2007年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.已知costan，那么角是A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角2.函數(shù)的反函數(shù)的定義域為（）A.?B.晦?C.?晦D(zhuǎn).?3.平面平面的一個充分條件是（）A.存在一條直線，，B.存在一條直線，，C.存在兩條平行直線，，，，，D.存在兩條異面直線，，，，，4.已知是??所在平面內(nèi)一點，為??邊中點，且??，那么()A.B.C.D.5.記者要為名志愿者和他們幫助的位老人拍照，要求排成一排，位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有A.晦種B.晦種C.種D.種???6.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則的取值范圍是（）??A.B.晦C.晦或D.晦7.如果正數(shù)，，，滿足，那么（）A.且等號成立時，，，的取值唯一B.且等號成立時，，，的取值唯一C.且等號成立時，，，的取值不唯一D.且等號成立時，，，的取值不唯一8.對于函數(shù)①lg???晦，②?，③cos，判斷如下三個命題的真假：命題甲：是偶函數(shù)；命題乙：在??上是減函數(shù)，在?上是增函數(shù)；命題丙：?在??上是增函數(shù)．能使命題甲、乙、丙均為真的所有函數(shù)的序號是（）A.①③B.①②C.③D.②試卷第1頁，總9頁,二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）)9.________．晦10.若數(shù)列的前項和?晦晦??,…，則此數(shù)列的通項公式為________；數(shù)列中數(shù)值最小的項是第________項．晦11.在??中，若tan，?晦，??，則?________．12.已知集合????晦，???．若?，則實數(shù)的取值范圍是________．13.年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為晦，大正方形的面積為，直角三角形中較小的銳角為，那么cos的值等于________．14.已知函數(shù)，分別由下表給出晦晦晦晦晦則晦的值為________；滿足?的的值是________．三、解答題（共6小題，滿分80分）)15.數(shù)列中，晦，晦（是常數(shù)，晦，，，…），且晦，，成公比不為晦的等比數(shù)列．（1）求的值；（2）求的通項公式．16.如圖，在?中，?，斜邊?．?可以通過?晦以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角????是直二面角．動點在斜邊?上．試卷第2頁，總9頁,（1）求證：平面?平面?；（2）當為?的中點時，求異面直線與?所成角的余弦值大?。唬?）求?與平面?所成角最大時的正切值大?。?7.如圖，矩形??的兩條對角線相交于點?，?邊所在直線的方程為???晦點?晦?晦在邊所在直線上．（1）求邊所在直線的方程；（2）求矩形??外接圓的方程；（3）若動圓過點??，且與矩形??的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程．18.某中學(xué)號召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）．該校合唱團共有晦名學(xué)生，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示．（1）求合唱團學(xué)生參加活動的人均次數(shù)；（2）從合唱團中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率．（3）從合唱團中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．19.如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底?是半橢圓的短軸，上底?的端點在橢圓上，記?，梯形面積為．（1）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（2）求面積的最大值．20.已知集合＝晦???，其中＝晦?,…,，由中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：＝????，＝?????．其中?是有序數(shù)對，集合和中的元素個數(shù)分別為和．若對于任意的，總有?，則稱集合具有性質(zhì)．試卷第3頁，總9頁,Ⅰ檢驗集合?晦??與?晦??是否具有性質(zhì)并對其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和；?晦Ⅱ?qū)θ魏尉哂行再|(zhì)的集合，證明：；Ⅲ判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．試卷第4頁，總9頁,參考答案與試題解析2007年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.C2.B3.證明：對于A，一條直線與兩個平面都平行，兩個平面不一定平行故A不對對于B，一個平面中的一條直線平行于另一個平面，兩個平面不一定平行，故B不對對于C，兩個平面中的兩條直線平行，不能保證兩個平面平行，故C不對對于D，兩個平面中的兩條互相異面的直線分別平行于另一個平面，可以保證兩個平面平行，故D正確4.A5.B6.C7.A8.D二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.?10.?晦晦,11.晦12.?13.14.晦,三、解答題（共6小題，滿分80分）15.解：（1）晦，，，因為晦，，成等比數(shù)列，所以，解得或．當時，晦，不符合題意舍去，故．（2）當時，由于?晦，?，??晦?晦，?晦所以?晦晦?晦．又，，故?晦??,．晦當晦時，上式也成立，所以?晦?,16.解：（1）由題意，?，?，∴??是二面角????是直二面角，又∵二面角????是直二面角，∴??，又∵?，試卷第5頁，總9頁,∴?平面?，又?平面?，∴平面?平面?．（2）解法一：作?，垂足為，連接?（如圖），則，∴?是異面直線與?所成的角．晦在?中，??，?晦，∴??．晦又．∴??晦∴在?中，cos?．?晦∴異面直線與?所成角的余弦值大小為．解法二：建立空間直角坐標系??，如圖，則??，??，???，?晦?，∴??，???晦?，晦晦∴cos，???????．晦∴異面直線與?所成角的余弦值為．（3）由（1）知，?平面?，∴?是?與平面?所成的角，試卷第6頁，總9頁,?且tan?．當最小時，?最大，這時，?，垂足為，?，tan?，?∴?與平面?所成角的最大時的正切值為．17.解：（1）因為?邊所在直線的方程為???晦，且與?垂直，所以直線的斜率為?又因為點?晦?晦在直線上，所以邊所在直線的方程為??晦?晦．?．???晦（2）由解得點的坐標為??，?因為矩形??兩條對角線的交點為?．所以為矩形??外接圓的圓心．又???．從而矩形??外接圓的方程為??．（3）因為動圓過點，所以??是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，所以????，即?????．故點的軌跡是以，為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．因為實半軸長，半焦距．所以虛半軸長?．?從而動圓的圓心的軌跡方程為?晦?．18.該合唱團學(xué)生參加活動的人均次數(shù)為晦晦．晦晦從合唱團中任選兩名學(xué)生，他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率為晦晦．晦從合唱團中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加晦次活動，另一人參加次活動”為事件，“這兩人中一人參加次活動，另一人參加次活動”為事件?，“這兩人中一人參加晦次活動，另一人參加次活動”為事件?．易知?晦晦?晦?晦?晦＝晦＝?；??晦晦?晦晦?晦＝＝?；?晦的分布列：晦的數(shù)學(xué)期望：＝晦．19.解：（1）依題意，以?的中點為原點建立直角坐標系??（如圖），則點?的橫坐標為，試卷第7頁，總9頁,?點?的縱坐標?滿足方程晦?，解得??晦??，其定義域為?．（2）記?，，則??．晦令?，得．因為當時，??；當時，晦?，所以是的最大值．晦晦因此，當時，也取得最大值，最大值為．即梯形面積的最大值為．20.（I）集合?晦??不具有性質(zhì)．集合?晦??具有性質(zhì)，其相應(yīng)的集合和是＝?晦????晦，＝??晦??．??證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對?共有個．因為，所以?＝晦??；又因為當時，?時，?，所以當?時，??＝晦??．晦?晦從而，集合中元素的個數(shù)最多為?，?晦即．???＝，證明如下：（1）對于?，根據(jù)定義，，，且，從而?．如果?與?是的不同元素，那么＝與＝中至少有一個不成立，從而＝與＝中也至少有一個不成立．故?與?也是的不同元素．可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，（2）對于?，根據(jù)定義，，，且?，從而??．如果?與?是的不同元素，試卷第8頁，總9頁,那么＝與＝中至少有一個不成立，從而?＝?與＝中也至少有一個不成立，故??與??也是的不同元素．可見，中元素的個數(shù)不多于中元素的個數(shù)，即，由（1）（2）可知，＝．試卷第9頁，總9頁