2004年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分）)1.已知全集，???，???，那么?A.???B.????C.????.D???2.滿(mǎn)足條件?數(shù)復(fù)的??????在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是?A.一條直線(xiàn)B.兩條直線(xiàn)C.圓D.橢圓3.設(shè)、是兩條不同的直線(xiàn)，、、是三個(gè)不同的平面．給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是（）①若，，則②若，，，則③若，，則④若，，則A.①②B.②③C.③④D.①④4.如圖，在正方體?????????中，是側(cè)面????內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若到直線(xiàn)?與直線(xiàn)???的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所在的曲線(xiàn)是（）A.直線(xiàn)B.圓C.雙曲線(xiàn)D.拋物線(xiàn)5.函數(shù)???????在區(qū)間?間上存在反函數(shù)的充分必要條件是（）A.??間?B.間C.?間D.??間?間6.已知，且，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是（）A.B.???.D.C?7.從長(zhǎng)度分別為?、、?、?的四條線(xiàn)段中，任取三條的不同取法共有種．在這些取法中，以取出的三條線(xiàn)段為邊可組成的三角形的個(gè)數(shù)為，則等于（）???A.B.C.D.????8.函數(shù)??其中、為實(shí)數(shù)集的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定???????，?間??????間?．給出下列四個(gè)判斷，其中正確判斷有（）①若，則??；②若，則??；試卷第1頁(yè)，總7頁(yè) ③若R，則??R；④若R，則??R．A.?個(gè)B.個(gè)C.?個(gè)D.?個(gè)二、填空題（共6小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分）)9.函數(shù)??＝cos???sin?cos?的最小正周期是________．10.學(xué)?；@球隊(duì)五名隊(duì)員的年齡分別為?，??，?，??，??，其方差為財(cái)?，則三年后這五名隊(duì)員年齡的方差為_(kāi)_______．11.某地球儀上北緯?緯線(xiàn)的長(zhǎng)度為?，該地球儀的半徑是________，表面積是________．?cos12.曲線(xiàn)（為參數(shù)）的普通方程是________，如果曲線(xiàn)與直線(xiàn)???sin??有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是________．13.在函數(shù)????中，若，，成等比數(shù)列且???，則??有最________值（填“大”或“小”），且該值為_(kāi)_______．14.定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列是等和數(shù)列，且?，公和為，那么??的值為_(kāi)_______，這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和的計(jì)算公式為_(kāi)_______．三、解答題（共6小題，滿(mǎn)分80分）)15.在?中，sincos，，??，求tan的值和?的面積．16.如圖，在正三棱柱??????中，??，??，為?的中點(diǎn)，是?上一點(diǎn)，且由沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱?到的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為，設(shè)這條最短路線(xiàn)與?的交點(diǎn)為，求：（1）該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)（2）和的長(zhǎng)（3）平面與平面?所成二面角（銳角）的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）17.如圖，過(guò)拋物線(xiàn)???間??點(diǎn)定一上???，作兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于???間?間???，??（1）求該拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離試卷第2頁(yè)，總7頁(yè) ???（2）當(dāng)與?的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線(xiàn)?的斜率?是非零常數(shù)．?18.函數(shù)??是定義在間?上的增函數(shù)，滿(mǎn)足???且???，在每個(gè)區(qū)間???，???間…上，???的圖象都是斜率為同一常數(shù)的直線(xiàn)的一部分．???????（1）求?及?，?的值，并歸納出????間間的表達(dá)式????（2）設(shè)直線(xiàn)?，?，?軸及???的圖象圍成的矩形的面積為????lim????間…，記???，求?的表達(dá)式，并寫(xiě)出其定義域和最小值．19.某段城鐵線(xiàn)路上依次有、?、三站，?，??，在列車(chē)運(yùn)行時(shí)刻表上，規(guī)定列車(chē)?時(shí)整從站發(fā)車(chē)，?時(shí)分到達(dá)?站并停車(chē)?分鐘，?時(shí)?分到達(dá)站，在實(shí)際運(yùn)行中，假設(shè)列車(chē)從站正點(diǎn)發(fā)車(chē)，在?站停留?分鐘，并在行駛時(shí)以同一速度勻速行駛，列車(chē)從站到達(dá)某站的時(shí)間與時(shí)刻表上相應(yīng)時(shí)間之差的絕對(duì)值稱(chēng)為列車(chē)在該站的運(yùn)行誤差．（1）分別寫(xiě)出列車(chē)在?、兩站的運(yùn)行誤差（2）若要求列車(chē)在?，兩站的運(yùn)行誤差之和不超過(guò)分鐘，求的取值范圍．20.給定有限個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足條件：每個(gè)數(shù)都不大于且總和?．現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于?且分組的步驟是：首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得?與這組數(shù)之和的差?與所有可能的其他選擇相比是最小的，?稱(chēng)為第一組余差；然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時(shí)的余差為；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為?）、第四組（余差為?）、…，直至第組（余差為）把這些數(shù)全部分完為止．（1）判斷?，，…，的大小關(guān)系，并指出除第組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)構(gòu)成第?組后，指出余下的每個(gè)數(shù)與的大小關(guān)系，并證明????；??（3）對(duì)任何滿(mǎn)足條件的有限個(gè)正數(shù)，證明：??．試卷第3頁(yè)，總7頁(yè) 參考答案與試題解析2004年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分）1.D2.C3.A4.D5.D6.C7.B8.B二、填空題（共6小題，每小題5分，滿(mǎn)分30分）9.10.財(cái)?11.??,?12.?????,???13.大,???14.?,當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，?三、解答題（共6小題，滿(mǎn)分80分）15.解：??∵sincossin??，?∴sin??．又??，∴??，?．??∴tantan?????．????由??得：sinsin?sin??sin?coscos?sin．????∴??sin??．??16.解：（1）正三棱柱??????的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為?的矩形，其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為?（2）如圖?，將側(cè)面??繞棱旋轉(zhuǎn)?使其與側(cè)面在同一平面上，?????點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)?的位置，連接?，則?就是由點(diǎn)沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱?到點(diǎn)的最短路線(xiàn)試卷第4頁(yè)，總7頁(yè) 設(shè)?，則?，在中，由勾股定理得?????求得?∴??∵??∴（3）如圖，連接?，則?就是平面與平面?的交線(xiàn)，作?于，又?平面?，連接，由三垂線(xiàn)定理得，?∴就是平面與平面?所成二面角的平面角（銳角）?在中，∵?，∴???在中，tan??故平面與平面?所成二面角（銳角）的大小為arctan17.解：（1）當(dāng)?時(shí)，??又拋物線(xiàn)??為程方線(xiàn)準(zhǔn)的??由拋物線(xiàn)定義得，所求距離為?????（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)?的斜率為?由?，?????相減得??????????????????故???????????試卷第5頁(yè)，總7頁(yè) 同理可得??????由，?傾斜角互補(bǔ)知??即??????所以????????故??設(shè)直線(xiàn)?的斜率為?由?，?????相減得??????????????????所以????????????將??得入代???????，所以?是非零常數(shù)????18.解：（1）由??，得?，????由???及???，得???，????同理，??，????歸納得????間間，??????????（2）當(dāng)????????????????????????時(shí)??????????????間間，?????????????所以是首項(xiàng)為???，公比為的等比數(shù)列，???lim????所以????????的定義域?yàn)?，??????當(dāng)?時(shí)取得最小值．19.解：（1）由題意可知：列車(chē)在?，兩站的運(yùn)行誤差（單位：分鐘）分別是????和??????（2）由于列車(chē)在?，兩站的運(yùn)行誤差之和不超過(guò)分鐘，所以??????????當(dāng)時(shí)，??式變形為?????解得???????當(dāng)時(shí)，??式變形為?????????解得??試卷第6頁(yè)，總7頁(yè) ?????當(dāng)時(shí)，??式變形為?????????解得????綜上所述，的取值范圍是?間??20.解：（1）?．除第組外的每組至少含有?個(gè)數(shù)（2）當(dāng)?shù)诮M形成后，因?yàn)?，所以還有數(shù)沒(méi)分完，這時(shí)余下的每個(gè)數(shù)必大于余差，余下數(shù)之和也大于第組的余差，即???????????由此可得???????因?yàn)????????，所以????（3）用反證法證明結(jié)論，假設(shè)??，即第??組形成后，還有數(shù)沒(méi)分完，由（1）和（2）可知，余下的每個(gè)數(shù)都大于第??組的余差??，且????????故余下的每個(gè)數(shù)????財(cái)???因?yàn)榈??組數(shù)中至少含有?個(gè)數(shù)，所以第??組數(shù)之和大于?財(cái)???財(cái)此時(shí)第??組的余差????第??組數(shù)之和????財(cái)?財(cái)這與??式中???財(cái)矛盾，所以??．試卷第7頁(yè)，總7頁(yè)