2021年初中畢業(yè)生學業(yè)考試數(shù)學試卷四川省樂山市中考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分.1．（3分）如果規(guī)定收入為正，那么支出為負，收入2元記作+2，支出5元記作（　　）A．5元B．﹣5元C．﹣3元D．7元2．（3分）在一次心理健康教育活動中，張老師隨機抽取了40名學生進行了心理健康測試，并將測試結果按“健康、亞健康、不健康”繪制成下列表格，其中測試結果為“健康”的頻率是（　?。╊愋徒】祦喗】挡唤】禂?shù)據(jù)（人）3271A．32B．7C．D．3．（3分）某種商品m千克的售價為n元，那么這種商品8千克的售價為（　?。〢．（元）B．（元）C．（元）D．（元）4．（3分）如圖，已知直線l1、l2、l3兩兩相交，且l1⊥l3，若α＝50°，則β的度數(shù)為（　?。〢．120°B．130°C．140°D．150°5．（3分）如圖，已知直線l1：y＝﹣2x+4與坐標軸分別交于A、B兩點，那么過原點O且將△AOB的面積平分的直線l2的解析式為（　?。〢．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝2x 6．（3分）如圖是由4個相同的小正方體堆成的物體，將它在水平面內順時針旋轉90°后，其主視圖是（　?。〢．B．C．D．7．（3分）七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關于正方形的分割術，經(jīng)歷代演變而成七巧板，如圖1所示.19世紀傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖”），圖2是由邊長為4的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問蹬”圖，則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為（　?。〢．3B．C．2D．8．（3分）如圖，已知點P是菱形ABCD的對角線AC延長線上一點，過點P分別作AD、DC延長線的垂線，垂足分別為點E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，則PE﹣PF的值為（　?。〢．B．C．2D．9．（3分）如圖，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P與OB、AB均相切，點P是線段AC與拋物線y＝ax2的交點，則a的值為（　　） A．4B．C．D．510．（3分）如圖，直線l1與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于A、B兩點，線段AB的中點為點C，過點C作x軸的垂線，垂足為點D．直線l2過原點O和點C．若直線l2上存在點P（m，n），滿足∠APB＝∠ADB，則m+n的值為（　?。〢．3﹣B．3或C．3+或3﹣D．3二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分.11．（3分）（2021﹣π）0＝　?。?2．（3分）因式分解：4a2﹣9＝　?。?3．（3分）如圖是根據(jù)甲、乙兩人5次射擊的成績（環(huán)數(shù)）制作的折線統(tǒng)計圖．你認為誰的成績較為穩(wěn)定？　?。ㄌ睢凹住被颉耙摇保?4．（3分）如圖，為了測量“四川大渡河峽谷”石碑的高度，佳佳在點C處測得石碑頂A 點的仰角為30°，她朝石碑前行5米到達點D處，又測得石碑頂A點的仰角為60°，那么石碑的高度AB的長＝　　米．（結果保留根號）15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個銳角為60°，AB＝4．若點P在直線AB上（不與點A，B重合），且∠PCB＝30°，則CP的長為　　．16．（3分）如圖，已知點A（4，3），點B為直線y＝﹣2上的一動點，點C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于點C，連接AB．若直線AB與x正半軸所夾的銳角為α，那么當sinα的值最大時，n的值為　?。?、本大題共3個小題，每小題9分，共27分.17．（9分）當x取何正整數(shù)值時，代數(shù)式與的值的差大于1．18．（9分）如圖．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC與DB相交于點O，求證：∠OBC＝∠OCB． 19．（9分）已知﹣＝，求A、B的值．四、本大題共3個小題，每小題10分，共30分.20．（10分）已知關于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；（2）二次函數(shù)y＝x2+x﹣m的部分圖象如圖所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．21．（10分）某中學全校師生聽取了“禁毒”宣傳報告后，對禁毒人員肅然起敬．學校德育處隨后決定在全校1000名學生中開展“我為禁毒獻愛心”的捐款活動．張老師在周五隨機調查了部分學生隨身攜帶零花錢的情況，并將收集的數(shù)據(jù)進行整理，繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖．（1）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）經(jīng)調查，當學生身上的零花錢多于15元時，都愿捐出零花錢的20%，其余學生不參加捐款．請你估計周五這一天該校可能收到學生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的兩人將和另一個學校選出的兩人組成一個“禁毒”知識宣講小組，若從4人中隨機指定兩人擔任正、副組長，求這兩人來自不同學校的概率．22．（10分）如圖，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點，交反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象于P、Q兩點．若AB＝2BP，且△AOB的面積為4． （1）求k的值；（2）當點P的橫坐標為﹣1時，求△POQ的面積．五、本大題共2個小題，每小題10分，共20分.23．（10分）通過實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學課上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學生興趣激增，中間一段時間，學生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散．學生注意力指標y隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示，當0≤x＜10和10≤x＜20時，圖象是線段；當20≤x≤45時，圖象是反比例函數(shù)的一部分．（1）求點A對應的指標值；（2）張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過適當?shù)陌才?，使學生在聽這道綜合題的講解時，注意力指標都不低于36？請說明理由．24．（10分）如圖，已知點C是以AB為直徑的半圓上一點，D是AB延長線上一點，過點D作BD的垂線交AC的延長線于點E，連結CD，且CD＝ED．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半徑． 六、本大題共2個小題，第25題12分，第26題13分，共25分.25．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊上一點（不與點B、C重合），連結AD．（1）如圖1，若∠C＝60°，點D關于直線AB的對稱點為點E，連結AE，DE，則∠BDE＝　??；（2）若∠C＝60°，將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE，連結BE．①在圖2中補全圖形；②探究CD與BE的數(shù)量關系，并證明；（3）如圖3，若＝k，且∠ADE＝∠C．試探究BE、BD、AC之間滿足的數(shù)量關系，并證明．26．（13分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，且經(jīng)過點A（0，），B（2，﹣）．（1）求b的值（用含a的代數(shù)式表示）；（2）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在1≤x≤3時，y的最大值為1，求a的值；（3）將線段AB向右平移2個單位得到線段A′B′．若線段A′B′與拋物線y＝ax2+bx+c+4a﹣1僅有一個交點，求a的取值范圍． 2021年四川省樂山市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分.1．（3分）如果規(guī)定收入為正，那么支出為負，收入2元記作+2，支出5元記作（　?。〢．5元B．﹣5元C．﹣3元D．7元【分析】首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義；再根據(jù)題意作答．【解答】解：如果規(guī)定收入為正，那么支出為負，收入2元記作+2，支出5元記作﹣5元．故選：B．【點評】此題主要考查了正負數(shù)的意義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．2．（3分）在一次心理健康教育活動中，張老師隨機抽取了40名學生進行了心理健康測試，并將測試結果按“健康、亞健康、不健康”繪制成下列表格，其中測試結果為“健康”的頻率是（　?。╊愋徒】祦喗】挡唤】禂?shù)據(jù)（人）3271A．32B．7C．D．【分析】根據(jù)頻率是指每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值（或者百分比），即頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)，進而得出答案．【解答】解：∵抽取了40名學生進行了心理健康測試，測試結果為“健康”的有32人，∴測試結果為“健康”的頻率是：＝．故選：D．【點評】此題主要考查了頻數(shù)與頻率，正確掌握頻率的求法是解題關鍵．3．（3分）某種商品m千克的售價為n元，那么這種商品8千克的售價為（　?。〢．（元）B．（元）C．（元）D．（元）【分析】先求出1千克商品的價格，再乘以8，即可解答． 【解答】解：根據(jù)題意，得：×8＝（元），故選：A．【點評】本題考查了列代數(shù)式，解決本題的關鍵是先求出1千克商品的價格．4．（3分）如圖，已知直線l1、l2、l3兩兩相交，且l1⊥l3，若α＝50°，則β的度數(shù)為（　?。〢．120°B．130°C．140°D．150°【分析】先求出α的對頂角等于50°，再根據(jù)三角形的外角性質求出β的度數(shù)．【解答】解：如圖，根據(jù)對頂角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故選：C．【點評】本題考查了對頂角和三角形外角的性質，比較簡單，屬于基礎題．5．（3分）如圖，已知直線l1：y＝﹣2x+4與坐標軸分別交于A、B兩點，那么過原點O且將△AOB的面積平分的直線l2的解析式為（　?。? A．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝2x【分析】根據(jù)坐標軸上點的坐標特征求出A（2，0），B（0，4），則AB的中點為（1，2），所以l2經(jīng)過AB的中點，直線l2把△AOB平分，然后利用待定系數(shù)法求l2的解析式；【解答】解：如圖，當y＝0，﹣2x+4＝0，解得x＝2，則A（2，0）；當x＝0，y＝﹣2x+4＝4，則B（0，4），∴AB的中點坐標為（1，2），∵直線l2把△AOB面積平分∴以l2經(jīng)過AB的中點；∴直線l2過AB的中點，設直線l2的解析式為y＝kx，把（1，2）代入得2＝k，解得k＝2，∴l(xiāng)2的解析式為y＝2x，故選：D．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，明確直線l2過AB的中點是解題的關鍵．6．（3分）如圖是由4個相同的小正方體堆成的物體，將它在水平面內順時針旋轉90°后，其主視圖是（　　）A．B．C．D．【分析】順時針旋轉90°后，找到從正面看到的圖形即可．【解答】解：順時針旋轉90°后，從正面看第一列有一層，第二列有兩層，故選：C．【點評】本題考查了三視圖以及旋轉的知識，考查了學生對立體圖形的空間想象能力．7．（3分）七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關于正方形的分割術，經(jīng)歷代演變而成七巧板，如圖1所示.19世紀傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“ 來自中國的拼圖”），圖2是由邊長為4的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問蹬”圖，則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為（　?。〢．3B．C．2D．【分析】分別求出陰影部分平行四邊形，三角形的面積可得結論．【解答】解：由題意，陰影部分的平行四邊形的面積＝2×1＝2，陰影部分的三角形的面積＝×2×1＝1，∴陰影部分的面積＝2+1＝3，故選：A．【點評】本題考查七巧板，正方形的性質，平行四邊形的性質，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．8．（3分）如圖，已知點P是菱形ABCD的對角線AC延長線上一點，過點P分別作AD、DC延長線的垂線，垂足分別為點E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，則PE﹣PF的值為（　?。〢．B．C．2D．【分析】設AC交BD于O，根據(jù)已知可得AC＝2，而PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，即可得到答案．【解答】解：設AC交BD于O，如圖： ∵菱形ABCD，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAC＝∠DCA＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，Rt△AOD中，OD＝AD＝1，OA＝＝，∴AC＝2OA＝2，Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE＝AP，Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF＝CP，∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，∴PE﹣PF＝，故選：B．【點評】本題考查菱形的性質及應用，解題的關鍵是求出AC，把PE﹣PF轉化為AC．9．（3分）如圖，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P與OB、AB均相切，點P是線段AC與拋物線y＝ax2的交點，則a的值為（　?。〢．4B．C．D．5【分析】設點P的坐標為（x，﹣x+6），由點P、A的坐標得，PA＝（6﹣x），則AN＝＝，由AB＝10＝BN+AN，得到10＝+2+x，進而求解．【解答】解：設⊙P與OB、AB分別相切于點M、N，連接PM、PN， 設圓的半徑為x，則PN＝PM＝x，由題意知，OC＝AO＝6，則直線BA與y軸的夾角為45°，則CM＝MP＝x，由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為y＝﹣x+6，則點P的坐標為（x，﹣x+6），由點P、A的坐標得，PA＝（6﹣x），則AN＝＝，∵⊙P與OB、AB分別相切于點M、N，故BN＝BM＝BC+CM＝2+x，在Rt△ABO中，OA＝6，OB＝8，則AB＝10＝BN+AN，即10＝+2+x，解得x＝1，故點P的坐標為（1，5），將點P的坐標代入y＝ax2得5＝a，故選：D．【點評】本題為幾何和函數(shù)綜合題，涉及一次函數(shù)的性質、圓的切線的性質、勾股定理的運用等，綜合性強，難度適中．10．（3分）如圖，直線l1與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于A、B兩點，線段AB的中點為點C，過點C作x軸的垂線，垂足為點D．直線l2過原點O和點C．若直線l2上存在點P（m，n），滿足∠APB＝∠ADB，則m+n的值為（　?。? A．3﹣B．3或C．3+或3﹣D．3【分析】如圖，作△ABD的外接圓⊙J,交直線l2于P,連接AP,PB,則∠APB＝∠ADB滿足條件。想辦法求出點P的坐標，可得結論。【解答】解：如圖，作△ABD的外接圓⊙J,交直線l2于P,連接AP,PB,則∠APB＝∠ADB滿足條件。由題意A(1,3),B(3,1),∵AC＝BC,∴C(2,2),∵CD⊥x軸，∴D(2,0),∵AD＝＝,AB＝＝2,BD＝＝,∴AD2＝AB2+BD2,∴∠ABD是直角三角形，∴J是AD的中點，J(,),∵直線OC的解析式為y＝x,∴P(m,n),∵PJ＝JA＝,OJ＝,∴OP＝﹣,∴m＝﹣,∴m＝n＝﹣,∴m+n＝3﹣,此時P(﹣,﹣), 根據(jù)對稱性可知，點P關于點C的對稱點P′(+,+),∴m+n＝3+,綜上所述，m+n的值為3+或3﹣，故選：C．【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，三角形的外接圓，勾股定理的逆定理等知識，解題的關鍵是學會利用輔助圓解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分.11．（3分）（2021﹣π）0＝　1　．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質計算得出答案．【解答】解：（2021﹣π）0＝1．故答案為：1．【點評】此題主要考查了零指數(shù)冪，正確掌握零指數(shù)冪的性質是解題關鍵．12．（3分）因式分解：4a2﹣9＝　（2a+3）（2a﹣3）?。痉治觥恐苯永闷椒讲罟椒纸庖蚴降贸黾纯桑窘獯稹拷猓?a2﹣9＝（2a+3）（2a﹣3）．故答案為：（2a+3）（2a﹣3）．【點評】此題主要考查了平方差公式分解因式，正確應用平方差公式是解題關鍵．13．（3分）如圖是根據(jù)甲、乙兩人5次射擊的成績（環(huán)數(shù)）制作的折線統(tǒng)計圖．你認為誰的成績較為穩(wěn)定？　甲?。ㄌ睢凹住被颉耙摇保痉治觥糠讲钚〉妮^穩(wěn)定，分別求出甲、乙方差，即可得到答案．【解答】解：甲的平均成績?yōu)椋剑?，乙的平均成績?yōu)椋剑?，∴甲的方差為s甲2＝1.2， 乙的方差為s乙2＝2，∵s甲2＜s乙2，∴甲的成績較穩(wěn)定．故答案為：甲．【點評】本題考查方差的應用，解題的關鍵是求出甲、乙的方差．14．（3分）如圖，為了測量“四川大渡河峽谷”石碑的高度，佳佳在點C處測得石碑頂A點的仰角為30°，她朝石碑前行5米到達點D處，又測得石碑頂A點的仰角為60°，那么石碑的高度AB的長＝　　米．（結果保留根號）【分析】設石碑的高度AB的長為x米，Rt△ABC和Rt△ABD中，分別用含x的代數(shù)式表示BC和BD，用CD＝5列方程，即可解得x，得到答案．【解答】解：設石碑的高度AB的長為x米，Rt△ABC中，BC＝＝x，Rt△ABD中，BD＝＝，∵CD＝5，∴BC﹣BD＝5，即x﹣＝5，解得x＝，故答案為：．【點評】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是用含x的代數(shù)式表示BC和BD．15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一個銳角為60°，AB＝4．若點P在直線AB 上（不與點A，B重合），且∠PCB＝30°，則CP的長為　2或?。痉治觥糠帧螦BC＝60、∠ABC＝30°兩種情況，利用數(shù)形結合的方法，分別求解即可．【解答】解：（1）當∠ABC＝60°時，則BC＝AB＝2，當點P在線段AB上時，∵∠PCB＝30°，故CP⊥AB，則PC＝BCcos30°＝2×＝；當點P（P′）在AB的延長線上時，∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，則△P′BC為的等腰三角形則BP′＝BC＝2，（2）當∠ABC＝30°時，同理可得，PC＝2；故答案為2或．【點評】本題是解直角三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形等，分類求解是本題解題的關鍵．16．（3分）如圖，已知點A（4，3），點B為直線y＝﹣2上的一動點，點C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于點C，連接AB．若直線AB與x正半軸所夾的銳角為α，那么當sinα的值最大時，n的值為　　． 【分析】當sinα的值最大時，則tanα＝值最大，即當BG最大時，sinα的值最大，設BG＝y(tǒng)，由tan∠CAM＝tan∠BCG，得到y(tǒng)＝﹣（n﹣3）（n+2），進而求解．【解答】解：過點A作AM⊥y軸于點M，作AN⊥BN交于點N，∵直線y＝﹣2∥x軸，故∠ABN＝α，當sinα的值最大時，則tanα＝值最大，故BN最小，即BG最大時，tanα最大，即當BG最大時，sinα的值最大，設BG＝y(tǒng)，則AM＝4，GC＝n+2，CM＝4﹣n，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∴tan∠CAM＝tan∠BCG，∴，即，∴y＝﹣（n﹣3）（n+2）， ∵﹣＜0，故當n＝（3﹣2）＝時，y取得最大值，故n＝，故答案為：．【點評】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質，解直角三角形等，解題的關鍵是確定sinα的值最大時，即BG最大，題目綜合性強，難度適中．三、本大題共3個小題，每小題9分，共27分.17．（9分）當x取何正整數(shù)值時，代數(shù)式與的值的差大于1．【分析】根據(jù)題意列出關于x的一元一次不等式﹣＞1，先去分母，然后通過移項、合并同類項、化系數(shù)為1進行解答即可．【解答】解：依題意得：﹣＞1，去分母，得：3（x+3）﹣2（2x﹣1）＞6，去括號，得：3x+9﹣4x+2＞6，移項，得：3x﹣4x＞6﹣2﹣9，合并同類項，得：﹣x＞﹣5，系數(shù)化為1，得：x＜5．【點評】本題考查了解一元一次不等式．根據(jù)不等式的性質解一元一次不等式，基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．18．（9分）如圖．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC與DB相交于點O，求證：∠OBC＝∠OCB．【分析】先證明出△AOB≌△COD，進而得出OB＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質得出結論． 【解答】證明：在△AOB與△COD中，∵∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，理解判定三角形全等的條件是得出結論的關鍵．19．（9分）已知﹣＝，求A、B的值．【分析】根據(jù)異分母分式的加減法法則把等式的左邊進行計算，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可．【解答】解：﹣＝＝＝，∴，解得．【點評】本題考查的是分式的加減法，掌握異分母分式的加減法法則是解題的關鍵．四、本大題共3個小題，每小題10分，共30分.20．（10分）已知關于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；（2）二次函數(shù)y＝x2+x﹣m的部分圖象如圖所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．【分析】（1）由△＞0即可列不等式得到答案；（2）根據(jù)拋物線的對稱性可得拋物線與x軸的另一個交點，即可得到答案．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△＞0，即1+4m＞0， ∴m＞﹣；（2）二次函數(shù)y＝x2+x﹣m圖象的對稱軸為直線x＝﹣，∴拋物線與x軸兩個交點關于直線x＝﹣對稱，由圖可知拋物線與x軸一個交點為（1，0），∴另一個交點為（﹣2，0），∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解為x1＝1，x2＝﹣2．【點評】本題考查一元二次方程及二次函數(shù)與二次方程的關系，解題的關鍵是掌握拋物線的對稱性．21．（10分）某中學全校師生聽取了“禁毒”宣傳報告后，對禁毒人員肅然起敬．學校德育處隨后決定在全校1000名學生中開展“我為禁毒獻愛心”的捐款活動．張老師在周五隨機調查了部分學生隨身攜帶零花錢的情況，并將收集的數(shù)據(jù)進行整理，繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖．（1）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）經(jīng)調查，當學生身上的零花錢多于15元時，都愿捐出零花錢的20%，其余學生不參加捐款．請你估計周五這一天該?？赡苁盏綄W生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的兩人將和另一個學校選出的兩人組成一個“禁毒”知識宣講小組，若從4人中隨機指定兩人擔任正、副組長，求這兩人來自不同學校的概率．【分析】（1）由加權平均數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；（2）把零花錢多于15元的列式計算即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，兩人來自不同學校的結果有8種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)＝ ＝20.5（元），其中20元出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為20元；（2）調查的20人中，身上的零花錢多于15元的有12人，估計周五這一天該?？赡苁盏綄W生自愿捐款為：1000××20×20%+1000××25×20%+1000××30×20%+1000××40×20%＝3150（元）；（3）把捐款最多的兩人記為A、B，另一個學校選出的兩人記為C、D，畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結果，兩人來自不同學校的結果有8種，∴兩人來自不同學校的概率為＝．【點評】本題考查了利用列表或樹狀圖求概率、條形統(tǒng)計圖、加權平均數(shù)以及眾數(shù)等知識；用的的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．22．（10分）如圖，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點，交反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象于P、Q兩點．若AB＝2BP，且△AOB的面積為4．（1）求k的值；（2）當點P的橫坐標為﹣1時，求△POQ的面積．【分析】（1）由題意求得△POB的面積為2，作PM⊥y軸于M,證得△PBM∽ABO ,即可求得△PBM的面積為1，從而求得S△POM＝3,根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k的值；（2）由△PBM∽ABO,求得OA＝2,得到A為（2,0）,把x＝﹣1代入反比例函數(shù)解析式求得P的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AB解析式，然后解析式聯(lián)立，解方程組求得Q的坐標，最后根據(jù)S△POQ＝S△POA+S△QOA即可求得。【解答】解：（1）∵AB＝2BP，且△AOB的面積為4，∴△POB的面積為2，作PM⊥y軸于M,∴PM∥OA,∴△PBM∽△ABO,∴＝()2,即,∴△PBM的面積為1，∴S△POM＝1+2＝3,∵S△POM＝|k|,∴|k|＝6，∵k＜0,∴k＝﹣6;(2)∵點P的橫坐標為﹣1,∴PM＝1,∵△PBM∽△ABO,∴＝,即＝,∴OA＝2,∴A(2,0),把x＝﹣1代入y＝﹣得，y＝6,∴P(﹣1,6),設直線AB為y＝mx+n,把P、A的坐標代入得,解得, ∴直線AB為y＝﹣2x+4,解得或,∴Q(3,﹣2),∴S△POQ＝S△POA+S△QOA＝×2×6+×2＝8．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、三角形的面積公式以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關鍵是：（1）求出△POM的面積；（2）求得Q點的坐標．五、本大題共2個小題，每小題10分，共20分.23．（10分）通過實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學課上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學生興趣激增，中間一段時間，學生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散．學生注意力指標y隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示，當0≤x＜10和10≤x＜20時，圖象是線段；當20≤x≤45時，圖象是反比例函數(shù)的一部分．（1）求點A對應的指標值；（2）張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過適當?shù)陌才?，使學生在聽這道綜合題的講解時，注意力指標都不低于36？請說明理由． 【分析】（1）設反比例函數(shù)的解析式為y＝，由C（20，45）求出k，可得D坐標，從而求出A的指標值；（2）求出AB解析式，得到y(tǒng)≥36時，x≥，由反比例函數(shù)y＝可得y≥36時，x≤25，根據(jù)25﹣＝＞17，即可得到答案．【解答】解：（1）設當20≤x≤45時，反比例函數(shù)的解析式為y＝，將C（20，45）代入得：45＝，解得k＝900，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，當x＝45時，y＝＝20，∴D（45，20），∴A（0，20），即A對應的指標值為20；（2）設當0≤x＜10時，AB的解析式為y＝mx+n，將A（0，20）、B（10，45）代入得：，解得，∴AB的解析式為y＝x+20，當y≥36時，x+20≥36，解得x≥，由（1）得反比例函數(shù)的解析式為y＝，當y≥36時，≥36，解得x≤25， ∴≤x≤25時，注意力指標都不低于36，而25﹣＝＞17，∴張老師能經(jīng)過適當?shù)陌才?，使學生在聽這道綜合題的講解時，注意力指標都不低于36．【點評】本題考查函數(shù)圖象的應用，涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)及不等式等知識，解題的關鍵是求出0≤x＜10和20≤x≤45時的解析式．24．（10分）如圖，已知點C是以AB為直徑的半圓上一點，D是AB延長線上一點，過點D作BD的垂線交AC的延長線于點E，連結CD，且CD＝ED．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OC，由CD＝DE，OC＝OA，可得∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，而ED⊥AD，可得∠OAC+∠E＝90°，故可證∠DCO＝90°，CD是⊙O的切線；（2）連接BC，設⊙O的半徑為x，由tan∠DCE＝2，可得＝2，從而可用x的代數(shù)式表示DE和CD，再根據(jù)CD是⊙O的切線用切割線定理列方程，即可解得⊙O的半徑．【解答】解：（1）連接OC，如圖：∵CD＝DE，OC＝OA，∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，∵ED⊥AD， ∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，∴∠OCA+∠DCE＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）連接BC，如圖：∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠E，∵tan∠DCE＝2，∴tanE＝2，∵ED⊥AD，Rt△EDA中，＝2，設⊙O的半徑為x，則OA＝OB＝x，∵BD＝1，∴AD＝2x+1，∴＝2，∴ED＝x+＝CD，∵CD是⊙O的切線，∴CD2＝BD?AD，∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），∴⊙O的半徑為．【點評】本題考查圓綜合知識，涉及切線判定、銳角三角函數(shù)、切割線定理的應用等，解題的關鍵是用切割線定理列方程． 六、本大題共2個小題，第25題12分，第26題13分，共25分.25．（12分）在等腰△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊上一點（不與點B、C重合），連結AD．（1）如圖1，若∠C＝60°，點D關于直線AB的對稱點為點E，連結AE，DE，則∠BDE＝　30°?。唬?）若∠C＝60°，將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE，連結BE．①在圖2中補全圖形；②探究CD與BE的數(shù)量關系，并證明；（3）如圖3，若＝k，且∠ADE＝∠C．試探究BE、BD、AC之間滿足的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）由AB＝AC，∠C＝60°，可得∠B＝60°，點D關于直線AB的對稱點為點E，可得DE⊥AB，即可得到答案；（2）①根據(jù)題意補全圖形即可；②由已知得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝60°，從而可得∠EAB＝∠DAC，△EAB≌△DAC（SAS），即可得CD＝BE；（3）連接AE，根據(jù)已知可證△ABC∽△ADE，∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，從而可得△EAB≌△DAC，CD＝BE，又＝＝k，即可得到AC＝k（BD+BE）．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠C＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵點D關于直線AB的對稱點為點E，∴DE⊥AB， ∴∠BDE＝180°﹣60°﹣90°＝30°；故答案為：30°；（2）①補全圖形如下：②CD＝BE，證明如下：∵AB＝AC，∠C＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE，∴AD＝AE，∠EAD＝60°，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴CD＝BE；（3）AC＝k（BD+BE），證明如下：連接AE，如圖：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC， ∵∠ADE＝∠C，∴∠ABC＝∠ADE，∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠DAE＝∠BAC，＝，∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，∵AB＝AC，∴AE＝AD，在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴CD＝BE，∴BC＝BD+CD＝BD+BE，而＝＝k，∴＝k，即AC＝k（BD+BE）．【點評】本題考查等邊三角形性質及應用，解題的關鍵是掌握有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．26．（13分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，且經(jīng)過點A（0，），B（2，﹣）．（1）求b的值（用含a的代數(shù)式表示）；（2）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在1≤x≤3時，y的最大值為1，求a的值；（3）將線段AB向右平移2個單位得到線段A′B′．若線段A′B′與拋物線y＝ax2+bx+c+4a﹣1僅有一個交點，求a的取值范圍．【分析】（1）把A,B代入拋物線的解析式，構建方程組，可得結論．（2）由題意，x＝1或x＝3時，y取得最大值1,由此構建方程求解即可．（3）把問題轉化為不等式組，可得結論． 【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，經(jīng)過點A（0，），B（2，﹣），∴,∴b＝﹣2a﹣1(a＞0)．(2)∵二次函數(shù)y＝ax2﹣(2a+1)x+,a＞0,在1≤x≤3時，y的最大值為1,∴x＝1時，y＝1x＝3時，y＝1,∴1＝a﹣(2a+1)+或1＝9a﹣3(2a+1)+,解得a＝﹣(舍棄）或a＝．∴a＝．(3)∵線段AB向右平移2個單位得到線段A′B′,∴A′(2,),B′(4,﹣)．∵線段A′B′與拋物線y＝ax2﹣(2a+1)x++4a僅有一個交點,∴,解得，≤a≤．或不等式組無解，∴≤a≤．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的最值問題等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為方程或不等式組解決，屬于中考壓軸題．