2002年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）)1.滿足條件???的集合的個數(shù)是（）A.B.C.D.?2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)cossin，cossin，則的值是（）?A.B.C.D.?3.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）B.?sinC.??cosA.?cosD.??cot4.個直徑都為的球，記它們的體積之和為，表面積之和為；一個直徑為甲甲的球，記其體積為，表面積為，則（）乙乙A.且B.且甲乙甲乙甲乙甲乙C.?且D.?且?甲乙甲乙甲乙甲乙?sec5.已知某曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．若以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸?tan為極軸，長度單位不變，建立極坐標(biāo)系，則該曲線的極坐標(biāo)方程是（）A.??B.cos??C.sin??D.cos??6.給定四條曲線：①?，②??，③??，④??，其中與直線??僅有一個交點(diǎn)的曲線是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④7.已知?，且???．若???，則??的最大值是()A.B.C.D.cot??cos8.若??，則的值為（）cot??sin?A.B.?C.?D.?9.?名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個路口人，則不同的分配方案共有（）A.種B.種???C.種D.種?試卷第1頁，總8頁 10.在一個不透明的袋中，裝有若干個除顏色不同外其余都相同的球，如果袋中有?個紅球且摸到紅球的概率為，那么袋中球的總個數(shù)為（）A.?B.??C.?D.?11.已知是定義在?上的奇函數(shù)，當(dāng)時，的圖象如圖所示，那么不等式cos的解集為（）A.???B.????C.?????D.????12.如圖所示，????是定義在?上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對?中任意的?和，任意?，??????恒成立”的只有（）A.B.C.D.二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)13.arcsin?，arccos?，arctan?從小到大的順序是________．14.等差數(shù)列中，??，公差不為零，且?，，??恰好是某等比數(shù)列的前三項(xiàng)，那么該等比數(shù)列公比的值等于________．15.關(guān)于直角于在定平面內(nèi)的射影有如下判斷：①可能是的角；②可能是銳角；③可能是直角；④可能是鈍角；⑤可能是?的角．其中正確判斷的序號是________（注：把你認(rèn)為是正確判斷的序號都填上）．試卷第2頁，總8頁 16.已知是直線＝上的動點(diǎn)，，是圓???＝的兩條切線，，是切點(diǎn)，是圓心，那么四邊形面積的最小值為________．三、解答題（共6小題，滿分74分）)17.解不等式???．18.如圖，在多面體???????中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長后相交于，兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長、寬分別為，與，，且，，兩底面間的距離為．（1）求側(cè)面??與底面?所成二面角的大??；（2）證明：面?．?19.數(shù)列由下列條件確定：??，??，．（1）證明：對，總有；（2）證明：對，總有?；lim（3）若數(shù)列的極限存在，且大于零，求的值．20.在研究并行計(jì)算的基本算法時，有以下簡單模型問題：用計(jì)算機(jī)求個不同的數(shù)?，，…，的和?????????．計(jì)算開始前，個數(shù)存貯在臺由網(wǎng)絡(luò)連接的計(jì)算機(jī)中，每臺機(jī)器存一個數(shù)，計(jì)算開始后，在一個單位時間內(nèi)，每臺機(jī)器至多到一臺其他機(jī)器中讀數(shù)據(jù)，并與自己原有數(shù)據(jù)相加得到新的數(shù)據(jù)，各臺機(jī)器可同時完成上述工作．為了用盡可能少的單位時間，使各臺機(jī)器都得到這個數(shù)的和，需要設(shè)計(jì)一種讀和加的方法．比如?時，一個單位時間即可完成計(jì)算，方法可用下表表示：機(jī)器號初始時第一單位時間第二單位時間第三單位時間被讀機(jī)號結(jié)果被讀機(jī)號結(jié)果被讀機(jī)號結(jié)果?????（1）當(dāng)?時，至少需要多少個單位時間可完成計(jì)算？把你設(shè)計(jì)的方法填入下表機(jī)器號初始時第一單位時間第二單位時間第三單位時間被讀機(jī)號結(jié)果被讀機(jī)號結(jié)果被讀機(jī)號結(jié)果??試卷第3頁，總8頁 （2）當(dāng)??時，要使所有機(jī)器都得到????，至少需要多少個單位時間可完成計(jì)算？（結(jié)論不要求證明）21.已知于，?，是于的三個頂點(diǎn)．（1）寫出于的重心，外心，垂心的坐標(biāo)，并證明，，三點(diǎn)共線；（2）當(dāng)直線與于平行時，求頂點(diǎn)的軌跡．22.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的，都滿足：?．（1）求及?的值；（2）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（3）若?，?，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式．試卷第4頁，總8頁 參考答案與試題解析2002年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1.C2.D3.B4.C5.D6.D7.C8.A9.A10.C11.B12.A二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13.arctan?arcsin?arccos?14.15.①②③④⑤16.三、解答題（共6小題，滿分74分）??17.解：原不等式的解集是下面不等式組?及的解集的并集：?或????????解不等式組?得解集解不等式組得解集?所以原不等式的解集為18.解：（1）過??作底面?的垂直平面，交底面于，過?作?，垂足為．∵平面?平面?，????????∴，?．∴?為所求二面角的平面角．過?作?，垂足為．由于相對側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形??為等腰梯形．試卷第5頁，總8頁 ?∴??，又??，∴tan??，?∴??arctan，?即所求二面角的大小為arctan．?（2）證明：∵，?是矩形?的一組對邊，有?，又?是面?與面?的交線，∴面?．∵是面與面?的交線，∴．∵是平面?內(nèi)的一條直線，在平面?外，∴面?．?19.證明：（1）由??，及??，可歸納證明．?從而有???，所以，當(dāng)時，成立．（2）證法一：當(dāng)時，?因?yàn)椋?????所以?????，故當(dāng)時，?成立．?證法二：當(dāng)時，因?yàn)椋??，??所以????，故當(dāng)時，?成立．limlim（3）解：記?，則??，且．??由??，得?．lim由，解得?，故?．20.解：（1）當(dāng)?時，只用個單位時間即可完成計(jì)算．方法之一如下：試卷第6頁，總8頁 機(jī)器號初始時第一單位時間第二單位時間第三單位時間被讀機(jī)結(jié)果被讀機(jī)結(jié)果被讀機(jī)結(jié)果號號號??????????（2）當(dāng)???時，至少需要個單位時間才能完成計(jì)算．21.解：（1）由于三頂點(diǎn)坐標(biāo)于，?，，?可求得重心，，??外心，，?垂心．??當(dāng)?時，，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，故三點(diǎn)共線；?當(dāng)時，設(shè)，所在直線的斜率為，，所在直線的斜率為．???因?yàn)???，??????????，???所以?，，，，三點(diǎn)共線．綜上可得，，，三點(diǎn)共線．?（2）解：若于，由??，???得?????配方得??，即???．???即???．??所以，頂點(diǎn)的軌跡是中心在，，長半軸長為，短半軸長為，且短軸在軸上的橢圓，??但除去，?，，，，?四點(diǎn)．22.解：（1）令??，代入得??．令???，代入得??????，則??．試卷第7頁，總8頁 （2）∵????????????，∴???．令???，?，則??????????，因此是奇函數(shù)．?（3）因?yàn)??????????，即????，所以是等差數(shù)列．又首項(xiàng)????，公差為?，?所以?，?．試卷第8頁，總8頁