2002年北京市春季高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共15小題，每小題4分，滿分60分）)香?組1.不等式組的解集（）??組A.香??香?B.組????C.組??香?D.香????2.已知三條直線、、，三個(gè)平面、、，下列四個(gè)命題中，正確的是（）thA.B.tthththC.D.hth3.已知橢圓的焦點(diǎn)是香，，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)香到，使得，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡是()A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線4.如果?那么復(fù)數(shù)香?cos?sin的輻角的主值是（）A.?B.?C.D.?5.若角滿足條件sin?組，cossin?組，則在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限6.從名志愿者中選出人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同工作．若其中甲、乙兩名支援者都不能從事翻譯工作，則選派方案共有（）A.組種B.組種C.香組種D.種7.在??中，?＝，??＝香??，??＝香組，若將??繞直線??旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（）??A.B.C.D.8.圓?香與直線sin?香組的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離或相切D.不能確定9.到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（）A.組B.?組C.組D.組10.在極坐標(biāo)系中，如果一個(gè)圓的方程cos?sin，那么過圓心且與極軸平行的直線方程是（）A.sin?B.sin?C.cosD.cos11.函數(shù)sin的單調(diào)增區(qū)間是（）?A.?????B.??????C.????D.?????香?12.對(duì)于二項(xiàng)式?的展開式，四位同學(xué)作出了四種判斷：①存在，展開式中有常數(shù)項(xiàng)；②對(duì)任意，展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；試卷第1頁，總7頁 ③對(duì)任意，展開式中沒有的一次項(xiàng)；④存在，展開式中有的一次項(xiàng)．上述判斷中正確的是（）A.①與③B.②與③C.①與④D.②與④13.在香?的展開式中，?的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)依次是（）A.組，組B.香?，組C.組，香?D.香?，香?14.若一個(gè)等差數(shù)列前?項(xiàng)的和為?，最后?項(xiàng)的和為香，且所有項(xiàng)的和為?組，則這個(gè)數(shù)列有（）A.香?項(xiàng)B.香項(xiàng)C.香香項(xiàng)D.香組項(xiàng)15.用一張鋼板制作一個(gè)容積為?的無蓋長(zhǎng)方體水箱．可用的長(zhǎng)方形鋼板有四種不同的規(guī)格（長(zhǎng)寬的尺寸如各選項(xiàng)所示，單位均為），若既要夠用，又要所剩最少，則應(yīng)選鋼板的規(guī)格是()A.?B.???C.?香D.??二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）)?16.若雙曲線香的漸近線方程為，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________．香?17.如果cos，?，那么cos?的值等于________．香?18.已知，?，?三點(diǎn)在球心為，半徑為香的球面上，且?guī)缀误w??為正四面體，那么點(diǎn)到平面??的距離為________．19.對(duì)于任意兩個(gè)復(fù)數(shù)香香?香，?(香、香、、)，定義運(yùn)算“”：香香?香．設(shè)非零復(fù)數(shù)香、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為香、，點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)．若香組，則在香中，香的大小為________．三、解答題（共6小題，滿分70分）)??20.在??中，已知、?、?成等差數(shù)列，求???的值．21.已知函是偶函數(shù)，而且在組??上是增函數(shù)，判斷在?組上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷．22.在三棱錐??中，如圖，????組，?，??香?，?．（1）證明：?t??；（2）求側(cè)面??與底面??所成的二面角大?。唬?）（理）求異面直線?與?所成的角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）．（文）求三棱錐的體積??．23.假設(shè)型進(jìn)口車關(guān)稅稅率在組組年是香組組，在組組年是?，組組年型進(jìn)口車每輛價(jià)格為萬元（其中含?萬元關(guān)稅稅款）．試卷第2頁，總7頁 （1）已知與型車性能相近的?型國(guó)產(chǎn)車，組組年每輛價(jià)格為萬元，若型車的價(jià)格只受關(guān)稅降低的影響，為了保證組組年?型車的價(jià)格不高于型車價(jià)格的組，?型車價(jià)格要逐年降低，問平均每年至少下降多少萬元？（2）某人在組組年將??萬元存入銀行，假設(shè)銀行扣利息稅后的年利率為香?（?年內(nèi)不變），且每年按復(fù)利計(jì)算（上一年的利息計(jì)入第二年的本金），那么?年到期時(shí)這筆錢連本帶息是否一定夠買按（1）中所述降價(jià)后的?型車一輛？24.已知點(diǎn)的序列?組，，其中組，組，是線段的中?點(diǎn)，是線段?的中點(diǎn)，…，是線段香的中點(diǎn)，…．（1）寫出與香、之間的關(guān)系式?；（2）設(shè)?香，計(jì)算，，?，由此推測(cè)數(shù)列?的通項(xiàng)公式，并加以證明．25.已知某橢圓的焦點(diǎn)是香?組、?組，過點(diǎn)，并垂直于軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為?，且香???香組．橢圓上不同的兩點(diǎn)香?香、??滿足條件：、?、?成等差數(shù)列．（1）求該橢圓的方程；（2）求弦?中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）設(shè)弦?的垂直平分線的方程為??，求的取值范圍．試卷第3頁，總7頁 參考答案與試題解析2002年北京市春季高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共15小題，每小題4分，滿分60分）1.C2.D3.A4.B5.B6.B7.D8.C9.D10.A11.A12.C13.C14.A15.C二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）16.，組17.18.?19.三、解答題（共6小題，滿分70分）20.解：∵、?、?成等差數(shù)列，∴??????香組∴?組∴??香組???tan?tan∴tan?tan組?香tantan??∴????21.解：在?組上是減函數(shù)證明：設(shè)香??組則香組∵在組??上是增函數(shù)∴香又是偶函數(shù)試卷第4頁，總7頁 ∴香香，∴香∴在?組上是減函數(shù)22.解：（1）證明：如圖，∵??組∴t底面??又∵??底面??∴t??又∵??組∴?t??又∵?∴??t面?又∵?面?∴?t??（2）解：∵??組∴?t??又∵?t??∴?即為側(cè)面??與底面??所成的二面角的平面角在??中，?，??香?，∴?香在?中，?香，?，∴?在?中，?，?，∴?組，即側(cè)面??與底面??所成的二面角的大小為組（3）（理）分別取?、?、??、?的中點(diǎn)、、、，連接、、、、，則：??，?，?，所以異面直線?與?所成的角的大小即為的大?。??，??t面?∴t面?香??∴t，又，?，則香又∵，?香∴cos香香∴異面直線?與?所成的角的大小為arccos．香香（文）∵?????香?，?，香?∴??香??．??23.解：（1）組組年型車價(jià)為????組（萬元）設(shè)?型車每年下降萬元，組組，組組?組組年?型車價(jià)格為：（公差為）香，，…，，∴組組∴??故每年至少下降萬元（2）組組年到期時(shí)共有錢??香?香????香?組?組?組?組組??…??組?（萬元）故?年到期后這筆錢夠買一輛降價(jià)后的?型車．試卷第5頁，總7頁 24.解：（1）根據(jù)題意，是線段香的中點(diǎn)，則有香?當(dāng)?時(shí)，．?香香香（2）香香，?香，??香香香香????，香香由此推測(cè)：．?香香證明如下：因?yàn)橄憬M，且?香香香香香，香香所以．25.（1）解：由橢圓定義及條件知香???香組，得?．又，所以?．故橢圓方程為?香．?（2）解：由點(diǎn)???在橢圓上，得??．??因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為，離心率為．???根據(jù)橢圓定義，有香，?．????由、?、?成等差數(shù)列，得香?．???由此得出香?．設(shè)弦?的中點(diǎn)為組?組，香?則組．（3）解：由香?香，??在橢圓上，得???，④香香???．⑤由④-⑤得??組，香香香?香?香即??組香．香香?香?香香將組，組，?組代入上式，得香?香??組組?組．??由上式得?組（當(dāng)?組時(shí)也成立）．?由點(diǎn)?組在弦?的垂直平分線上，得試卷第6頁，總7頁 組??，?香所以組?組組組．由?組在線段??段（?段與?關(guān)于軸對(duì)稱）的內(nèi)部，得?組?．??香香所以??．??試卷第7頁，總7頁