2003年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.)1.設(shè)集合A={x|x2-1>0}，B={x|log2x>0|}，則A∩B等于（）A.{x|x>1}B.{x|x>0}C.{x|x<-1}D.{x|x>1或x<-1}2.設(shè)y1=40.9，y2=80.48，y3=(12)-1.5，則（）A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3D.y1>y3>y23.“cos2α=-32”是“α=2kπ+5π12，k∈Z”的（）A.必要非充分條件B.充分非必要條件C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件4.已知α，β是平面，m，n是直線．下列命題中不正確的是（）A.若m?//?α，α∩β=n，則m?//?nB.若m?//?n，α∩β=n，且m?α則m?//?αC.若m⊥α，m⊥β，則α?//?βD.若m⊥α，m?β，則α⊥β5.直線l:x-2y+2=0過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B，則該橢圓的離心率為（）A.15B.25C.55D.2556.若z∈C，且|z+2-2i|=1，則|z-2-2i|的最小值是（）A.2B.3C.4D.57.如果圓臺(tái)的母線與底面成60°角，那么這個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積與軸截面面積的比為（）A.2πB.32πC.233πD.12π8.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3-n+(-1)n3-n2，n=1，2，…，則limn→∞(a1+a2+…+an)等于（）A.124B.18C.16D.129.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植．不同的種植方法共有（）A.24種B.18種C.12種D.6種10.某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人．全班k名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán)，他們的編號(hào)分別為1，2，…，k，規(guī)定：同意按“1”，不同意（含棄權(quán)）按“0”，令aij=1，第i號(hào)同學(xué)同意第j號(hào)同學(xué)當(dāng)選.0，第i號(hào)同學(xué)不同意第j號(hào)同學(xué)當(dāng)選.試卷第5頁(yè)，總6頁(yè) 其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，則同時(shí)同意第1，2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為（）A.a11+a12+...+a1k+a21+a22+...+a2kB.a11+a21+...+ak1+a12+a22+...+ak2C.a11a12+a21a22+...+ak1ak2D.a11a21+a12a22+...+a1ka2k二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.)11.已知某球體的體積與其表面積的數(shù)值相等，則此球體的半徑為_(kāi)_______．12.函數(shù)f(x)=lg(1+x2)，g(x)=2-|x|，h(x)=tan2x中，________是偶函數(shù)．13.以雙曲線x216-y29=1右頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的方程是________．14.將長(zhǎng)度為1的鐵絲分成兩段，分別圍成一個(gè)正方形和一個(gè)圓形，要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長(zhǎng)應(yīng)為_(kāi)_______．三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.)15.已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x．（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的最大值、最小值．16.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令bn=an3n(x∈R)．求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和的公式．17.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AB=a．（1）求證：直線A1D⊥B1C1；（2）求點(diǎn)D到平面ACC1的距離；（3）判斷A1B與平面ADC1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．18.如圖，A1，A為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．（1）寫(xiě)出橢圓的方程及準(zhǔn)線方程；試卷第5頁(yè)，總6頁(yè) （2）過(guò)線段OA上異于O，A的任一點(diǎn)K作OA的垂線，交橢圓于P，P1兩點(diǎn)，直線A1P與AP1交于點(diǎn)M．求證：點(diǎn)M在雙曲線x225-y29=1上．19.有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點(diǎn)處，且AB=AC=13km，BC=10km．今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處，（建立坐標(biāo)系如圖）（1）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？（2）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？20.設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,?1]上的函數(shù)，且滿(mǎn)足條件：（1）f(-1)=f(1)=0；（2）對(duì)任意的u，v∈[-1,?1]，都有|f(u)-f(V)|≤|u-v|．(I)證明：對(duì)任意的x∈[-1,?1]，都有x-1≤f(x)≤1-x；(II)判斷函數(shù)g(x)=1+x,x∈[-1,0)1-x,x∈[0,1]是否滿(mǎn)足題設(shè)條件；（3）在區(qū)間[-1,?1]上是否存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的函數(shù)y=f(x)，且使得對(duì)任意的u，v∈[-1,?1]，都有|f(u)-f(V)|=u-v．若存在，請(qǐng)舉一例：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．試卷第5頁(yè)，總6頁(yè) 參考答案與試題解析2003年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.A2.D3.A4.A5.D6.B7.C8.B9.B10.C二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.11.312.f(x)，g(x)13.y2=-36(x-4)14.4π+4三、解答題：本大題共6小題，共84分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.解：（1）因?yàn)閒(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+π4)∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．（2）由（1）知，f(x)=2cos(2x+π4)，當(dāng)2x+π4=2kπ(k∈z)時(shí)，cos(2x+π4)=1，f(x)取到最大值為2，當(dāng)2x+π4=π+2kπ(k∈z)時(shí)，cos(2x+π4)=-1，f(x)取到最小值為-2．16.解：（1）設(shè)數(shù)列{an}公差為d，則?a1+a2+a3=3a1+3d=12，又a1=2，d=2．所以an=2n．（2）由bn=an3n=2n3n，得????Sn=2?3+4?32+…(2n-2)3n-1+2n?3n，①3Sn=2?32+4?33+...+(2n-2)?3n+2n?3n+1．②將①式減去②式，得-2Sn=2(3+32+...+3n)-2n?3n+1=-3(3n-1)-2n?3n+1．所以Sn=3(1-3n)2+n?3n+1．17.直線A1B?//?平面ADC1，證明如下：連接A1C交AC1于F，則F為A1C的中點(diǎn)，∵D是BC的中點(diǎn)，∴DF?//?A1B，又DF?平面ADC1，A1B?平面ADC1，∴A1B?//?平面ADC1．試卷第5頁(yè)，總6頁(yè) 18.（1）解：由圖可知，a=5，c=4，∴b=a2-c2=3．該橢圓的方程為x225+y29=1，準(zhǔn)線方程為x=±254．（2）證明：設(shè)K點(diǎn)坐標(biāo)(x0,?0)，點(diǎn)P、P1的坐標(biāo)分別記為(x0,?y0)，(x0,?-y0)，其中05=OC，∠ACB=π4，如圖(b)．所以△ABC的外心M在線段AO上，其坐標(biāo)為(0,11924)，且AM=BM=CM．當(dāng)P在射線MA上，記P為P1；當(dāng)P在射線MA的反向延長(zhǎng)線上，記P為P2，這時(shí)P到A、B、C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以點(diǎn)P與外心M重合時(shí)，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最?。穑狐c(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,11924)；20.（1）證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)x∈[-1,?1]時(shí)，有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x，即x-1≤f(x)≤1-x．（2）解：函數(shù)g(x)滿(mǎn)足題設(shè)條件．驗(yàn)證如下：g(-1)=0=g(1)．對(duì)任意的u，v∈[-1,?1]，當(dāng)u，v∈[0,?1]時(shí)，有|g(u)-g(V)|=|(1-u)-(1-v)|=|u-v|；當(dāng)u，v∈[-1,?0]時(shí)，同理有|g(u)-g(V)|=|u-v|；當(dāng)u?v<0，不妨設(shè)u∈[-1,?0),?v∈(0,?1]，有|g(u)-g(V)|=|(1+u)-(1-v)|=|u+v|≤|v-u|．所以，函數(shù)g(x)滿(mǎn)足題設(shè)條件．（3）解：這樣滿(mǎn)足的函數(shù)不存在．理由如下：假設(shè)存在函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件，則由f(-1)=f(1)=0，得|f(1)-f(-1)|=0，①由于對(duì)任意的u，v∈[-1,?1]，都有|f(u)-f(V)|=|u-v|．所以，|f(1)-f(-1)|=|1-(-1)|=2．②①與②矛盾，因此假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在．試卷第5頁(yè)，總6頁(yè)