2021年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)試卷湖南省邵陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．﹣3的相反數(shù)是（ ?。〢．﹣3B．0C．3D．π2．下列四個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ?。〢．B．C．D．3．2021年我國(guó)首次發(fā)射探測(cè)器對(duì)火星進(jìn)行探測(cè)．北京時(shí)間2月10日晚，“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器在距離地球約192000000km處成功實(shí)施制動(dòng)捕獲，隨后進(jìn)入火星軌道．用科學(xué)記數(shù)法將192000000表示為a×108的形式，則a的值是（ ?。〢．0.192B．1.92C．19.2D．1924．如圖，若數(shù)軸上兩點(diǎn)M，N所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為m，n，則m+n的值可能是（ ?。〢．2B．1C．﹣1D．﹣25．如圖，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△A′OB′，連接AA′．則線段AA′的長(zhǎng)為（ ?。?
A．1B．C．D．6．其社區(qū)針對(duì)5月30日前該社區(qū)居民接種新冠疫苗的情況開(kāi)展了問(wèn)卷調(diào)查，共收回6000份有效問(wèn)卷．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，制成如下數(shù)據(jù)表格．接種疫苗針數(shù)0123人數(shù)210022801320300小杰同學(xué)選擇扇形統(tǒng)計(jì)圖分析接種不同針數(shù)的居民人數(shù)所占總?cè)藬?shù)的百分比．下面是制作扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟（順序打亂）：①計(jì)算各部分扇形的圓心角分別為126°，136.8°，79.2°，18°．②計(jì)算出接種不同針數(shù)的居民人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比分別為35%，38%，22%，5%．③在同一個(gè)圓中，根據(jù)所得的圓心角度數(shù)畫(huà)出各個(gè)扇形，并注明各部分的名稱及相應(yīng)的百分比．制作扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟排序正確的是（ ?。〢．②①③B．①③②C．①②③D．③①②7．下列數(shù)值不是不等式組的整數(shù)解的是（ ）A．﹣2B．﹣1C．0D．18．某天早晨7：00，小明從家騎自行車去上學(xué)，途中因自行車發(fā)生故障，就地修車耽誤了一段時(shí)間，修好車后繼續(xù)騎行，7：30趕到了學(xué)校．如圖所示的函數(shù)圖象反映了他騎車上學(xué)的整個(gè)過(guò)程．結(jié)合圖象，判斷下列結(jié)論正確的是（ ?。?
A．小明修車花了15minB．小明家距離學(xué)校1100mC．小明修好車后花了30min到達(dá)學(xué)校D．小明修好車后騎行到學(xué)校的平均速度是3m/s9．如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，則∠AOB的大小為（ ?。〢．25°B．30°C．35°D．40°10．在平面直角坐標(biāo)系中，若直線y＝﹣x+m不經(jīng)過(guò)第一象限，則關(guān)于x的方程mx2+x+1＝0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ?。〢．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．1或2個(gè)二、填空題（本大題有8個(gè)小題，每小題3分，共24分）11．16的算術(shù)平方根是 ．12．因式分解：xy2﹣x3＝ ?。?3．如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)．若△ABC的周長(zhǎng)為10，則△DEF的周長(zhǎng)為 ?。?
14．已知點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y＝圖象上的兩點(diǎn)，則y1與y2的大小關(guān)系是y1 y2．（填“＞”“＝”或“＜”）15．如圖，已知線段AB長(zhǎng)為4．現(xiàn)按照以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)；②過(guò)E，F(xiàn)兩點(diǎn)作直線，與線段AB相交于點(diǎn)O．則AO的長(zhǎng)為 ．16．一只螞蟻在如圖所示的樹(shù)枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)選擇其中一條路徑，則它遇到食物的概率是 ?。?7．《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問(wèn)題，原文如下：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？意思是：幾個(gè)人一起去購(gòu)買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，則少了4錢．問(wèn)有多少人，物品的價(jià)值是多少？該問(wèn)題中物品的價(jià)值是 錢．18．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．若sin∠ADE＝，AD＝4，則AB的長(zhǎng)為 ?。?
三、解答題（本大題有8個(gè)小題，第19～25題每題8分，第26題10分，共66分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程）19．（8分）計(jì)算：（2021﹣π）0﹣|﹣2|﹣tan60°．20．（8分）先化簡(jiǎn)，再?gòu)末?，0，1，2，+1中選擇一個(gè)合適的x的值代入求值．（1﹣）÷．21．（8分）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．連接DE，DF，BE，BF．（1）證明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4，AE＝2，求四邊形BEDF的周長(zhǎng)．22．（8分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校計(jì)劃舉行“學(xué)黨史?感黨恩”知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，并計(jì)劃購(gòu)置籃球、鋼筆、筆記本作為獎(jiǎng)品．采購(gòu)員劉老師在某文體用品店購(gòu)買了做為獎(jiǎng)品的三種物品，回到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個(gè)數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖．
請(qǐng)根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購(gòu)置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對(duì)應(yīng)的金額．23．（8分）為落實(shí)湖南省共青團(tuán)“青年大學(xué)習(xí)”的號(hào)召，某校團(tuán)委針對(duì)該校學(xué)生每周參加“青年大學(xué)習(xí)”的時(shí)間（單位：h）進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并將獲得的數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計(jì)表和如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息回答下列問(wèn)題．周學(xué)習(xí)時(shí)間頻數(shù)頻率0≤t＜150.051≤t＜2200.202≤t＜3a0.353≤t＜425m4≤t≤5150.15（1）求統(tǒng)計(jì)表中a，m的值．（2）甲同學(xué)說(shuō)“我的周學(xué)習(xí)時(shí)間是此次抽樣調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)”．求甲同學(xué)的周學(xué)習(xí)時(shí)間在哪個(gè)范圍內(nèi)．（3）已知該校學(xué)生約有2000人，試估計(jì)該校學(xué)生每周參加“青年大學(xué)習(xí)”的時(shí)間不少于3h的人數(shù)．
24．（8分）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)之比為1：2．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．將扇形AEF圍成圓錐時(shí)，AE，AF恰好重合．（1）求這種加工材料的頂角∠BAC的大小．（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）25．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）和（4，1）．（1）求拋物線C的對(duì)稱軸．（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，將拋物線C向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到拋物線C1．①求拋物線C1的解析式．②設(shè)拋物線C1與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線C1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．是否存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)O，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
26．（10分）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)P為斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABP沿直線AP折疊，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，連接AB′，CB′，BB′，PB′．（1）如圖①，若PB′⊥AC，證明：PB′＝AB′．（2）如圖②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．（3）如圖③，若∠ACB＝30°，是否存在點(diǎn)P，使得AB＝CB′．若存在，求此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2021年湖南省邵陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．﹣3的相反數(shù)是（ ）A．﹣3B．0C．3D．π【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念求解即可．【解答】解：相反數(shù)指的是只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，因此﹣3的相反數(shù)為3．故選：C．2．下列四個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ?。〢．B．C．D．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．【解答】解：A．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C．是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；D．不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．故選：C．3．2021年我國(guó)首次發(fā)射探測(cè)器對(duì)火星進(jìn)行探測(cè)．北京時(shí)間2月10日晚，“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器在距離地球約192000000km處成功實(shí)施制動(dòng)捕獲，隨后進(jìn)入火星軌道．用科學(xué)記數(shù)法將192000000表示為a×108的形式，則a的值是（ ?。?
A．0.192B．1.92C．19.2D．192【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：192000000＝1.92×108，故a＝1.92，故選：B．4．如圖，若數(shù)軸上兩點(diǎn)M，N所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為m，n，則m+n的值可能是（ ）A．2B．1C．﹣1D．﹣2【分析】根據(jù)在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的大，可得：﹣3＜m＜﹣2＜0＜n＜1，m+n的結(jié)果即可求得．【解答】解：∵M(jìn)，N所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為m，n，∴﹣3＜m＜﹣2＜0＜n＜1，∴m+n的值可能是﹣2．故選：D．5．如圖，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△A′OB′，連接AA′．則線段AA′的長(zhǎng)為（ ）A．1B．C．D．【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可判定△AOA'為等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的長(zhǎng)．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
則△AOA'為等腰直角三角形，∴AA'＝＝＝．故選：B．6．其社區(qū)針對(duì)5月30日前該社區(qū)居民接種新冠疫苗的情況開(kāi)展了問(wèn)卷調(diào)查，共收回6000份有效問(wèn)卷．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，制成如下數(shù)據(jù)表格．接種疫苗針數(shù)0123人數(shù)210022801320300小杰同學(xué)選擇扇形統(tǒng)計(jì)圖分析接種不同針數(shù)的居民人數(shù)所占總?cè)藬?shù)的百分比．下面是制作扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟（順序打亂）：①計(jì)算各部分扇形的圓心角分別為126°，136.8°，79.2°，18°．②計(jì)算出接種不同針數(shù)的居民人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比分別為35%，38%，22%，5%．③在同一個(gè)圓中，根據(jù)所得的圓心角度數(shù)畫(huà)出各個(gè)扇形，并注明各部分的名稱及相應(yīng)的百分比．制作扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟排序正確的是（ ?。〢．②①③B．①③②C．①②③D．③①②【分析】根據(jù)制作扇形圖的步驟即可求解．【解答】解：由題意可知，小杰同學(xué)制作扇形統(tǒng)計(jì)圖的步驟為：先計(jì)算出接種不同針數(shù)的居民人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比分別為35%，38%，22%，5%；再計(jì)算各部分扇形的圓心角分別為126°，136.8°，79.2°，18°；然后在同一個(gè)圓中，根據(jù)所得的圓心角度數(shù)畫(huà)出各個(gè)扇形，并注明各部分的名稱及相應(yīng)的百分比．故選：A．
7．下列數(shù)值不是不等式組的整數(shù)解的是（ ?。〢．﹣2B．﹣1C．0D．1【分析】先分別求每個(gè)不等式的解集，取其解集的公共部分作為不等式組的解集，然后再確定其整數(shù)解．【解答】解：，解不等式①，得：x＞﹣，解不等式②，得：x≤1，∴不等式組的解集為：﹣＜x≤1，∴不等式組的整數(shù)解為﹣1，0，1，故選：A．8．某天早晨7：00，小明從家騎自行車去上學(xué)，途中因自行車發(fā)生故障，就地修車耽誤了一段時(shí)間，修好車后繼續(xù)騎行，7：30趕到了學(xué)校．如圖所示的函數(shù)圖象反映了他騎車上學(xué)的整個(gè)過(guò)程．結(jié)合圖象，判斷下列結(jié)論正確的是（ ?。〢．小明修車花了15minB．小明家距離學(xué)校1100mC．小明修好車后花了30min到達(dá)學(xué)校D．小明修好車后騎行到學(xué)校的平均速度是3m/s【分析】根據(jù)橫坐標(biāo)，可得時(shí)間；根據(jù)函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)，可得路程．【解答】解：A．由橫坐標(biāo)看出，小明修車時(shí)間為20﹣5＝15(分鐘)，故本選項(xiàng)符合題意；B．由縱坐標(biāo)看出，小明家學(xué)校離家的距離為2100米，故本選項(xiàng)不合題意；C．由橫坐標(biāo)看出，小明修好車后花了30﹣20＝10(min)到達(dá)學(xué)校，故本選項(xiàng)不合題意；D．小明修好車后騎行到學(xué)校的平均速度是：（2100﹣1100）÷10＝100（米/分鐘）＝
（m/s），故本選項(xiàng)不合題意；故選：A．9．如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，則∠AOB的大小為（ ?。〢．25°B．30°C．35°D．40°【分析】由圓周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，繼而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．【解答】解：∵∠BAC與∠BOC所對(duì)弧為，由圓周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．故選：B．10．在平面直角坐標(biāo)系中，若直線y＝﹣x+m不經(jīng)過(guò)第一象限，則關(guān)于x的方程mx2+x+1＝0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ?。〢．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．1或2個(gè)【分析】由直線解析式求得m≤0,然后確定△的符號(hào)即可．【解答】解：∵直線y＝﹣x+m不經(jīng)過(guò)第一象限，∴m≤0,當(dāng)m＝0時(shí)，方程mx2+x+1＝0是一次方程，有一個(gè)根，當(dāng)m＜0時(shí)，∵關(guān)于x的方程mx2+x+1＝0,∴△＝12﹣4m＞0,∴關(guān)于x的方程mx2+x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：D．二、填空題（本大題有8個(gè)小題，每小題3分，共24分）11．16的算術(shù)平方根是 4?。痉治觥扛鶕?jù)算術(shù)平方根的定義即可求出結(jié)果．【解答】解：∵42＝16，∴＝4．故答案為：4．12．因式分解：xy2﹣x3＝ x(y+x)(y﹣x) ．【分析】首先提取公因式x,再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：xy2﹣x3＝x(y2﹣x2)＝x(y+x)(y﹣x)．故答案為：x(y+x)(y﹣x)．13．如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點(diǎn)．若△ABC的周長(zhǎng)為10，則△DEF的周長(zhǎng)為 5?。痉治觥扛鶕?jù)D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，可以判斷DF、FE、DE為三角形中位線，利用中位線定理求出DF、FE、DE與AB、BC、CA的長(zhǎng)度關(guān)系即可解答．【解答】解：∵D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，∴FD、FE、DE為△ABC中位線，∴DF＝AC，F(xiàn)E＝AB，DE＝BC；∴DF+FE+DE＝AC+AB+BC＝（AB+AC+CB）＝×10＝5，故答案為：5．14．已知點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y＝圖象上的兩點(diǎn)，則y1與y2的大小關(guān)系是y1 ＞ y2．（填“＞”“＝”或“＜”）【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限及其增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的值判斷出各點(diǎn)所在的象限，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝中，k＝3＞0，∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小．∵A（1，y1），B（2，y2），∴點(diǎn)A、B都在第一象限，又1＜2，∴y1＞y2，故答案為：＞．15．如圖，已知線段AB長(zhǎng)為4．現(xiàn)按照以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)；②過(guò)E，F(xiàn)兩點(diǎn)作直線，與線段AB相交于點(diǎn)O．則AO的長(zhǎng)為 2?。痉治觥恐苯永没咀鲌D方法得出EF垂直平分AB,即可得出答案．【解答】解：由基本作圖方法可得：EF垂直平分AB,∵AB＝4,∴AO＝AB＝2．故答案為：2．16．一只螞蟻在如圖所示的樹(shù)枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)選擇其中一條路徑，則它遇到食物的概率是 ?。?
【分析】由一只螞蟻在如圖所示的樹(shù)枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)的選擇一條路徑，觀察圖可得：它有6種路徑，且獲得食物的有2種路徑，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一只螞蟻在如圖所示的樹(shù)枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)的選擇一條路徑，∴它有6種路徑，∵獲得食物的有2種路徑，∴它遇到食物的概率是：＝．故答案為：．17．《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問(wèn)題，原文如下：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？意思是：幾個(gè)人一起去購(gòu)買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，則少了4錢．問(wèn)有多少人，物品的價(jià)值是多少？該問(wèn)題中物品的價(jià)值是 53 錢．【分析】設(shè)有x人，物品的價(jià)值為y錢，由題意：幾個(gè)人一起去購(gòu)買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，則少了4錢．列出方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)有x人，物品的價(jià)值為y錢，依題意，得：，解得：，即該問(wèn)題中物品的價(jià)值是53錢，故答案為：53．
18．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．若sin∠ADE＝，AD＝4，則AB的長(zhǎng)為 3?。痉治觥恳鬃C∠ACD＝∠ADE，由矩形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠ACD，則＝，由此得到AC＝＝＝5，最后由勾股定理得出結(jié)果．【解答】解：∵DE⊥AC，∴∠ADE+∠CAD＝90°，∵∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACD＝∠ADE，∵矩形ABCD的對(duì)邊AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵sin∠ADE＝，∴＝，∴AC＝＝＝5，由勾股定理得，AB＝＝＝3，故答案為：3．三、解答題（本大題有8個(gè)小題，第19～25題每題8分，第26題10分，共66分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程）19．（8分）計(jì)算：（2021﹣π）0﹣|﹣2|﹣tan60°．【分析】結(jié)合零指數(shù)冪，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)和60°角的正切值可以求出結(jié)果．【解答】解：原式＝1﹣（2﹣）﹣＝1﹣2+﹣
＝﹣1．20．（8分）先化簡(jiǎn)，再?gòu)末?，0，1，2，+1中選擇一個(gè)合適的x的值代入求值．（1﹣）÷．【分析】先計(jì)算分式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，先算小括號(hào)里面的，然后算括號(hào)外面的，最后根據(jù)分式成立的條件確定x的取值，代入求值即可．【解答】解：原式＝＝，又∵x≠±1，∴x可以取0，此時(shí)原式＝﹣1；x可以取2，此時(shí)原式＝1；x可以取，此時(shí)原式＝．21．（8分）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF．連接DE，DF，BE，BF．（1）證明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4，AE＝2，求四邊形BEDF的周長(zhǎng)．【分析】（1）由正方形對(duì)角線性質(zhì)可得∠DAE＝∠BCF＝45°，再由SAS可證△ADE≌△CBF；（2）由正方形性質(zhì)及勾股定理可求得BD＝AC＝8，DO＝BO＝4．再證明四邊形BEDF為菱形，因?yàn)锳E＝CF＝2，所以可得OE＝2，在Rt△DOE中用勾股定理求得DE＝2，進(jìn)而四邊形BEDF的周長(zhǎng)為4DE，即可求得答案．【解答】解；（1）證明：由正方形對(duì)角線平分每一組對(duì)角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，在△ADE和△CBF中，
，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）∵AB＝AD＝，∴BD＝＝＝8，由正方形對(duì)角線相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，又AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF,即OE＝OF＝4﹣2＝2，故四邊形BEDF為菱形．∵∠DOE＝90°，∴DE＝＝＝2．∴4DE＝故四邊形BEDF的周長(zhǎng)為8．22．（8分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校計(jì)劃舉行“學(xué)黨史?感黨恩”知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，并計(jì)劃購(gòu)置籃球、鋼筆、筆記本作為獎(jiǎng)品．采購(gòu)員劉老師在某文體用品店購(gòu)買了做為獎(jiǎng)品的三種物品，回到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個(gè)數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖．請(qǐng)根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購(gòu)置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對(duì)應(yīng)的金額．【分析】設(shè)鋼筆購(gòu)買了x支，筆記本購(gòu)買了y
本，籃球個(gè)數(shù)+鋼筆支數(shù)+筆記本本數(shù)＝56，籃球總價(jià)+鋼筆總價(jià)+筆記本總價(jià)＝1000，利用這兩個(gè)相等關(guān)系列出二元一次方程組，解出即得鋼筆和筆記本的數(shù)量，乘以各自單價(jià)即得各自總價(jià)．【解答】解：設(shè)鋼筆購(gòu)買了x支，筆記本購(gòu)買了y本．由題意得：，解得：，∴15×15＝225（元），35×5＝175（元），答：鋼筆購(gòu)買了15支共225元，筆記本購(gòu)買了35本共175元．23．（8分）為落實(shí)湖南省共青團(tuán)“青年大學(xué)習(xí)”的號(hào)召，某校團(tuán)委針對(duì)該校學(xué)生每周參加“青年大學(xué)習(xí)”的時(shí)間（單位：h）進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并將獲得的數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計(jì)表和如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息回答下列問(wèn)題．周學(xué)習(xí)時(shí)間頻數(shù)頻率0≤t＜150.051≤t＜2200.202≤t＜3a0.353≤t＜425m4≤t≤5150.15（1）求統(tǒng)計(jì)表中a，m的值．（2）甲同學(xué)說(shuō)“我的周學(xué)習(xí)時(shí)間是此次抽樣調(diào)查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)”．求甲同學(xué)的周學(xué)習(xí)時(shí)間在哪個(gè)范圍內(nèi)．（3）已知該校學(xué)生約有2000人，試估計(jì)該校學(xué)生每周參加“青年大學(xué)習(xí)”的時(shí)間不少于3h的人數(shù)．
【分析】（1）由周學(xué)習(xí)時(shí)間在0≤t＜1的頻數(shù)及頻率求出樣本容量，再由頻率＝頻數(shù)÷樣本容量求解即可得出答案；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義可得答案；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中3≤t＜4、4≤t≤5的頻率和．【解答】解：（1）∵樣本容量為5÷0.05＝100，∴a＝100×0.35＝35，m＝25÷100＝0.25；（2）∵一共有100個(gè)數(shù)據(jù)，其中位數(shù)是第50、51個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而這2個(gè)數(shù)據(jù)均落在2≤t＜3范圍內(nèi)，∴甲同學(xué)的周學(xué)習(xí)時(shí)間在2≤t＜3范圍內(nèi)；（3）估計(jì)該校學(xué)生每周參加“青年大學(xué)習(xí)”的時(shí)間不少于3h的人數(shù)為2000×（0.25+0.15）＝800（人）．24．（8分）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)之比為1：2．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．將扇形AEF圍成圓錐時(shí)，AE，AF恰好重合．（1）求這種加工材料的頂角∠BAC的大小．（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）
【分析】(1)設(shè)∠BAC＝n°．根據(jù)弧EF的兩種求法，構(gòu)建方程，可得結(jié)論．（2）根據(jù)S陰＝?BC?AD﹣S扇形AEF求解即可．【解答】解：（1）設(shè)∠BAC＝n°．由題意得π?DE＝,AD＝2DE,∴n＝90,∴∠BAC＝90°．(2)∵AD＝2DE＝10(cm),∴S陰＝?BC?AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．25．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）和（4，1）．（1）求拋物線C的對(duì)稱軸．（2）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，將拋物線C向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到拋物線C1．①求拋物線C1的解析式．②設(shè)拋物線C1與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線C1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．是否存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)O，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）點(diǎn)（1，1）和（4，1）的縱坐標(biāo)相同，故上述兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，即可求解；（2）①用待定系數(shù)法即可求解；②當(dāng)以點(diǎn)O，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似時(shí)，則tan∠DOE＝2或，即tan∠DOE＝＝＝2或，即可求解．【解答】解：（1）∵點(diǎn)（1，1）和（4，1）的縱坐標(biāo)相同，故上述兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，故拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝（1+4）＝；（2）①由題意得：，解得，故原拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+5x﹣3；由平移的性質(zhì)得，平移后的拋物線表達(dá)式為y＝﹣（x+2）2+5（x+2）﹣3﹣1＝﹣x2+x+2；②存在，理由：令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，則y＝2，故點(diǎn)B、A的坐標(biāo)分別為（﹣1,0）、（2,0），點(diǎn)C（0,2）；∵tan∠BCO＝，同理可得：tan∠CBO＝2，當(dāng)以點(diǎn)O，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似時(shí)，
則tan∠DOE＝2或，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m2+m+2），則tan∠DOE＝＝＝2或，解得：m＝﹣2（舍去）或1或（舍去）或，故m＝1或．26．（10分）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)P為斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABP沿直線AP折疊，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，連接AB′，CB′，BB′，PB′．（1）如圖①，若PB′⊥AC，證明：PB′＝AB′．（2）如圖②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．（3）如圖③，若∠ACB＝30°，是否存在點(diǎn)P，使得AB＝CB′．若存在，求此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）易證PB'∥AB．所以∠B'PA＝∠BAP，又由折疊可知∠BAP＝∠B'AP，所以∠B'PA＝∠B'AP．故PB′＝AB′；（2）設(shè)AB＝AC＝a，AC、PB'交于點(diǎn)D，則△ABC為等腰直角三角形．再證明△CDP~△B'DA，可得＝＝．設(shè)B'D＝b，則CD＝b．則AD＝a﹣b，PD＝﹣b，由＝解得b＝．再過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB'于點(diǎn)E，則△B'DE為等腰直角三角形．所以B'E＝sin45°×B'D＝，AE＝AB﹣B'E＝，AD＝．故cos∠B'AC＝cos∠EAD＝即可求；（3）分①點(diǎn)P在BC外的圓弧上；②點(diǎn)P在BC上兩種情況分別求解即可．
【解答】解：（1）證明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°，∴PB'∥AB．∴∠B'PA＝∠BAP，又由折疊可知∠BAP＝∠B'AP，∴∠B'PA＝∠B'AP．故PB′＝AB′．（2）設(shè)AB＝AC＝a，AC、PB'交于點(diǎn)D，則△ABC為等腰直角三角形，∴BC＝，PC＝，PB＝，由折疊可知，∠PB'A＝∠B＝45°，又∠ACB＝45°，∴∠PB'A＝∠ACB，又∠CDP＝∠B'DA，∴△CDP~△B'DA．∴＝＝．①設(shè)B'D＝b，則CD＝b．∴AD＝AC﹣CD＝a﹣b，PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'D＝﹣b，由①＝得：＝．解得：b＝．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB'于點(diǎn)E，則△B'DE為等腰直角三角形．∴B'E＝sin45°×B'D＝＝＝，∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a﹣＝．又AD＝AC﹣CD＝a﹣b＝a﹣＝．
∴cos∠B'AC＝cos∠EAD＝＝＝．（3）存在點(diǎn)P，使得CB'＝AB＝m．∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°．∴BC＝2m．①如答圖2所示，由題意可知，點(diǎn)B'的運(yùn)動(dòng)軌跡為以A為圓心、AB為半徑的半圓A．當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，PC＝BP＝AP＝AB'＝m，又∠B＝60°，∴△PAB為等邊三角形．又由折疊可得四邊形ABPB'為菱形．∴PB'∥AB，∴PB'⊥AC．又∵AP＝AB'，則易知AC為PB'的垂直平分線．故CB'＝PC＝AB＝m，滿足題意．此時(shí)，＝＝．②當(dāng)點(diǎn)B'落在BC上時(shí)，如答圖3所示，此時(shí)CB'＝AB＝m，則PB'＝＝，∴PC＝CB'+PB'＝a+＝，∴＝＝．綜上所述，的值為或．
