2021年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷四川省樂山市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本大題共10個小題,每小題3分,共30分.1.(3分)如果規(guī)定收入為正,那么支出為負(fù),收入2元記作+2,支出5元記作( ?。〢.5元B.﹣5元C.﹣3元D.7元2.(3分)在一次心理健康教育活動中,張老師隨機抽取了40名學(xué)生進(jìn)行了心理健康測試,并將測試結(jié)果按“健康、亞健康、不健康”繪制成下列表格,其中測試結(jié)果為“健康”的頻率是( ?。╊愋徒】祦喗】挡唤】禂?shù)據(jù)(人)3271A.32B.7C.D.3.(3分)某種商品m千克的售價為n元,那么這種商品8千克的售價為( ?。〢.(元)B.(元)C.(元)D.(元)4.(3分)如圖,已知直線l1、l2、l3兩兩相交,且l1⊥l3,若α=50°,則β的度數(shù)為( )A.120°B.130°C.140°D.150°5.(3分)如圖,已知直線l1:y=﹣2x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點,那么過原點O且將△AOB的面積平分的直線l2的解析式為( ?。〢.y=xB.y=xC.y=xD.y=2x
6.(3分)如圖是由4個相同的小正方體堆成的物體,將它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)90°后,其主視圖是( ?。〢.B.C.D.7.(3分)七巧板起源于我國先秦時期,古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù),經(jīng)歷代演變而成七巧板,如圖1所示.19世紀(jì)傳到國外,被稱為“唐圖”(意為“來自中國的拼圖”),圖2是由邊長為4的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問蹬”圖,則圖中抬起的“腿”(即陰影部分)的面積為( ?。〢.3B.C.2D.8.(3分)如圖,已知點P是菱形ABCD的對角線AC延長線上一點,過點P分別作AD、DC延長線的垂線,垂足分別為點E、F.若∠ABC=120°,AB=2,則PE﹣PF的值為( )A.B.C.2D.9.(3分)如圖,已知OA=6,OB=8,BC=2,⊙P與OB、AB均相切,點P是線段AC與拋物線y=ax2的交點,則a的值為( ?。?
A.4B.C.D.510.(3分)如圖,直線l1與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象相交于A、B兩點,線段AB的中點為點C,過點C作x軸的垂線,垂足為點D.直線l2過原點O和點C.若直線l2上存在點P(m,n),滿足∠APB=∠ADB,則m+n的值為( ?。〢.3﹣B.3或C.3+或3﹣D.3二、填空題:本大題共6個小題,每小題3分,共18分.11.(3分)(2021﹣π)0= ?。?2.(3分)因式分解:4a2﹣9= .13.(3分)如圖是根據(jù)甲、乙兩人5次射擊的成績(環(huán)數(shù))制作的折線統(tǒng)計圖.你認(rèn)為誰的成績較為穩(wěn)定? ?。ㄌ睢凹住被颉耙摇保?4.(3分)如圖,為了測量“四川大渡河峽谷”石碑的高度,佳佳在點C處測得石碑頂A
點的仰角為30°,她朝石碑前行5米到達(dá)點D處,又測得石碑頂A點的仰角為60°,那么石碑的高度AB的長= 米.(結(jié)果保留根號)15.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,有一個銳角為60°,AB=4.若點P在直線AB上(不與點A,B重合),且∠PCB=30°,則CP的長為 .16.(3分)如圖,已知點A(4,3),點B為直線y=﹣2上的一動點,點C(0,n),﹣2<n<3,AC⊥BC于點C,連接AB.若直線AB與x正半軸所夾的銳角為α,那么當(dāng)sinα的值最大時,n的值為 ?。?、本大題共3個小題,每小題9分,共27分.17.(9分)當(dāng)x取何正整數(shù)值時,代數(shù)式與的值的差大于1.18.(9分)如圖.已知AB=DC,∠A=∠D,AC與DB相交于點O,求證:∠OBC=∠OCB.
19.(9分)已知﹣=,求A、B的值.四、本大題共3個小題,每小題10分,共30分.20.(10分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x﹣m=0.(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根,求m的取值范圍;(2)二次函數(shù)y=x2+x﹣m的部分圖象如圖所示,求一元二次方程x2+x﹣m=0的解.21.(10分)某中學(xué)全校師生聽取了“禁毒”宣傳報告后,對禁毒人員肅然起敬.學(xué)校德育處隨后決定在全校1000名學(xué)生中開展“我為禁毒獻(xiàn)愛心”的捐款活動.張老師在周五隨機調(diào)查了部分學(xué)生隨身攜帶零花錢的情況,并將收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖.(1)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù);(2)經(jīng)調(diào)查,當(dāng)學(xué)生身上的零花錢多于15元時,都愿捐出零花錢的20%,其余學(xué)生不參加捐款.請你估計周五這一天該??赡苁盏綄W(xué)生自愿捐款多少元?(3)捐款最多的兩人將和另一個學(xué)校選出的兩人組成一個“禁毒”知識宣講小組,若從4人中隨機指定兩人擔(dān)任正、副組長,求這兩人來自不同學(xué)校的概率.22.(10分)如圖,直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點,交反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象于P、Q兩點.若AB=2BP,且△AOB的面積為4.
(1)求k的值;(2)當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為﹣1時,求△POQ的面積.五、本大題共2個小題,每小題10分,共20分.23.(10分)通過實驗研究發(fā)現(xiàn):初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)隨上課時間的變化而變化,上課開始時,學(xué)生興趣激增,中間一段時間,學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài),隨后開始分散.學(xué)生注意力指標(biāo)y隨時間x(分鐘)變化的函數(shù)圖象如圖所示,當(dāng)0≤x<10和10≤x<20時,圖象是線段;當(dāng)20≤x≤45時,圖象是反比例函數(shù)的一部分.(1)求點A對應(yīng)的指標(biāo)值;(2)張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17分鐘,他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?,使學(xué)生在聽這道綜合題的講解時,注意力指標(biāo)都不低于36?請說明理由.24.(10分)如圖,已知點C是以AB為直徑的半圓上一點,D是AB延長線上一點,過點D作BD的垂線交AC的延長線于點E,連結(jié)CD,且CD=ED.(1)求證:CD是⊙O的切線;(2)若tan∠DCE=2,BD=1,求⊙O的半徑.
六、本大題共2個小題,第25題12分,第26題13分,共25分.25.(12分)在等腰△ABC中,AB=AC,點D是BC邊上一點(不與點B、C重合),連結(jié)AD.(1)如圖1,若∠C=60°,點D關(guān)于直線AB的對稱點為點E,連結(jié)AE,DE,則∠BDE= ??;(2)若∠C=60°,將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,連結(jié)BE.①在圖2中補全圖形;②探究CD與BE的數(shù)量關(guān)系,并證明;(3)如圖3,若=k,且∠ADE=∠C.試探究BE、BD、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明.26.(13分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上,且經(jīng)過點A(0,),B(2,﹣).(1)求b的值(用含a的代數(shù)式表示);(2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c在1≤x≤3時,y的最大值為1,求a的值;(3)將線段AB向右平移2個單位得到線段A′B′.若線段A′B′與拋物線y=ax2+bx+c+4a﹣1僅有一個交點,求a的取值范圍.
2021年四川省樂山市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共10個小題,每小題3分,共30分.1.(3分)如果規(guī)定收入為正,那么支出為負(fù),收入2元記作+2,支出5元記作( ?。〢.5元B.﹣5元C.﹣3元D.7元【分析】首先審清題意,明確“正”和“負(fù)”所表示的意義;再根據(jù)題意作答.【解答】解:如果規(guī)定收入為正,那么支出為負(fù),收入2元記作+2,支出5元記作﹣5元.故選:B.【點評】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義,解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性,明確什么是一對具有相反意義的量.在一對具有相反意義的量中,先規(guī)定其中一個為正,則另一個就用負(fù)表示.2.(3分)在一次心理健康教育活動中,張老師隨機抽取了40名學(xué)生進(jìn)行了心理健康測試,并將測試結(jié)果按“健康、亞健康、不健康”繪制成下列表格,其中測試結(jié)果為“健康”的頻率是( )類型健康亞健康不健康數(shù)據(jù)(人)3271A.32B.7C.D.【分析】根據(jù)頻率是指每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值(或者百分比),即頻率=頻數(shù)÷總數(shù),進(jìn)而得出答案.【解答】解:∵抽取了40名學(xué)生進(jìn)行了心理健康測試,測試結(jié)果為“健康”的有32人,∴測試結(jié)果為“健康”的頻率是:=.故選:D.【點評】此題主要考查了頻數(shù)與頻率,正確掌握頻率的求法是解題關(guān)鍵.3.(3分)某種商品m千克的售價為n元,那么這種商品8千克的售價為( )A.(元)B.(元)C.(元)D.(元)【分析】先求出1千克商品的價格,再乘以8,即可解答.
【解答】解:根據(jù)題意,得:×8=(元),故選:A.【點評】本題考查了列代數(shù)式,解決本題的關(guān)鍵是先求出1千克商品的價格.4.(3分)如圖,已知直線l1、l2、l3兩兩相交,且l1⊥l3,若α=50°,則β的度數(shù)為( ?。〢.120°B.130°C.140°D.150°【分析】先求出α的對頂角等于50°,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出β的度數(shù).【解答】解:如圖,根據(jù)對頂角相等得:∠1=∠α=50°,∵l1⊥l3,∴∠2=90°.∵∠β是三角形的外角,∴∠β=∠1+∠2=50°+90°=140°,故選:C.【點評】本題考查了對頂角和三角形外角的性質(zhì),比較簡單,屬于基礎(chǔ)題.5.(3分)如圖,已知直線l1:y=﹣2x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點,那么過原點O且將△AOB的面積平分的直線l2的解析式為( )
A.y=xB.y=xC.y=xD.y=2x【分析】根據(jù)坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征求出A(2,0),B(0,4),則AB的中點為(1,2),所以l2經(jīng)過AB的中點,直線l2把△AOB平分,然后利用待定系數(shù)法求l2的解析式;【解答】解:如圖,當(dāng)y=0,﹣2x+4=0,解得x=2,則A(2,0);當(dāng)x=0,y=﹣2x+4=4,則B(0,4),∴AB的中點坐標(biāo)為(1,2),∵直線l2把△AOB面積平分∴以l2經(jīng)過AB的中點;∴直線l2過AB的中點,設(shè)直線l2的解析式為y=kx,把(1,2)代入得2=k,解得k=2,∴l(xiāng)2的解析式為y=2x,故選:D.【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式,明確直線l2過AB的中點是解題的關(guān)鍵.6.(3分)如圖是由4個相同的小正方體堆成的物體,將它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)90°后,其主視圖是( )A.B.C.D.【分析】順時針旋轉(zhuǎn)90°后,找到從正面看到的圖形即可.【解答】解:順時針旋轉(zhuǎn)90°后,從正面看第一列有一層,第二列有兩層,故選:C.【點評】本題考查了三視圖以及旋轉(zhuǎn)的知識,考查了學(xué)生對立體圖形的空間想象能力.7.(3分)七巧板起源于我國先秦時期,古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù),經(jīng)歷代演變而成七巧板,如圖1所示.19世紀(jì)傳到國外,被稱為“唐圖”(意為“
來自中國的拼圖”),圖2是由邊長為4的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問蹬”圖,則圖中抬起的“腿”(即陰影部分)的面積為( ?。〢.3B.C.2D.【分析】分別求出陰影部分平行四邊形,三角形的面積可得結(jié)論.【解答】解:由題意,陰影部分的平行四邊形的面積=2×1=2,陰影部分的三角形的面積=×2×1=1,∴陰影部分的面積=2+1=3,故選:A.【點評】本題考查七巧板,正方形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運用所學(xué)知識解決問題.8.(3分)如圖,已知點P是菱形ABCD的對角線AC延長線上一點,過點P分別作AD、DC延長線的垂線,垂足分別為點E、F.若∠ABC=120°,AB=2,則PE﹣PF的值為( ?。〢.B.C.2D.【分析】設(shè)AC交BD于O,根據(jù)已知可得AC=2,而PE﹣PF=AP﹣CP=(AP﹣CP)=AC,即可得到答案.【解答】解:設(shè)AC交BD于O,如圖:
∵菱形ABCD,∠ABC=120°,AB=2,∴∠BAD=∠BCD=60°,∠DAC=∠DCA=30°,AD=AB=2,BD⊥AC,Rt△AOD中,OD=AD=1,OA==,∴AC=2OA=2,Rt△APE中,∠DAC=30°,PE=AP,Rt△CPF中,∠PCF=∠DCA=30°,PF=CP,∴PE﹣PF=AP﹣CP=(AP﹣CP)=AC,∴PE﹣PF=,故選:B.【點評】本題考查菱形的性質(zhì)及應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是求出AC,把PE﹣PF轉(zhuǎn)化為AC.9.(3分)如圖,已知OA=6,OB=8,BC=2,⊙P與OB、AB均相切,點P是線段AC與拋物線y=ax2的交點,則a的值為( ?。〢.4B.C.D.5【分析】設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,﹣x+6),由點P、A的坐標(biāo)得,PA=(6﹣x),則AN==,由AB=10=BN+AN,得到10=+2+x,進(jìn)而求解.【解答】解:設(shè)⊙P與OB、AB分別相切于點M、N,連接PM、PN,
設(shè)圓的半徑為x,則PN=PM=x,由題意知,OC=AO=6,則直線BA與y軸的夾角為45°,則CM=MP=x,由點A、C的坐標(biāo)得,直線AC的表達(dá)式為y=﹣x+6,則點P的坐標(biāo)為(x,﹣x+6),由點P、A的坐標(biāo)得,PA=(6﹣x),則AN==,∵⊙P與OB、AB分別相切于點M、N,故BN=BM=BC+CM=2+x,在Rt△ABO中,OA=6,OB=8,則AB=10=BN+AN,即10=+2+x,解得x=1,故點P的坐標(biāo)為(1,5),將點P的坐標(biāo)代入y=ax2得5=a,故選:D.【點評】本題為幾何和函數(shù)綜合題,涉及一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理的運用等,綜合性強,難度適中.10.(3分)如圖,直線l1與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象相交于A、B兩點,線段AB的中點為點C,過點C作x軸的垂線,垂足為點D.直線l2過原點O和點C.若直線l2上存在點P(m,n),滿足∠APB=∠ADB,則m+n的值為( ?。?
A.3﹣B.3或C.3+或3﹣D.3【分析】如圖,作△ABD的外接圓⊙J,交直線l2于P,連接AP,PB,則∠APB=∠ADB滿足條件。想辦法求出點P的坐標(biāo),可得結(jié)論。【解答】解:如圖,作△ABD的外接圓⊙J,交直線l2于P,連接AP,PB,則∠APB=∠ADB滿足條件。由題意A(1,3),B(3,1),∵AC=BC,∴C(2,2),∵CD⊥x軸,∴D(2,0),∵AD==,AB==2,BD==,∴AD2=AB2+BD2,∴∠ABD是直角三角形,∴J是AD的中點,J(,),∵直線OC的解析式為y=x,∴P(m,n),∵PJ=JA=,OJ=,∴OP=﹣,∴m=﹣,∴m=n=﹣,∴m+n=3﹣,此時P(﹣,﹣),
根據(jù)對稱性可知,點P關(guān)于點C的對稱點P′(+,+),∴m+n=3+,綜上所述,m+n的值為3+或3﹣,故選:C.【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點,三角形的外接圓,勾股定理的逆定理等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用輔助圓解決問題,屬于中考選擇題中的壓軸題二、填空題:本大題共6個小題,每小題3分,共18分.11.(3分)(2021﹣π)0= 1?。痉治觥恐苯永昧阒笖?shù)冪的性質(zhì)計算得出答案.【解答】解:(2021﹣π)0=1.故答案為:1.【點評】此題主要考查了零指數(shù)冪,正確掌握零指數(shù)冪的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.12.(3分)因式分解:4a2﹣9=?。?a+3)(2a﹣3)?。痉治觥恐苯永闷椒讲罟椒纸庖蚴降贸黾纯桑窘獯稹拷猓?a2﹣9=(2a+3)(2a﹣3).故答案為:(2a+3)(2a﹣3).【點評】此題主要考查了平方差公式分解因式,正確應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵.13.(3分)如圖是根據(jù)甲、乙兩人5次射擊的成績(環(huán)數(shù))制作的折線統(tǒng)計圖.你認(rèn)為誰的成績較為穩(wěn)定? 甲 (填“甲”或“乙”)【分析】方差小的較穩(wěn)定,分別求出甲、乙方差,即可得到答案.【解答】解:甲的平均成績?yōu)椋剑?,乙的平均成績?yōu)椋剑?,∴甲的方差為s甲2=1.2,
乙的方差為s乙2=2,∵s甲2<s乙2,∴甲的成績較穩(wěn)定.故答案為:甲.【點評】本題考查方差的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是求出甲、乙的方差.14.(3分)如圖,為了測量“四川大渡河峽谷”石碑的高度,佳佳在點C處測得石碑頂A點的仰角為30°,她朝石碑前行5米到達(dá)點D處,又測得石碑頂A點的仰角為60°,那么石碑的高度AB的長= 米.(結(jié)果保留根號)【分析】設(shè)石碑的高度AB的長為x米,Rt△ABC和Rt△ABD中,分別用含x的代數(shù)式表示BC和BD,用CD=5列方程,即可解得x,得到答案.【解答】解:設(shè)石碑的高度AB的長為x米,Rt△ABC中,BC==x,Rt△ABD中,BD==,∵CD=5,∴BC﹣BD=5,即x﹣=5,解得x=,故答案為:.【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示BC和BD.15.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,有一個銳角為60°,AB=4.若點P在直線AB
上(不與點A,B重合),且∠PCB=30°,則CP的長為 2或 .【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°兩種情況,利用數(shù)形結(jié)合的方法,分別求解即可.【解答】解:(1)當(dāng)∠ABC=60°時,則BC=AB=2,當(dāng)點P在線段AB上時,∵∠PCB=30°,故CP⊥AB,則PC=BCcos30°=2×=;當(dāng)點P(P′)在AB的延長線上時,∵∠P′CB=30°,∠ABC=60°,則△P′BC為的等腰三角形則BP′=BC=2,(2)當(dāng)∠ABC=30°時,同理可得,PC=2;故答案為2或.【點評】本題是解直角三角形綜合題,主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等,分類求解是本題解題的關(guān)鍵.16.(3分)如圖,已知點A(4,3),點B為直線y=﹣2上的一動點,點C(0,n),﹣2<n<3,AC⊥BC于點C,連接AB.若直線AB與x正半軸所夾的銳角為α,那么當(dāng)sinα的值最大時,n的值為 ?。?
【分析】當(dāng)sinα的值最大時,則tanα=值最大,即當(dāng)BG最大時,sinα的值最大,設(shè)BG=y(tǒng),由tan∠CAM=tan∠BCG,得到y(tǒng)=﹣(n﹣3)(n+2),進(jìn)而求解.【解答】解:過點A作AM⊥y軸于點M,作AN⊥BN交于點N,∵直線y=﹣2∥x軸,故∠ABN=α,當(dāng)sinα的值最大時,則tanα=值最大,故BN最小,即BG最大時,tanα最大,即當(dāng)BG最大時,sinα的值最大,設(shè)BG=y(tǒng),則AM=4,GC=n+2,CM=4﹣n,∵∠ACM+∠MAC=90°,∠ACM+∠BCG=90°,∴∠CAM=∠BCG,∴tan∠CAM=tan∠BCG,∴,即,∴y=﹣(n﹣3)(n+2),
∵﹣<0,故當(dāng)n=(3﹣2)=時,y取得最大值,故n=,故答案為:.【點評】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì),解直角三角形等,解題的關(guān)鍵是確定sinα的值最大時,即BG最大,題目綜合性強,難度適中.三、本大題共3個小題,每小題9分,共27分.17.(9分)當(dāng)x取何正整數(shù)值時,代數(shù)式與的值的差大于1.【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于x的一元一次不等式﹣>1,先去分母,然后通過移項、合并同類項、化系數(shù)為1進(jìn)行解答即可.【解答】解:依題意得:﹣>1,去分母,得:3(x+3)﹣2(2x﹣1)>6,去括號,得:3x+9﹣4x+2>6,移項,得:3x﹣4x>6﹣2﹣9,合并同類項,得:﹣x>﹣5,系數(shù)化為1,得:x<5.【點評】本題考查了解一元一次不等式.根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式,基本操作方法與解一元一次方程基本相同,都有如下步驟:①去分母;②去括號;③移項;④合并同類項;⑤化系數(shù)為1.18.(9分)如圖.已知AB=DC,∠A=∠D,AC與DB相交于點O,求證:∠OBC=∠OCB.【分析】先證明出△AOB≌△COD,進(jìn)而得出OB=OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論.
【解答】證明:在△AOB與△COD中,∵∠A=∠D,∠AOB=∠DOC,AB=DC,∴△AOB≌△COD(AAS),∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),理解判定三角形全等的條件是得出結(jié)論的關(guān)鍵.19.(9分)已知﹣=,求A、B的值.【分析】根據(jù)異分母分式的加減法法則把等式的左邊進(jìn)行計算,根據(jù)題意列出方程組,解方程組即可.【解答】解:﹣===,∴,解得.【點評】本題考查的是分式的加減法,掌握異分母分式的加減法法則是解題的關(guān)鍵.四、本大題共3個小題,每小題10分,共30分.20.(10分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x﹣m=0.(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根,求m的取值范圍;(2)二次函數(shù)y=x2+x﹣m的部分圖象如圖所示,求一元二次方程x2+x﹣m=0的解.【分析】(1)由△>0即可列不等式得到答案;(2)根據(jù)拋物線的對稱性可得拋物線與x軸的另一個交點,即可得到答案.【解答】解:(1)∵一元二次方程x2+x﹣m=0有兩個不相等的實數(shù)根,∴△>0,即1+4m>0,
∴m>﹣;(2)二次函數(shù)y=x2+x﹣m圖象的對稱軸為直線x=﹣,∴拋物線與x軸兩個交點關(guān)于直線x=﹣對稱,由圖可知拋物線與x軸一個交點為(1,0),∴另一個交點為(﹣2,0),∴一元二次方程x2+x﹣m=0的解為x1=1,x2=﹣2.【點評】本題考查一元二次方程及二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是掌握拋物線的對稱性.21.(10分)某中學(xué)全校師生聽取了“禁毒”宣傳報告后,對禁毒人員肅然起敬.學(xué)校德育處隨后決定在全校1000名學(xué)生中開展“我為禁毒獻(xiàn)愛心”的捐款活動.張老師在周五隨機調(diào)查了部分學(xué)生隨身攜帶零花錢的情況,并將收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖.(1)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù);(2)經(jīng)調(diào)查,當(dāng)學(xué)生身上的零花錢多于15元時,都愿捐出零花錢的20%,其余學(xué)生不參加捐款.請你估計周五這一天該??赡苁盏綄W(xué)生自愿捐款多少元?(3)捐款最多的兩人將和另一個學(xué)校選出的兩人組成一個“禁毒”知識宣講小組,若從4人中隨機指定兩人擔(dān)任正、副組長,求這兩人來自不同學(xué)校的概率.【分析】(1)由加權(quán)平均數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可;(2)把零花錢多于15元的列式計算即可;(3)畫樹狀圖,共有12種等可能的結(jié)果,兩人來自不同學(xué)校的結(jié)果有8種,再由概率公式求解即可.【解答】解:(1)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=
=20.5(元),其中20元出現(xiàn)的次數(shù)最多,∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為20元;(2)調(diào)查的20人中,身上的零花錢多于15元的有12人,估計周五這一天該校可能收到學(xué)生自愿捐款為:1000××20×20%+1000××25×20%+1000××30×20%+1000××40×20%=3150(元);(3)把捐款最多的兩人記為A、B,另一個學(xué)校選出的兩人記為C、D,畫樹狀圖如圖:共有12種等可能的結(jié)果,兩人來自不同學(xué)校的結(jié)果有8種,∴兩人來自不同學(xué)校的概率為=.【點評】本題考查了利用列表或樹狀圖求概率、條形統(tǒng)計圖、加權(quán)平均數(shù)以及眾數(shù)等知識;用的的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.22.(10分)如圖,直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點,交反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象于P、Q兩點.若AB=2BP,且△AOB的面積為4.(1)求k的值;(2)當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為﹣1時,求△POQ的面積.【分析】(1)由題意求得△POB的面積為2,作PM⊥y軸于M,證得△PBM∽ABO
,即可求得△PBM的面積為1,從而求得S△POM=3,根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k的值;(2)由△PBM∽ABO,求得OA=2,得到A為(2,0),把x=﹣1代入反比例函數(shù)解析式求得P的坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB解析式,然后解析式聯(lián)立,解方程組求得Q的坐標(biāo),最后根據(jù)S△POQ=S△POA+S△QOA即可求得?!窘獯稹拷猓海?)∵AB=2BP,且△AOB的面積為4,∴△POB的面積為2,作PM⊥y軸于M,∴PM∥OA,∴△PBM∽△ABO,∴=()2,即,∴△PBM的面積為1,∴S△POM=1+2=3,∵S△POM=|k|,∴|k|=6,∵k<0,∴k=﹣6;(2)∵點P的橫坐標(biāo)為﹣1,∴PM=1,∵△PBM∽△ABO,∴=,即=,∴OA=2,∴A(2,0),把x=﹣1代入y=﹣得,y=6,∴P(﹣1,6),設(shè)直線AB為y=mx+n,把P、A的坐標(biāo)代入得,解得,
∴直線AB為y=﹣2x+4,解得或,∴Q(3,﹣2),∴S△POQ=S△POA+S△QOA=×2×6+×2=8.【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、三角形的面積公式以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,解題的關(guān)鍵是:(1)求出△POM的面積;(2)求得Q點的坐標(biāo).五、本大題共2個小題,每小題10分,共20分.23.(10分)通過實驗研究發(fā)現(xiàn):初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)隨上課時間的變化而變化,上課開始時,學(xué)生興趣激增,中間一段時間,學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài),隨后開始分散.學(xué)生注意力指標(biāo)y隨時間x(分鐘)變化的函數(shù)圖象如圖所示,當(dāng)0≤x<10和10≤x<20時,圖象是線段;當(dāng)20≤x≤45時,圖象是反比例函數(shù)的一部分.(1)求點A對應(yīng)的指標(biāo)值;(2)張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17分鐘,他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?,使學(xué)生在聽這道綜合題的講解時,注意力指標(biāo)都不低于36?請說明理由.
【分析】(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=,由C(20,45)求出k,可得D坐標(biāo),從而求出A的指標(biāo)值;(2)求出AB解析式,得到y(tǒng)≥36時,x≥,由反比例函數(shù)y=可得y≥36時,x≤25,根據(jù)25﹣=>17,即可得到答案.【解答】解:(1)設(shè)當(dāng)20≤x≤45時,反比例函數(shù)的解析式為y=,將C(20,45)代入得:45=,解得k=900,∴反比例函數(shù)的解析式為y=,當(dāng)x=45時,y==20,∴D(45,20),∴A(0,20),即A對應(yīng)的指標(biāo)值為20;(2)設(shè)當(dāng)0≤x<10時,AB的解析式為y=mx+n,將A(0,20)、B(10,45)代入得:,解得,∴AB的解析式為y=x+20,當(dāng)y≥36時,x+20≥36,解得x≥,由(1)得反比例函數(shù)的解析式為y=,當(dāng)y≥36時,≥36,解得x≤25,
∴≤x≤25時,注意力指標(biāo)都不低于36,而25﹣=>17,∴張老師能經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在聽這道綜合題的講解時,注意力指標(biāo)都不低于36.【點評】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用,涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)及不等式等知識,解題的關(guān)鍵是求出0≤x<10和20≤x≤45時的解析式.24.(10分)如圖,已知點C是以AB為直徑的半圓上一點,D是AB延長線上一點,過點D作BD的垂線交AC的延長線于點E,連結(jié)CD,且CD=ED.(1)求證:CD是⊙O的切線;(2)若tan∠DCE=2,BD=1,求⊙O的半徑.【分析】(1)連接OC,由CD=DE,OC=OA,可得∠DCE=∠E,∠OCA=∠OAC,而ED⊥AD,可得∠OAC+∠E=90°,故可證∠DCO=90°,CD是⊙O的切線;(2)連接BC,設(shè)⊙O的半徑為x,由tan∠DCE=2,可得=2,從而可用x的代數(shù)式表示DE和CD,再根據(jù)CD是⊙O的切線用切割線定理列方程,即可解得⊙O的半徑.【解答】解:(1)連接OC,如圖:∵CD=DE,OC=OA,∴∠DCE=∠E,∠OCA=∠OAC,∵ED⊥AD,
∴∠ADE=90°,∠OAC+∠E=90°,∴∠OCA+∠DCE=90°,∴∠DCO=90°,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切線;(2)連接BC,如圖:∵CD=DE,∴∠DCE=∠E,∵tan∠DCE=2,∴tanE=2,∵ED⊥AD,Rt△EDA中,=2,設(shè)⊙O的半徑為x,則OA=OB=x,∵BD=1,∴AD=2x+1,∴=2,∴ED=x+=CD,∵CD是⊙O的切線,∴CD2=BD?AD,∴(x+)2=1×(2x+1),解得x=或x=﹣(舍去),∴⊙O的半徑為.【點評】本題考查圓綜合知識,涉及切線判定、銳角三角函數(shù)、切割線定理的應(yīng)用等,解題的關(guān)鍵是用切割線定理列方程.
六、本大題共2個小題,第25題12分,第26題13分,共25分.25.(12分)在等腰△ABC中,AB=AC,點D是BC邊上一點(不與點B、C重合),連結(jié)AD.(1)如圖1,若∠C=60°,點D關(guān)于直線AB的對稱點為點E,連結(jié)AE,DE,則∠BDE= 30°??;(2)若∠C=60°,將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,連結(jié)BE.①在圖2中補全圖形;②探究CD與BE的數(shù)量關(guān)系,并證明;(3)如圖3,若=k,且∠ADE=∠C.試探究BE、BD、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并證明.【分析】(1)由AB=AC,∠C=60°,可得∠B=60°,點D關(guān)于直線AB的對稱點為點E,可得DE⊥AB,即可得到答案;(2)①根據(jù)題意補全圖形即可;②由已知得AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=60°,從而可得∠EAB=∠DAC,△EAB≌△DAC(SAS),即可得CD=BE;(3)連接AE,根據(jù)已知可證△ABC∽△ADE,∠EAB=∠DAC,AE=AD,從而可得△EAB≌△DAC,CD=BE,又==k,即可得到AC=k(BD+BE).【解答】解:(1)∵AB=AC,∠C=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴∠B=60°,∵點D關(guān)于直線AB的對稱點為點E,∴DE⊥AB,
∴∠BDE=180°﹣60°﹣90°=30°;故答案為:30°;(2)①補全圖形如下:②CD=BE,證明如下:∵AB=AC,∠C=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∵線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,∴AD=AE,∠EAD=60°,∴∠BAC=∠EAD=60°,∴∠BAC﹣∠BAD=∠EAD﹣∠BAD,即∠EAB=∠DAC,在△EAB和△DAC中,,∴△EAB≌△DAC(SAS),∴CD=BE;(3)AC=k(BD+BE),證明如下:連接AE,如圖:∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,
∵∠ADE=∠C,∴∠ABC=∠ADE,∵,∴△ABC∽△ADE,∴∠DAE=∠BAC,=,∴∠DAE﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD,即∠EAB=∠DAC,∵AB=AC,∴AE=AD,在△EAB和△DAC中,,∴△EAB≌△DAC(SAS),∴CD=BE,∴BC=BD+CD=BD+BE,而==k,∴=k,即AC=k(BD+BE).【點評】本題考查等邊三角形性質(zhì)及應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是掌握有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.26.(13分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上,且經(jīng)過點A(0,),B(2,﹣).(1)求b的值(用含a的代數(shù)式表示);(2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c在1≤x≤3時,y的最大值為1,求a的值;(3)將線段AB向右平移2個單位得到線段A′B′.若線段A′B′與拋物線y=ax2+bx+c+4a﹣1僅有一個交點,求a的取值范圍.【分析】(1)把A,B代入拋物線的解析式,構(gòu)建方程組,可得結(jié)論.(2)由題意,x=1或x=3時,y取得最大值1,由此構(gòu)建方程求解即可.(3)把問題轉(zhuǎn)化為不等式組,可得結(jié)論.
【解答】解:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上,經(jīng)過點A(0,),B(2,﹣),∴,∴b=﹣2a﹣1(a>0).(2)∵二次函數(shù)y=ax2﹣(2a+1)x+,a>0,在1≤x≤3時,y的最大值為1,∴x=1時,y=1x=3時,y=1,∴1=a﹣(2a+1)+或1=9a﹣3(2a+1)+,解得a=﹣(舍棄)或a=.∴a=.(3)∵線段AB向右平移2個單位得到線段A′B′,∴A′(2,),B′(4,﹣).∵線段A′B′與拋物線y=ax2﹣(2a+1)x++4a僅有一個交點,∴,解得,≤a≤.或不等式組無解,∴≤a≤.【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法,二次函數(shù)的最值問題等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題,把問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式組解決,屬于中考壓軸題.