2021年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷浙江省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．實(shí)數(shù)﹣，﹣，2，﹣3中，為負(fù)整數(shù)的是（　?。〢．﹣B．﹣C．2D．﹣32．+＝（　?。〢．3B．C．D．3．太陽與地球的平均距離大約是150000000千米，其中數(shù)150000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。〢．1.5×108B．15×107C．1.5×107D．0.15×1094．一個(gè)不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則這個(gè)不等式可以是（　?。〢．x+2＞0B．x﹣2＜0C．2x≥4D．2﹣x＜05．某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（　?。┤鐖D，已知直線l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，則∠3＝∠4．請完成下面的說理過程．解：已知∠1＝∠2，根據(jù)（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），得l1∥l2．再根據(jù)（※），得∠3＝∠4．A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) 6．將如圖所示的直棱柱展開，下列各示意圖中不可能是它的表面展開圖的是（　　）A．B．C．D．7．如圖是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC與地面BC的夾角為α，則兩梯腳之間的距離BC為（　?。〢．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米8．已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上．若x1＜0＜x2，則（　?。〢．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜09．某超市出售一商品，有如下四種在原標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上調(diào)價(jià)的方案，其中調(diào)價(jià)后售價(jià)最低的是（　　）A．先打九五折，再打九五折B．先提價(jià)50%，再打六折C．先提價(jià)30%，再降價(jià)30%D．先提價(jià)25%，再降價(jià)25%10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N都在同一個(gè)圓上．記該圓面積為S1，△ABC面積為S2，則的值是（　?。? A．B．3πC．5πD．二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）二次根式中，字母x的取值范圍是　　．12．（4分）已知是方程3x+2y＝10的一個(gè)解，則m的值是　?。?3．（4分）某單位組織抽獎(jiǎng)活動(dòng)，共準(zhǔn)備了150張獎(jiǎng)券，設(shè)一等獎(jiǎng)5個(gè)，二等獎(jiǎng)20個(gè)，三等獎(jiǎng)80個(gè)．已知每張獎(jiǎng)券獲獎(jiǎng)的可能性相同，則1張獎(jiǎng)券中一等獎(jiǎng)的概率是　?。?4．（4分）如圖，菱形ABCD的邊長為6cm，∠BAD＝60°，將該菱形沿AC方向平移2cm得到四邊形A′B′C′D′，A′D′交CD于點(diǎn)E，則點(diǎn)E到AC的距離為　　cm．15．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC及四邊形②的邊CD都在x軸上，“貓”耳尖E在y軸上．若“貓”尾巴尖A的橫坐標(biāo)是1，則“貓”爪尖F的坐標(biāo)是　?。?6．（4分）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置．木條BC上的點(diǎn)P處安裝一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點(diǎn)為D，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在MN上形成一個(gè)光點(diǎn)E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．（1）ED的長為　　． （2）將木條BC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到BC′（如圖2），點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P′，BC′與MN的交點(diǎn)為D′，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P′反射后，在MN上的光點(diǎn)為E′．若DD′＝5，則EE′的長為　?。⒔獯痤}（本題有8小題，共66分，各小題都必須寫出解答過程）17．（6分）計(jì)算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．18．（6分）已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．19．（6分）已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形對角線的長．（2）過O作OE⊥AD于點(diǎn)E，連結(jié)BE．記∠ABE＝α，求tanα的值．20．（8分）小聰、小明準(zhǔn)備代表班級參加學(xué)?！包h史知識”競賽，班主任對這兩名同學(xué)測試了6次，獲得如圖測試成績折線統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）要評價(jià)每位同學(xué)成績的平均水平，你選擇什么統(tǒng)計(jì)量？求這個(gè)統(tǒng)計(jì)量．（2）求小聰成績的方差．（3）現(xiàn)求得小明成績的方差為S小明2＝3（單位：平方分）．根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖及上面兩小題的計(jì)算，你認(rèn)為哪位同學(xué)的成績較好？請簡述理由． 21．（8分）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA．（2）求落水點(diǎn)C，D之間的距離．（3）若需要在OD上的點(diǎn)E處豎立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．問：頂部F是否會碰到水柱？請通過計(jì)算說明．22．（10分）在扇形AOB中，半徑OA＝6，點(diǎn)P在OA上，連結(jié)PB，將△OBP沿PB折疊得到△O′BP．（1）如圖1，若∠O＝75°，且BO′與所在的圓相切于點(diǎn)B．①求∠APO′的度數(shù)．②求AP的長．（2）如圖2，BO′與相交于點(diǎn)D，若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，且PD∥OB，求的長． 23．（10分）背景：點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AC⊥y軸于點(diǎn)C，分別在射線AC，BO上取點(diǎn)D，E，使得四邊形ABED為正方形．如圖1，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，當(dāng)AC＝4時(shí)，小李測得CD＝3．探究：通過改變點(diǎn)A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D，A的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系．請幫助小李解決下列問題．（1）求k的值．（2）設(shè)點(diǎn)A，D的橫坐標(biāo)分別為x，z，將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”．如圖2，小李畫出了x＞0時(shí)“Z函數(shù)”的圖象．①求這個(gè)“Z函數(shù)”的表達(dá)式．②補(bǔ)畫x＜0時(shí)“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）．③過點(diǎn)（3，2）作一直線，與這個(gè)“Z函數(shù)”圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，求該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0），點(diǎn)B在直線l：y＝x上，過點(diǎn)B作AB的垂線，過原點(diǎn)O作直線l的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C．（1）如圖，點(diǎn)B，C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與AO相交于點(diǎn)D．①若BA＝BO，求證：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四邊形ABOC的面積．（2）是否存在點(diǎn)B，使得以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似？若存在，求OB的長；若不存在，請說明理由． 2021年浙江省金華市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．實(shí)數(shù)﹣，﹣，2，﹣3中，為負(fù)整數(shù)的是（　　）A．﹣B．﹣C．2D．﹣3【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類即可做出判斷．【解答】解：A選項(xiàng)是負(fù)分?jǐn)?shù)，不符合題意；B選項(xiàng)是無理數(shù)，不符合題意；C選項(xiàng)是正整數(shù)，不符合題意；D選項(xiàng)是負(fù)整數(shù)，符合題意；故選：D．2．+＝（　?。〢．3B．C．D．【分析】根據(jù)同分母的分式的加減法法則計(jì)算即可．【解答】解：+＝＝，故選：D．3．太陽與地球的平均距離大約是150000000千米，其中數(shù)150000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）A．1.5×108B．15×107C．1.5×107D．0.15×109【分析】對于大于10的數(shù)，可以寫成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)，n的值比原數(shù)的位數(shù)少1．【解答】解：150000000＝1.5×108，故選：A．4．一個(gè)不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則這個(gè)不等式可以是（　?。〢．x+2＞0B．x﹣2＜0C．2x≥4D．2﹣x＜0 【分析】解不等式，可得不等式的解集，根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法，可得答案．【解答】解：A、x＞﹣2，故A錯(cuò)誤；B、x＜2，故B正確；C、x≥2，故C錯(cuò)誤；D、x＞2，故D錯(cuò)誤．故選：B．5．某同學(xué)的作業(yè)如下框，其中※處填的依據(jù)是（　?。┤鐖D，已知直線l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，則∠3＝∠4．請完成下面的說理過程．解：已知∠1＝∠2，根據(jù)（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），得l1∥l2．再根據(jù)（※），得∠3＝∠4．A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)【分析】先證l1∥l2，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：已知∠1＝∠2，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得l1∥l2，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得∠3＝∠4．故選：C．6．將如圖所示的直棱柱展開，下列各示意圖中不可能是它的表面展開圖的是（　?。? A．B．C．D．【分析】直三棱柱的表面展開圖的特點(diǎn)，由三個(gè)長方形的側(cè)面和上下兩個(gè)等邊三角形的底面組成．【解答】解：選項(xiàng)A、B、C均可能是該直棱柱展開圖，而選項(xiàng)D中的兩個(gè)底面會重疊，不可能是它的表面展開圖，故選：D．7．如圖是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC與地面BC的夾角為α，則兩梯腳之間的距離BC為（　　）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD＝DC,再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DC的長，即可得出答案?！窘獯稹拷猓哼^點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,∵AB＝AC＝2米,AD⊥BC,∴BD＝DC,∴cosα＝＝,∴DC＝2cosα(米），∴BC＝2DC＝2?2cosα＝4cosα(米）。故選：A． 8．已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上．若x1＜0＜x2，則（　?。〢．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【分析】由k＜0，雙曲線在第二，四象限，根據(jù)x1＜0＜x2即可判斷點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B在第四象限，從而判定y2＜0＜y1．【解答】解：∵k＝﹣12＜0，∴雙曲線在第二，四象限，∵x1＜0＜x2，∴點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B在第四象限，∴y2＜0＜y1；故選：B．9．某超市出售一商品，有如下四種在原標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上調(diào)價(jià)的方案，其中調(diào)價(jià)后售價(jià)最低的是（　?。〢．先打九五折，再打九五折B．先提價(jià)50%，再打六折C．先提價(jià)30%，再降價(jià)30%D．先提價(jià)25%，再降價(jià)25%【分析】設(shè)商品原標(biāo)價(jià)為a，然后分別計(jì)算每種調(diào)價(jià)方案后的售價(jià)，進(jìn)行比較求解．【解答】解：設(shè)商品原標(biāo)價(jià)為a元，A.先打九五折，再打九五折的售價(jià)為：0.95×0.95a＝0.9025a；B.先提價(jià)50%，再打六折的售價(jià)為：(1+50%)×0.6a＝0.9a；C.先提價(jià)30%，再降價(jià)30%的售價(jià)為：（1+30%）（1﹣30%）a＝0.91a；D.先提價(jià)25%，再降價(jià)25%的售價(jià)為：（1+25%）（1﹣25%）a＝0.9375a，∵0.9a＜0.9025a＜0.91a＜0.9375a，∴B選項(xiàng)的調(diào)價(jià)方案調(diào)價(jià)后售價(jià)最低，故選：B．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90° ，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N都在同一個(gè)圓上．記該圓面積為S1，△ABC面積為S2，則的值是（　?。〢．B．3πC．5πD．【分析】先設(shè)Rt△ABC的三邊長為a，b，c，其中c為斜邊，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)圖形找出a，b，c，r的關(guān)系，用含c的式子表示S1和S2，即可求出比值．【解答】解：如圖，設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2+b2＝c2，①取AB的中點(diǎn)為O，∵△ABC是直角三角形，∴OA＝OB＝OC，∵圓心在MN和HG的垂直平分線上，∴O為圓心，連接OG，OE，則OG，OE為半徑，由勾股定理得：，②由①②得a＝b，∴， ∴，∴，∴，故選：C．二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）二次根式中，字母x的取值范圍是　x≥3　．【分析】由二次根式有意義的條件得出不等式，解不等式即可．【解答】解：當(dāng)x﹣3≥0時(shí)，二次根式有意義，則x≥3；故答案為：x≥3．12．（4分）已知是方程3x+2y＝10的一個(gè)解，則m的值是　2　．【分析】把方程組的解代入到方程中，得到關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，∴m＝2，故答案為：2．13．（4分）某單位組織抽獎(jiǎng)活動(dòng)，共準(zhǔn)備了150張獎(jiǎng)券，設(shè)一等獎(jiǎng)5個(gè)，二等獎(jiǎng)20個(gè)，三等獎(jiǎng)80個(gè)．已知每張獎(jiǎng)券獲獎(jiǎng)的可能性相同，則1張獎(jiǎng)券中一等獎(jiǎng)的概率是　　．【分析】直接根據(jù)概率公式即可得出結(jié)論．【解答】解：∵共有150張獎(jiǎng)券，一等獎(jiǎng)5個(gè)，∴1張獎(jiǎng)券中一等獎(jiǎng)的概率＝＝．故答案為：．14．（4分）如圖，菱形ABCD的邊長為6cm，∠BAD＝60°，將該菱形沿AC方向平移2cm得到四邊形A′B′C′D′，A′D′交CD于點(diǎn)E，則點(diǎn)E到AC的距離為　2　cm． 【分析】連接BD,過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F,根據(jù)菱形的性質(zhì)可以證明三角形ABD是等邊三角形，根據(jù)平移的性質(zhì)可得AD∥A′E,可得＝,＝,解得A′E＝4(cm),再利用30度角所對直角邊等于斜邊的一半即可求出結(jié)論。【解答】解：如圖，連接BD,過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F,∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB,BD⊥AC,∵∠BAD＝60°，∴三角形ABD是等邊三角形，∵菱形ABCD的邊長為6cm,∴AD＝AB＝BD＝6cm,∴AG＝GC＝3(cm),∴AC＝6(cm),∵AA′＝2(cm),∴A′C＝4(cm),∵AD∥A′E,∴＝,∴＝,∴A′E＝4(cm),∵∠EA′F＝∠DAC＝DAB＝30°,∴EF＝A′E＝2(cm)．故答案為：2． 15．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一只用七巧板拼成的“貓”，三角形①的邊BC及四邊形②的邊CD都在x軸上，“貓”耳尖E在y軸上．若“貓”尾巴尖A的橫坐標(biāo)是1，則“貓”爪尖F的坐標(biāo)是　(﹣﹣,+)　．【分析】如圖，作AH⊥x軸于H，過點(diǎn)F作FJ⊥y軸于J交PQ于K,延長PQ交OB于T．設(shè)大正方形的邊長為4a,則OC＝a,CD＝2a,根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，構(gòu)建方程求出a,解直角三角形求出FJ,KT,可得結(jié)論．【解答】解：如圖，作AH⊥x軸于H,過點(diǎn)F作FJ⊥y軸于J交PQ于K,延長PQ交OB于T．設(shè)大正方形的邊長為4a,則OC＝a,CD＝2a,在Rt△ADH中，∠ADH＝45°,∴AH＝AD＝a,∴OH＝4a,∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，∴4a＝1,∴a＝,在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a＝,∴PQ＝PF＝,∵FK⊥PQ,∴PK＝KQ, ∴FK＝PK＝QK＝,∵KJ＝，PT＝1+(﹣)＝+,∴FJ＝+,KT＝PT﹣PK＝+﹣＝+,∴F(﹣﹣,+)．故答案為：(﹣﹣,+)．16．（4分）如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置．木條BC上的點(diǎn)P處安裝一平面鏡，BC與刻度尺邊MN的交點(diǎn)為D，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在MN上形成一個(gè)光點(diǎn)E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．（1）ED的長為　13　．（2）將木條BC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到BC′（如圖2），點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P′，BC′與MN的交點(diǎn)為D′，從A點(diǎn)發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P′反射后，在MN上的光點(diǎn)為E′．若DD′＝5，則EE′的長為　11.5?。痉治觥浚?）由題意可得，△ABP∽△EDP，則＝，進(jìn)而可得出DE的長；（2）過點(diǎn)E′作∠E′FG＝∠E′D′F，過點(diǎn)E′作E′G⊥BC′于點(diǎn)G，易得△ABP′∽△E′FP′，由此可得＝，在Rt△BDD′中，由勾股定理可求出BD′的長，可求出∠BD′D的正切值，設(shè)P′F的長，分別表示E′F和E′D′及FG和GD′的長，再根據(jù)BD′＝13，可建立等式，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，由題意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8， ∴＝，∴DE＝13；故答案為：13．（2）如圖2，過點(diǎn)E′作∠E′FG＝∠E′D′F，過點(diǎn)E′作E′G⊥BC′于點(diǎn)G，∴E′F＝E′D′，F(xiàn)G＝GD′，∵AB∥MN，∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，∴∠ABP′＝∠E′FP′，又∠AP′B＝∠E′P′F，∴△ABP′∽△E′FP′，∴＝即，＝，設(shè)P′F＝4m，則E′F＝6.5m，∴E′D′＝6.5m，在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，由勾股定理可得，BD′＝13，∴cos∠BD′D＝，在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝＝，∴GD′＝2.5m，∴FG＝GD′＝2.5m，∵BP′+P′F+FG+GD′＝13， ∴4+4m+2.5m+2.5m＝13，解得m＝1,∴E′D′＝6.5,∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．故答案為：11.5．三、解答題（本題有8小題，共66分，各小題都必須寫出解答過程）17．（6分）計(jì)算：（﹣1）2021+﹣4sin45°+|﹣2|．【分析】先分別計(jì)算有理數(shù)的乘方，二次根式的化簡，代入特殊角三角函數(shù)值，絕對值的化簡，然后再計(jì)算．【解答】解：原式＝﹣1+﹣4×+2＝﹣1+2﹣2+2＝1．18．（6分）已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2＝﹣6x+2，當(dāng)x＝時(shí)，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．19．（6分）已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形對角線的長．（2）過O作OE⊥AD于點(diǎn)E，連結(jié)BE．記∠ABE＝α，求tanα的值．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AC＝2AO，根據(jù)等邊三角形的判定得出△AOB是等邊三角形，求出AB＝AO＝2，求出BD；（2）根據(jù)勾股定理求出AD,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得AE ,然后解直角三角形求得tanα的值．【解答】解：(1)∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴AO＝BO，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝BO，∵AB＝2，∴BO＝2，∴BD＝2BO＝4，∴矩形對角線的長為4；（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵OA＝OD,OE⊥AD于點(diǎn)E，∴AE＝DE＝AD＝,∴tanα＝＝．20．（8分）小聰、小明準(zhǔn)備代表班級參加學(xué)?！包h史知識”競賽，班主任對這兩名同學(xué)測試了6次，獲得如圖測試成績折線統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）要評價(jià)每位同學(xué)成績的平均水平，你選擇什么統(tǒng)計(jì)量？求這個(gè)統(tǒng)計(jì)量．（2）求小聰成績的方差．（3）現(xiàn)求得小明成績的方差為S小明2＝3（單位：平方分）．根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖及上面兩小題的計(jì)算，你認(rèn)為哪位同學(xué)的成績較好？請簡述理由．【分析】 （1）要評價(jià)每位同學(xué)成績的平均水平，選擇平均數(shù)即可，根據(jù)平均數(shù)的定義計(jì)算出兩人的平均數(shù)即可；（2）根據(jù)方差的計(jì)算方法計(jì)算即可；（3）由（1）可知兩人的平均數(shù)相同，由方差可知小林的成績波動(dòng)較小，所以方差較小，成績相對穩(wěn)定．【解答】解：（1）要評價(jià)每位同學(xué)成績的平均水平，選擇平均數(shù)即可，小聰成績的平均數(shù)：（7+8+7+10+7+9）＝8，小明成績的平均數(shù)：（7+6+6+9+10+10）＝8，答：應(yīng)選擇平均數(shù)，小聰、小明的平均數(shù)分別是8，8；（2）小聰成績的方差為：[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝；（3）小聰同學(xué)的成績較好，理由：由（1）可知兩人的平均數(shù)相同，因?yàn)樾÷敵煽兊姆讲罘讲钚∮谛∶鞒煽兊姆讲?，成績相對穩(wěn)定．故小聰同學(xué)的成績較好．21．（8分）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA．（2）求落水點(diǎn)C，D之間的距離．（3）若需要在OD上的點(diǎn)E處豎立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．問：頂部F是否會碰到水柱？請通過計(jì)算說明．【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出雕塑高OA的值；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出OD的長度，由噴出的水柱為拋物線且形狀相同,可得出OC的長，結(jié)合CD＝OC+OD即可求出落水點(diǎn)C， D之間的距離;（3）代入x＝10求出y值，進(jìn)而可得出點(diǎn)（10，）在拋物線y＝﹣（x﹣5）2+6上，將與1.8比較后即可得出頂部F不會碰到水柱．【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣（0﹣5）2+6＝，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），∴雕塑高m．（2）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣（x﹣5）2+6＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（11，0），∴OD＝11m．∵從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同,∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．（3）當(dāng)x＝10時(shí)，y＝﹣（10﹣5）2+6＝，∴點(diǎn)（10，）在拋物線y＝﹣（x﹣5）2+6上．又∵≈1.83＞1.8，∴頂部F不會碰到水柱．22．（10分）在扇形AOB中，半徑OA＝6，點(diǎn)P在OA上，連結(jié)PB，將△OBP沿PB折疊得到△O′BP．（1）如圖1，若∠O＝75°，且BO′與所在的圓相切于點(diǎn)B．①求∠APO′的度數(shù)．②求AP的長．（2）如圖2，BO′與相交于點(diǎn)D，若點(diǎn)D為的中點(diǎn)，且PD∥OB，求的長． 【分析】（1）①利用三角形內(nèi)角和定理求解即可。②如圖1中，過點(diǎn)B作BH⊥OA于H,在BH上取一點(diǎn)F,使得OF＝FB,連接OF．想辦法求出OH,PH,可得結(jié)論。（2）如圖2中，連接AD,OD．證明∠AOB＝72°可得結(jié)論。【解答】解：（1）①如圖1中，∵BO′是⊙O的切線，∴∠OBO′＝90°,由翻折的性質(zhì)可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,∵∠AOB＝75°,∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,∴∠OPO′＝120°,∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．②如圖1中，過點(diǎn)B作BH⊥OA于H,在BH上取一點(diǎn)F,使得OF＝FB,連接OF．∵∠BHO＝90°,∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,∵FO＝FB,∴∠FOB＝∠FBO＝15°,∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,設(shè)OH＝m,則HF＝m,OF＝FB＝2m,∵OB2＝OH2+BH2,∴62＝m2+(m+2m)2,∴m＝或﹣（舍棄），∴OH＝,BH＝, 在Rt△PBH中，PH＝＝,∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．(2)如圖2中，連接AD,OD．∵＝,∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,由翻折的旋轉(zhuǎn)可知，∠OBP＝∠PBD,∵PD∥OB,∴∠DPB＝∠OBP,∴∠DPB＝∠PBD,∴DP＝DB＝AD,∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,∴△AOD≌△BOD,∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,∵OB＝OD,∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,∴∠DOB＝36°,∴∠AOB＝72°，∴的長＝＝。 23．（10分）背景：點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AC⊥y軸于點(diǎn)C，分別在射線AC，BO上取點(diǎn)D，E，使得四邊形ABED為正方形．如圖1，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，當(dāng)AC＝4時(shí)，小李測得CD＝3．探究：通過改變點(diǎn)A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D，A的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系．請幫助小李解決下列問題．（1）求k的值．（2）設(shè)點(diǎn)A，D的橫坐標(biāo)分別為x，z，將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”．如圖2，小李畫出了x＞0時(shí)“Z函數(shù)”的圖象．①求這個(gè)“Z函數(shù)”的表達(dá)式．②補(bǔ)畫x＜0時(shí)“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）．③過點(diǎn)（3，2）作一直線，與這個(gè)“Z函數(shù)”圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，求該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【分析】（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出k即可．（2）①求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式即可．②描點(diǎn)法在車上的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象可得結(jié)論（答案不唯一）．③由題意可知直線的解析式為y＝kx+2﹣3k,構(gòu)建方程組，利用△＝0，求出k 可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵AC＝4,CD＝3,∴AD＝AC﹣CD＝1,∵四邊形ABED是正方形，∴AB＝1,∵AC⊥y軸，AB⊥x軸，∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°,∴四邊形ABOC是矩形，∴OB＝AC＝4,∴A(4,1),∴k＝4．(2)①由題意，A(x,x﹣z),∴x(x﹣z)＝4,∴z＝x﹣．②圖象如圖所示．性質(zhì)1：x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大．性質(zhì)2：x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大．③設(shè)直線的解析式為y＝kx+b,把（3,2）代入得到，2＝3k+b, ∴b＝2﹣3k,∴直線的解析式為y＝kx+2﹣3k,由,消去y得到，（k﹣1）x2+(2﹣3k)x+4＝0,當(dāng)△＝0時(shí)，(2﹣3k)2﹣4(k﹣1)×4＝0,解得k＝或2，當(dāng)k＝時(shí)，方程為x2﹣x+4,解得x＝6．當(dāng)k＝2時(shí)，方程為x2﹣4x+4＝0,解得x＝2．綜上所述，滿足條件的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或6．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0），點(diǎn)B在直線l：y＝x上，過點(diǎn)B作AB的垂線，過原點(diǎn)O作直線l的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C．（1）如圖，點(diǎn)B，C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與AO相交于點(diǎn)D．①若BA＝BO，求證：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四邊形ABOC的面積．（2）是否存在點(diǎn)B，使得以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似？若存在，求OB的長；若不存在，請說明理由．【分析】（1）①由BC⊥AB,CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根據(jù)已知有∠BAD＝∠DOB,故∠ADB＝∠COD,從而可得∠COD＝∠CDO,CD＝CO；②過A作AM⊥OB于M，過M作MN⊥y軸于N，設(shè)M（m,m),可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝,即＝，設(shè)AM＝3n,則OM＝8n,Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM 是等腰直角三角形，從而有AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四邊形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）過A作AM⊥OB于M,設(shè)OB＝x,則BM＝8﹣x,AB＝,由△AMB∽△BOC,對應(yīng)邊成比例可得OC＝,Rt△BOC中，BC＝,以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似，分兩種情況：①若＝,則＝,可得OB＝4；②若＝,則＝,解得OB＝4+或OB＝4﹣．【解答】（1）①證明：∵BC⊥AB,CO⊥BO，∴∠ABC＝∠BCO＝90°，∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，∵BA＝BO,∴∠BAD＝∠DOB,∴∠ADB＝∠COD,∵∠ADB＝∠CDO,∴∠COD＝∠CDO,∴CD＝CO；②解：過A作AM⊥OB于M，過M作MN⊥y軸于N，如圖：∵M(jìn)在直線l：y＝x上，設(shè)M（m,m),∴MN＝|m|＝﹣m,ON＝|m|＝﹣m, Rt△MON中，tan∠OMN＝＝,而OA∥MN,∴∠AOM＝∠OMN,∴tan∠AOM＝,即＝，設(shè)AM＝3n,則OM＝8n,Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，又A的坐標(biāo)為（﹣，0），∴OA＝，∴(3n)2+(8n)2＝()2,解得n＝1（n＝﹣1舍去），∴AM＝3，OM＝8，∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC⊥AB,∠CBO＝45°,∴∠ABM＝45°，∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，∴S△ABC＝AB?BC＝15，S△BOC＝BO?CO＝，∴S四邊形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）解：存在點(diǎn)B，使得以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似,理由如下：過A作AM⊥OB于M,如圖： 由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，設(shè)OB＝x,則BM＝8﹣x,AB＝,∵CO⊥BO，AM⊥BO,AB⊥BC,∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO,∴△AMB∽△BOC,∴＝,即＝,∴OC＝,Rt△BOC中，BC＝＝,∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似，分兩種情況：①若＝,則＝,解得x＝4,∴此時(shí)OB＝4；②若＝,則＝,解得x1＝4+,x2＝4﹣,∴OB＝4+或OB＝4﹣；綜上所述，以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似，則OB的長度為：4或4+或4﹣；