5.5×107．故選：B．2．如圖是由四個(gè)相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖為（　?。〢．B．C．D．【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．【解答】解：從上面看，底層右邊是一個(gè)小正方形，上層是兩個(gè)小正方形，右齊．故選：C．3．能說明命題“若x為無理數(shù)，則x2也是無理數(shù)”是假命題的反例是（　?。〢．x＝﹣1B．x＝+1C．x＝3D．x＝﹣【分析】根據(jù)題意，只要x2是有理數(shù)，即求出各個(gè)選項(xiàng)中x2的值，再判斷即可．【解答】解：（﹣1）2＝3﹣2，是無理數(shù)，不符合題意；（+1）2＝3+2，是無理數(shù)，不符合題意；（3）2＝18，是有理數(shù)，符合題意；（﹣）2＝5﹣2，是無理數(shù)，不符合題意；,故選：C．4．已知三個(gè)點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列結(jié)論中正確的是（　?。〢．y2＜y1＜0＜y3B．y1＜y2＜0＜y3C．y3＜0＜y2＜y1D．y3＜0＜y1＜y2【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)x1＜x2＜0＜x3即可得出結(jié)論【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝中，k＝2＞0，∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。選1＜x2＜0＜x3，∴A、B兩點(diǎn)在第三象限，C點(diǎn)在第一象限，∴y2＜y1＜0＜y3．故選：A．5．將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（　?。〢．等腰三角形B．直角三角形C．矩形D．菱形【分析】對折是軸對稱得到的圖形，根據(jù)最后得到的圖形可得是沿對角線折疊2次后，剪去一個(gè)三角形得到的，按原圖返回即可．【解答】解：如圖，由題意可知，剪下的圖形是四邊形BACD，由折疊可知CA＝AB，∴△ABC是等腰三角形，又△ABC和△BCD關(guān)于直線CD對稱，,∴四邊形BACD是菱形，故選：D．6．5月1日至7日，我市每日最高氣溫如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（　?。〢．中位數(shù)是33℃B．眾數(shù)是33℃C．平均數(shù)是℃D．4日至5日最高氣溫下降幅度較大【分析】分別確定7個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)及平均數(shù)后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、7個(gè)數(shù)排序后為23，25，26，27，30，33，33，位于中間位置的數(shù)為27，所以中位數(shù)為27℃，故A錯(cuò)誤，符合題意；B、7個(gè)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的為33，所以眾數(shù)為33℃，正確，不符合題意；C、平均數(shù)為（23+25+26+27+30+33+33）＝，正確，不符合題意；D、觀察統(tǒng)計(jì)表知：4日至5日最高氣溫下降幅度較大，正確，不符合題意，故選：A．7．已知平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（　?。〢．相離B．相交C．相切D．相交或相切【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【解答】解：⊙O的半徑為2cm，線段OA＝3cm，OB＝2cm，即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外，點(diǎn)B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，,故選：D．8．為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊(duì)買了兩種價(jià)格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費(fèi)30元，熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是熒光棒的1.5倍．若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，根據(jù)題意可列方程為（　　）A．﹣＝20B．﹣＝20C．﹣＝20D．﹣＝20【分析】若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，則繽紛棒單價(jià)是1.5x元，根據(jù)等量關(guān)系“繽紛棒比熒光棒少20根”可列方程即可．【解答】解：若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，則繽紛棒單價(jià)是1.5x元，根據(jù)題意可得：﹣＝20．故選：B．9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，點(diǎn)D在AC上，且AD＝2，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，點(diǎn)F，G分別是BC和DE的中點(diǎn)，連結(jié)AG，F(xiàn)G，當(dāng)AG＝FG時(shí)，線段DE長為（　?。〢．B．C．D．4【分析】分別過點(diǎn)G，F(xiàn)作AB的垂線，垂足為M，N，過點(diǎn)G作GP⊥FN于點(diǎn)P，由中位線定理及勾股定理可分別表示出線段AG和FG的長，建立等式可求出結(jié)論．【解答】解：如圖，分別過點(diǎn)G，F(xiàn)作AB的垂線，垂足為M，N，過點(diǎn)G作GP⊥FN于點(diǎn)P，,∴四邊形GMNP是矩形，∴GM＝PN，GP＝MN，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，∴CA⊥AB，又∵點(diǎn)G和點(diǎn)F分別是線段DE和BC的中點(diǎn)，∴GM和FN分別是△ADE和△ABC的中位線，∴GM＝＝1，AM＝AE，F(xiàn)N＝AC＝，AN＝AB＝，∴MN＝AN﹣AM＝﹣AE，∴PN＝1，F(xiàn)P＝，設(shè)AE＝m，∴AM＝m，GP＝MN＝﹣m，在Rt△AGM中，AG2＝（m）2+12，在Rt△GPF中，GF2＝（﹣m）2+（）2，∵AG＝GF，∴（m）2+12＝（﹣m）2+（）2，解得m＝3，即DE＝3，在Rt△ADE中，DE＝＝．故選：A．10．已知點(diǎn)P（a，b）在直線y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，則下列不等式一定成立的是（　?。?A．≤B．≥C．≥D．≤【分析】結(jié)合選項(xiàng)可知，只需要判斷出a和b的正負(fù)即可，點(diǎn)P（a，b）在直線y＝﹣3x﹣4上，代入可得關(guān)于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判斷出a與b正負(fù)，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)P（a，b）在直線y＝﹣3x﹣4上，∴﹣3a﹣4＝b，又2a﹣5b≤0，∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，解得a≤﹣＜0，當(dāng)a＝﹣時(shí)，得b＝﹣，∴b≥﹣，∵2a﹣5b≤0，∴2a≤5b，∴≤．故選：D．二、填空題（本題有6小題，每題4分，共24分）11．（4分）已知二元一次方程x+3y＝14，請寫出該方程的一組整數(shù)解?。ù鸢覆晃ㄒ唬。痉治觥堪褃看做已知數(shù)求出x，確定出整數(shù)解即可．【解答】解：x+3y＝14，x＝14﹣3y，當(dāng)y＝1時(shí)，y＝11，則方程的一組整數(shù)解為．故答案為：（答案不唯一）．12．（4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△ODE是位似圖形，則它們位似中心的坐標(biāo)是　（4，2）　．,【分析】根據(jù)圖示，對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)，該點(diǎn)就是位似中心．【解答】解：如圖，點(diǎn)G（4，2）即為所求的位似中心．故答案是：（4，2）．13．（4分）觀察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此規(guī)律，則第n個(gè)等式為2n﹣1＝　n2﹣（n﹣1）2?。痉治觥扛鶕?jù)題目中的式子可以發(fā)現(xiàn)：等號左邊是一些連續(xù)的奇數(shù)，等號右邊第一個(gè)數(shù)是和左邊是第幾個(gè)奇數(shù)一樣，第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)少1，然后即可寫出第n個(gè)等式．【解答】解：∵1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，∴第n個(gè)等式為2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，故答案為：n2﹣（n﹣1）2．14．（4分）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AH⊥BD于點(diǎn)H，若AB＝2，BC＝2，則AH的長為　　．【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分別利用勾股定理可求出BC和OB的長，又AH⊥OB，可利用等面積法求出AH的長．,【解答】解：如圖，∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，∴AC＝＝2，在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OC＝，在Rt△OAB中，OB＝＝，又AH⊥BD，∴OB•AH＝OA•AB，即＝，解得AH＝．故答案為：．15．（4分）看了《田忌賽馬》故事后，小楊用數(shù)學(xué)模型來分析：齊王與田忌的上中下三個(gè)等級的三匹馬記分如表，每匹馬只賽一場，兩數(shù)相比，大數(shù)為勝，三場兩勝則贏．已知齊王的三匹馬出場順序?yàn)?0，8，6．若田忌的三匹馬隨機(jī)出場，則田忌能贏得比賽的概率為　?。R匹姓名下等馬中等馬上等馬齊王6810田忌579【分析】列表得出所有等可能的情況，田忌能贏得比賽的情況有1種，再由概率公式求解即可．【解答】解：由于田忌的上、中等馬分別比齊王的中、下等馬強(qiáng)，當(dāng)齊王的三匹馬出場順序?yàn)?0，8，6時(shí)，田忌的馬按5，9，7的順序出場，田忌才能贏得比賽，當(dāng)田忌的三匹馬隨機(jī)出場時(shí)，雙方馬的對陣情況如下：,雙方馬的對陣中，只有一種對陣情況田忌能贏，∴田忌能贏得比賽的概率為．16．（4分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP，點(diǎn)A關(guān)于直線CP的對稱點(diǎn)為A′，連結(jié)A′C，A′P．在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)A′到直線AB距離的最大值是　?。稽c(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A′P掃過的面積為　?。痉治觥咳鐖D1中，過點(diǎn)B作BH⊥AC于H．解直角三角形求出CA,當(dāng)CA′⊥AB時(shí)，點(diǎn)A′到直線AB的距離最大，求出CA′,CK．可得結(jié)論．如圖2中，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A′P掃過的面積＝S扇形A′CA﹣2S△ABC，由此求解即可．【解答】解：如圖1中，過點(diǎn)B作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，BH＝AB•sin30°＝1,AH＝BH＝,在Rt△BCH中，∠BCH＝45°,∴CH＝BH＝1,∴AC＝CA′＝1+,當(dāng)CA′⊥AB時(shí)，點(diǎn)A′到直線AB的距離最大，,設(shè)CA′交AB的延長線于K．在Rt△ACK中，CK＝AC•sin30°＝,∴A′K＝CA′﹣CK＝1+﹣＝．如圖2中，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，線段A′P掃過的面積＝S扇形A′CA﹣2S△ABC＝﹣2××(1+)×1＝(1+)π﹣1﹣．故答案為：，(1+)π﹣1﹣．三、解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20，21題每題8分，第22，23題每題10分，第24題12分，共66分）17．（6分）（1）計(jì)算：2﹣1+﹣sin30°；（2）化簡并求值：1﹣，其中a＝﹣．【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、算術(shù)平方根、特殊角的三角函數(shù)值可以解答本題；（2）先通分，然后根據(jù)分式的減法法則即可化簡題目中的式子，然后將a的值代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：（1）2﹣1+﹣sin30°＝+2﹣＝2；（2）1﹣,＝＝＝，當(dāng)a＝﹣時(shí)，原式＝＝2．18．（6分）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的過程如下框：小敏：兩邊同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，則x＝6．小霞：移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．則x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【分析】小敏：沒有考慮x﹣3＝0的情況；小霞：提取公因式時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤．利用因式分解法解方程即可．【解答】解：小敏：×；小霞：×．正確的解答方法：移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．則x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x1＝3，x2＝6．19．（6分）如圖，在7×7的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，每一個(gè)小正方形的邊長為1．（1）以AB為邊畫菱形，使菱形的其余兩個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上（畫出一個(gè)即可）．（2）計(jì)算你所畫菱形的面積．,【分析】（1）先以AB為邊畫出一個(gè)等腰三角形，再作對稱即可；（2）根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半可求得．【解答】解：（1）如下圖所示：四邊形ABCD即為所畫菱形，（答案不唯一，畫出一個(gè)即可）．（2）圖1菱形面積S＝×2×6＝6，圖2菱形面積S＝×2×4＝8，圖3菱形面積S＝（）2＝10．20．（8分）根據(jù)數(shù)學(xué)家凱勒的“百米賽跑數(shù)學(xué)模型”，前30米稱為“加速期”，30米~80米為“中途期”，80米~100米為“沖刺期”．市田徑隊(duì)把運(yùn)動(dòng)員小斌某次百米跑訓(xùn)練時(shí)速度y（m/s）與路程x（m）之間的觀測數(shù)據(jù)，繪制成曲線如圖所示．（1）y是關(guān)于x的函數(shù)嗎？為什么？（2）“加速期”結(jié)束時(shí)，小斌的速度為多少？（3）根據(jù)如圖提供的信息，給小斌提一條訓(xùn)練建議．,【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義，可直接判斷；（2）由圖象可知，“加速期”結(jié)束時(shí)，即跑30米時(shí)，小斌的速度為10.4m/s．（3）答案不唯一．建議合理即可．【解答】解：（1）y是x的函數(shù)，在這個(gè)變化過程中，對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)．（2）“加速期”結(jié)束時(shí)，小斌的速度為10.4m/s．（3）答案不唯一．例如：根據(jù)圖象信息，小斌在80米左右時(shí)速度下降明顯，建議增加耐力訓(xùn)練，提高成績．21．（8分）某市為了解八年級學(xué)生視力健康狀況，在全市隨機(jī)抽查了400名八年級學(xué)生2021年初的視力數(shù)據(jù)，并調(diào)取該批學(xué)生2020年初的視力數(shù)據(jù)，制成如圖統(tǒng)計(jì)圖（不完整）：青少年視力健康標(biāo)準(zhǔn)類別視力健康狀況A視力≥5.0視力正常,B4.9輕度視力不良C4.6≤視力≤4.8中度視力不良D視力≤4.5重度視力不良根據(jù)以上信息，請解答：（1）分別求出被抽查的400名學(xué)生2021年初輕度視力不良（類別B）的扇形圓心角度數(shù)和2020年初視力正常（類別A）的人數(shù)．（2）若2021年初該市有八年級學(xué)生2萬人，請估計(jì)這些學(xué)生2021年初視力正常的人數(shù)比2020年初增加了多少人？（3）國家衛(wèi)健委要求，全國初中生視力不良率控制在69%以內(nèi)．請估計(jì)該市八年級學(xué)生2021年初視力不良率是否符合要求？并說明理由．【分析】（1）利用2021年初視力不良的百分比乘360°即可求解．（2）分別求出2021、2020年初視力正常的人數(shù)即可求解．（3）用1﹣31.25%即可得該市八年級學(xué)生2021年視力不良率，即可判斷．【解答】解：（1）被抽查的400名學(xué)生2021年初輕度視力不良的扇形圓心角度數(shù)＝360°×（1﹣31.25%﹣24.5%﹣32%）＝44.1°．該批400名學(xué)生2020年初視力正常人數(shù)＝400﹣48﹣91﹣148＝113（人）．（2）該市八年級學(xué)生221年初視力正常人數(shù)＝20000×31.25%＝6250（人）．這些學(xué)生2020年初視力正常的人數(shù)＝（人）．∴增加的人數(shù)＝6250﹣5650＝600（人）．（3）該市八年級學(xué)生2021年視力不良率＝1﹣31.25%＝68.75%．∵68.75%＜69%．∴該市八年級學(xué)生2021年初視力良率符合要求．22．（10分）一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，△BCD為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導(dǎo)管，其示意圖如圖2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．當(dāng)按壓柄△BCD按壓到底時(shí)，BD轉(zhuǎn)動(dòng)到BD′，此時(shí)BD′∥EF（如圖3）．（1）求點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D′的路徑長；,（2）求點(diǎn)D到直線EF的距離（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【分析】（1）由BD'∥EF,求出∠D'BE＝72°，可得∠DBD'＝36°，根據(jù)弧長公式即可求出點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D′的路徑長為＝π；（2）過D作DG⊥BD'于G,過E作EH⊥BD'于H，Rt△BDG中，求出DG＝BD•sin36°＝3.54,Rt△BEH中，HE＝3.80,故DG+HE≈7.3,即點(diǎn)D到直線EF的距離為7.3cm,【解答】解：∵BD'∥EF,∠BEF＝108°，∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，∵∠DBE＝108°，∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝108°﹣72°＝36°，∵BD＝6，∴點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D′的路徑長為＝π；（2）過D作DG⊥BD'于G,過E作EH⊥BD'于H，如圖：Rt△BDG中，DG＝BD•sin36°≈6×0.59＝3.54,Rt△BEH中，HE＝BE•sin72°≈4×0.95＝3.80,∴DG+HE＝3.54+3.80＝7.34≈7.3,,∵BD'∥EF,∴點(diǎn)D到直線EF的距離約為7.3cm,答：點(diǎn)D到直線EF的距離約為7.3cm．23．（10分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5．（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m﹣n＝3，求t的值．【分析】（1）解析式化成頂點(diǎn)式即可求得；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得最大值和最小值；（3）分三種情況討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最大值m和最小值n，進(jìn)而根據(jù)m﹣n＝3得到關(guān)于t的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝（x﹣3）2+4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）；（2）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），∴當(dāng)x＝3時(shí)，y最大值＝4，∵當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y最小值＝0，∵當(dāng)3＜x≤4時(shí)，y隨著x的增大而減小，∴當(dāng)x＝4時(shí)，y最小值＝3．∴當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值為4，最小值為0；（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，對t進(jìn)行分類討論，①當(dāng)t+3＜3時(shí)，即t＜0，y隨著x的增大而增大，當(dāng)x＝t+3時(shí)，m＝（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，當(dāng)x＝t時(shí)，n＝﹣t2+6t﹣5，∴m﹣n＝﹣＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合題意，舍去），②當(dāng)0≤t＜3時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，∴m＝4，i）當(dāng)0≤t≤時(shí)，在x＝t時(shí)，n＝﹣t2+6t﹣5，,∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合題意，舍去）；ii）當(dāng)＜t＜3時(shí)，在x＝t+3時(shí)，n＝﹣t2+4，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合題意，舍去），③當(dāng)t≥3時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x＝t時(shí)，m＝﹣t2+6t﹣5，當(dāng)x＝t+3時(shí)，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合題意，舍去），綜上所述，t＝3﹣或．24．（12分）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，連結(jié)BD．[探究1]如圖1，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)C′恰好在DB延長線上．若AB＝1，求BC的長．[探究2]如圖2，連結(jié)AC′，過點(diǎn)D′作D′M∥AC′交BD于點(diǎn)M．線段D′M與DM相等嗎？請說明理由．[探究3]在探究2的條件下，射線DB分別交AD′，AC′于點(diǎn)P，N（如圖3），發(fā)現(xiàn)線段DN，MN，PN存在一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明．【分析】（1）如圖1，設(shè)BC＝x，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，證明△D'C'B∽△ADB，由相似三角形的性質(zhì)得出，由比例線段得出方程，求出x的值即可得出答案；（2）連接DD'，證明△AC'D'≌△DAB（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠D'AC'＝∠ADB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADD'＝∠AD'D，證出∠MDD'＝∠MD'D，則可得出結(jié)論；,（3）連接AM，證明△AD'M≌△ADM（SSS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠MAD'＝∠MAD，得出MN＝AN，證明△NPA∽△NAD，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，設(shè)BC＝x，∵矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形AB′C′D′，∴點(diǎn)A，B，D’在同一直線上，∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，∵∠BAD＝∠D'＝90°，∴D'C'∥DA，又∵點(diǎn)C'在DB的延長線上，∴△D'C'B∽△ADB，∴，∴，解得x1＝，x2＝（不合題意，舍去），∴BC＝．（2）D'M＝DM．證明：如圖2，連接DD'，,∵D'M∥AC'，∴∠AD'M＝∠D'AC'，∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，∴△AC'D'≌△DAB（SAS），∴∠D'AC'＝∠ADB，∴∠ADB＝∠AD'M，∵AD'＝AD，∴∠ADD'＝∠AD'D，∴∠MDD'＝∠MD'D，∴D'M＝DM；（3）關(guān)系式為MN2＝PN•DN．證明：如圖3，連接AM，∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，∴△AD'M≌△ADM（SSS），∴∠MAD'＝∠MAD，∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，∴∠AMN＝∠NAM，∴MN＝AN，在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，∴△NPA∽△NAD，∴，∴AN2＝PN•DN，∴MN2＝PN•DN．,