2003年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.)1.設(shè)集合A={x|x2-1>0}，B={x|log2x>0|}，則A∩B等于（）A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|x<-1}D.{x|x>1或x<-1}2.設(shè)y1=40.9，y2=80.48，y3=(12)-1.5，則（）A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y23.“cos2α=-32”是“α=2kπ+5π12，k∈Z”的（）A.必要非充分條件B.充分非必要條件C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件4.已知α，β是平面，m，n是直線，下列命題中不正確的是（）A.若m // α，α∩β=n，則m // nB.若m // n，m⊥α，則n⊥αC.若m⊥α，m⊥β，則α // βD.若m⊥α，m⊂β，則α⊥β5.極坐標方程ρ2cos2θ-2ρcosθ=1表示的曲線是（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線6.若z∈C，且|z+2-2i|=1，則|z-2-2i|的最小值是（）A.2B.3C.4D.57.如果圓臺的母線與底面成60°角，那么這個圓臺的側(cè)面積與軸截面面積的比為（）A.2πB.32πC.233πD.12π8.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植．不同的種植方法共有（）A.24種B.18種C.12種D.6種9.若數(shù)列{an}的通項公式是an=3-n+2-n+(-1)n(3-n-2-n)2，n=1，2，…，則limn→∞(a1+a2+...+an)等于（）A.1124B.1724C.1924D.252410.某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人．全班k名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號分別為1，2，…，k，規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權(quán)）按“0”，令aij=1，第i號同學(xué)同意第j號同學(xué)當選.0，第i號同學(xué)不同意第j號同學(xué)當選.其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，則同時同意第1，2號同學(xué)當選的人數(shù)為（）A.a11+a12+...+a1k+a21+a22+...+a2kB.a11+a21+...+ak1+a12+a22+...+ak2C.a11a12+a21a22+...+ak1ak2試卷第7頁，總7頁, D.a11a21+a12a22+...+a1ka2k二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.)11.函數(shù)f(x)=lg(1+x2)，g(x)=x+2x<-10|x|≤1-x+2x>1.，h(x)=tan2x中，________是偶函數(shù)．12.已知雙曲線方程為x216-y29=1，則以雙曲線左頂點為頂點，右焦點為焦點的拋物線方程為________．13.如圖，已知底面半徑為r的圓柱被一個平面所截，剩下部分母線長的最大值為a，最小值為b，那么圓柱被截后剩下部分的體積是________．14.將長度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個正方形和一個圓形，要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長應(yīng)為________．三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)15.已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在區(qū)間[0,π2]上的最大值和最小值．16.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn=anxn(x∈R)，求數(shù)列{bn}前n項和的公式．17.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為3的正三角形，側(cè)棱AA1垂直于底面ABC，AA1=332，D是CB延長線上一點，且BD=BC．（1）求證：直線BC1 // 平面AB1D；（2）求二面角B1-AD-B的大??；（3）求三棱錐C1-ABB1的體積．試卷第7頁，總7頁, 18.如圖，已知橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心M(0, r)(b>r>0（1）寫出橢圓方程并求出焦點坐標和離心率；（2）設(shè)直線y=k1x與橢圓交于C(x1, y1)，D(x2, y2)(y2>0)，直線y=k2x與橢圓次于G(x3, y3)，H(x4, y4)(y4>0)．求證：k1x1x2x1+x2=k1x3x4x3+x4；（3）對于（2）中的在C，D，G，H，設(shè)CH交x軸于P點，GD交x軸于Q點，求證：|OP|=|OQ|（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）19.有三個新興城鎮(zhèn)分別位于A、B、C三點處，且AB=AC=a，BC=2b，今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在BC的垂直平分線上的P點處（建立坐標系如圖）．（1）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則P應(yīng)位于何處？（2）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，則P應(yīng)位于何處？20.設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1, 1]上的函數(shù)，且滿足條件，①f(-1)=f(1)=0，②對任意的u、v∈[-1, 1]，都有|f(u)-f(V)|≤|u-v|（1）證明：對任意x∈[-1, 1]，都有x-1≤f(x)≤1-x（2）證明：對任意的u，v∈[-1, 1]都有|f(u)-f(V)|≤1（3）在區(qū)間[-1, 1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f(x)且使得|f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,12]|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[12，1]；若存在請舉一例，若不存在，請說明理由．試卷第7頁，總7頁, 參考答案與試題解析2003年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.A2.D3.A4.A5.D6.B7.C8.B9.C10.C二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.11.f(x)、g(x)12.y2=36(x+4)13.12πr2(a+b)14.4π+4三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.解：（1）由題意知，f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+π4)∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．（2）∵0≤x≤π2，∴π4≤2x+π4≤5π4當2x+π4=π4時，f(x)取最大值為22，當2x+π4=π時，f(x)取最小值為-1∴f(x)=2cos(2x+π4)的最大值為1，最小值為-216.解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a1+a2+a3=3a1+3d=12．又a1=2，得d=2．∴an=2n．（2）當x=0時，bn=0，Sn=0，當x≠0時，令Sn=b1+b2+...+bn，則由bn=anxn=2nxn，得Sn=2x+4x2++(2n-2)xn-1+2nxn，①xSn=2x2+4x3++(2n-2)xn+2nxn+1．②當x≠1時，①式減去②式，得(1-x)Sn=2(x+x2++xn)-2nxn+1=2x(1-xn)1-x-2nxn+1．∴Sn=2x(1-xn)(1-x)2-2nxn+11-x．當x=1時，Sn=2+4++2n=n(n+1)．綜上可得，當x=1時，Sn=n(n+1)；試卷第7頁，總7頁, 當x≠1時，Sn=2x(1-xn)(1-x)2-2nxn+11-x．17.解：（1）∵CB // C1B1，且BD=BC=B1C1，∴四邊形BDB1C1是平行四邊形，可得BC1 // DB1．又B1D⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，∴直線BC1 // 平面AB1D（2）過B作BE⊥AD于E，連接EB1∵BB1⊥平面ABD，∴BE是B1E在平面ABD內(nèi)的射影結(jié)合BE⊥AD，可得B1E⊥AD，∴∠B1EB是二面角B1-AD-B的平面角．∵BD=BC=AB，∴E是AD的中點，得BE是三角形ACD的中位線，所以BE=12AC=32．在Rt△BB1E中，tan∠B1BE=B1BBE=32332=3∴∠B1EB=60°，即二面角B1-AD-B的大小為60°（3）過A作AF⊥BC于F，∵BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面BB1C1C∴平面BB1C1C⊥平面ABC∵AF⊥BC，平面BB1C1C∩平面ABC=BC∴AF⊥平面BB1C1C，即AF為點A到平面BB1C1C的距離．∵正三角形ABC中，AF=32×3=332，∴三棱錐C1-ABB1的體積VC1-ABB1=VA-C1BB1=13×934×332=278．18.（1）解：∵橢圓的長軸A1A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心M(0, r)，∴橢圓方程為x2a2+(y-r)2b2=1焦點坐標為F1(-a2-b2,r)，F(xiàn)2(a2-b2,r)試卷第7頁，總7頁, 離心率e=a2-b2a（2）證明：將直線CD的方程y=k1x代入橢圓方程x2a2+(y-r)2b2=1，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2整理得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0根據(jù)韋達定理，得x1+x2=2k1a2rb2+a2k12，x1x2=a2r2-a2b2b2+a2k12，所以  x1x2x1+x2=r2-b22k1r①將直線GH的方程y=k2x代入橢圓方程x2a2+(y-r)2b2=1，同理可得x3x4x3+x4=r2-b22k2r②由 ①、②得   k1x1x2x1+x2=r2-b22r=k2x3x4x3+x4所以結(jié)論成立（3）證明：設(shè)點P(p, 0)，點Q(q, 0)由C、P、H共線，得   x1-px4-p=k1x1k2x4解得   p=(k1-k2)x1x4k1x1-k2x4由D、Q、G共線，同理可得   x2-px3-p=k1x2k2x3∴q=(k1-k2)x2x3k1x2-k2x3由k1x1x2x1+x2=k2x3x4x3+x4變形得-(k1-k2)x1x4k1x1-k2x4=(k1-k2)x2x3k1x2-k2x3所以|p|=|q|即|OP|=|OQ|19.點P的坐標是(0,a2-b23)（2）記h=a2-b2P至三鎮(zhèn)的最遠距離為g(x)=b2+y2，當b2+y2≥|h-y||h-y|，當b2+y2<|h-y|.由b2+y2≥|h-y|解得y≥h2-b22h，記y*=h2-b22h，于是g(x)=b2+y2，當y≥y*|h-y|，當yb，所以y=0時，函數(shù)g(y)取得最小值．答：當h≥b時，點P的坐標是(0,h2-b22h)；當h1時，u⋅v<0，不妨設(shè)u∈[-1, 0), v∈(0, 1]，則v-u>1從而有|f(u)-f(V)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(V)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=2-(v-u)<1綜上可知，對任意的u，v∈[-1, 1]，都有|f(u)-f(V)|≤1（3）解：這樣滿足所述條件的函數(shù)不存在．理由如下：假設(shè)存在函數(shù)f(x)滿足條件，則由|f(u)-f(V)|=|u-v|．u,v∈[12，1]得|f(12)-f(1)|=|12-1|=12又f(1)=0，所以|f(12)|=12①又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)=0，由條件|f(u)-f(V)|<|u-v|．u,v∈[0,12]得|f(12)|=|f(12)-f(0)|<|12-0|=12所以|f(12)|<12②①與②矛盾，因此假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在．試卷第7頁，總7頁