2008年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.若集合A＝{x|-2≤x≤3}，B＝{x|x<-1或x>4}，則集合A∩B等于（）A.{x|x≤3或x>4}B.{x|-1b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a3.“雙曲線的方程為x29-y216=1”是“雙曲線的準(zhǔn)線方程為x=±95”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.已知△ABC中，a=2，b=3，B=60°，那么角A等于（）A.135°B.90°C.45°D.30°5.函數(shù)f(x)=(x-1)2+1(x<1)的反函數(shù)為（）A.f-1(x)=1+x-1(x>1)B.f-1(x)=1-x-1(x>1)C.f-1(x)=1+x-1(x≥1)D.f-1(x)=1-x-1(x≥1)6.若實數(shù)x，y滿足x-y+1≥0x+y≥0x≤0?則z＝3x+2y的最小值是（）A.0B.1C.3D.97.已知等差數(shù)列{an}中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，則數(shù)列{bn}的前5項和等于（）A.30B.45C.90D.1868.如圖，動點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上．過點(diǎn)P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M，N．設(shè)BP=x，MN=y，則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是( )A.B.C.D.二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）)9.若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1, -2)，則tan2α的值為________．10.不等式x-1x+2>1的解集是________．試卷第7頁，總8頁, 11.已知向量a→與b→的夾角為120°，且|a→|=|b→|=4，那么a→⋅b→的值為________．12.(x2+1x3)5的展開式中常數(shù)項為________；各項系數(shù)之和為________．（用數(shù)字作答）13.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0, 4)，(2, 0)，(6, 4)，則f（f(0)）=________；lim△x→0f(1+△x)-f(1)△x=________．（用數(shù)字作答）14.已知函數(shù)f(x)=x2-cosx，對于[-π2, π2]上的任意x1，x2，有如下條件：①x1>x2；②x12>x22；③|x1|>x2．其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件序號是________．三、解答題（共7小題，滿分80分）)15.已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)(ω>0)的最小正周期為π．(1)求ω的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, 2π3]上的取值范圍．16.如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（1）求證：PC⊥AB；（2）求二面角B-AP-C的大?。?7.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0)，且g(x)=f(x)-2是奇函數(shù)．(1)求a，c的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．18.甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者．（1）求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率；（2）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率．19.已知△ABC的頂點(diǎn)A，B在橢圓x2+3y2=4上，C在直線l:y=x+2上，且AB // l．（1）當(dāng)AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O時，求AB的長及△ABC的面積；（2）當(dāng)∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．20.數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=(n2+n-λ)an(n=1, 2,…)，λ是常數(shù)．試卷第7頁，總8頁, （1）當(dāng)a2=-1時，求λ及a3的值；（2）數(shù)列{an}是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；（3）求λ的取值范圍，使得存在正整數(shù)m，當(dāng)n>m時總有an<0．試卷第7頁，總8頁, 參考答案與試題解析2008年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.D2.A3.A4.C5.B6.B7.C8.B二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.4310.{x|x<-2}11.-812.10,3213.2,-214.②三、解答題（共7小題，滿分80分）15.解：(1)f(x)=1-cos2ωx2+32sin2ωx=32sin2ωx-12cos2ωx+12=sin(2ωx-π6)+12．∵函數(shù)f(x)的最小正周期為π，且ω>0，∴2π2ω=π，解得ω=1．(2)由(2)得f(x)=sin(2x-π6)+12．∵0≤x≤2π3，∴-π6≤2x-π6≤7π6，∴-12≤sin(2x-π6)≤1．∴0≤sin(2x-π6)+12≤32，即f(x)的取值范圍為[0,32]．16.解：法一：（1）取AB中點(diǎn)D，連接PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．∵AC=BC，∴CD⊥AB．試卷第7頁，總8頁, ∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB．（2）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≅△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．取AP中點(diǎn)E．連接BE，CE．∵AB=BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=32AB=6，∴sin∠BEC=BCBE=63．∴二面角B-AP-C的大小為arcsin63．解法二：（1）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≅△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．∵AC∩BC=C，∴PC⊥平面ABC．∵AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．（2）如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．則C(0, 0, 0)，A(0, 2, 0)，B(2, 0, 0)．設(shè)P(0, 0, t)．∵|PB|=|AB|=22，∴t=2，P(0, 0, 2)．取AP中點(diǎn)E，連接BE，CE．∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，∴CE⊥AP，BE⊥AP．∴∠BEC是二面角B-AP-C試卷第7頁，總8頁, 的平面角．∵E(0, 1, 1)，EC→=(0, -1, -1)，EB→=(2, -1, -1)，∴cos∠BEC=|EC→|⋅|EB→|˙=22⋅6=33．∴二面角B-AP-C的大小為arccos33．17.解：(1)因為函數(shù)g(x)=f(x)-2為奇函數(shù)，所以，對任意的x∈R，都有g(shù)(-x)=-g(x)，即f(-x)-2=-f(x)+2．又f(x)=x3+ax2+3bx+c所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2．所以a=-ac-2=-c+2解得a=0，c=2．(2)由(1)得f(x)=x3+3bx+2．所以f'(x)=3x2+3b(b≠0)．當(dāng)b<0時，由f'(x)=0得x=±-b．x變化時，f'(x)的變化情況如下：當(dāng)x∈(-∞,--b)時，f'(x)>0，當(dāng)x∈(--b，-b)時，f'(x)<0，當(dāng)x∈(-b，+∞)時，f'(x)>0，所以，當(dāng)b<0時，函數(shù)f(x)在(-∞,--b)上單調(diào)遞增，在(--b，-b)上單調(diào)遞減，在(-b，+∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)b>0時，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(-∞, +∞)上單調(diào)遞增．18.解：（1）由題意知本題是一個古典概型，記甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)為事件EA，∵試驗包含的所有事件是5個人分到4個崗位，每個崗位至少有一名志愿者共有C52A44種結(jié)果，試卷第7頁，總8頁, 滿足條件的事件數(shù)A33∴P(EA)=A33C52A44=140，（2）由題意知本題是一個古典概型，設(shè)甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)為事件E，∵試驗包含的所有事件是5個人分到4個崗位，每個崗位至少有一名志愿者共有C52A44種結(jié)果，不滿足條件的事件數(shù)A44∴P(E)=A44C52A44=110，∴由對立事件的概率公式得到甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P(E)=1-P(E)=910．19.解：（1）因為AB // l，且AB邊通過點(diǎn)(0, 0)，所以AB所在直線的方程為y=x．設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1, y1)，(x2, y2)．由x2+3y2=4y=x得x=±1．所以|AB|=2|x1-x2|=22．又因為AB邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線l的距離．所以h=2，S△ABC=12|AB|⋅h=2．（2）設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m，由x2+3y2=4y=x+m得4x2+6mx+3m2-4=0．因為A，B在橢圓上，所以△=-12m2+64>0．設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1, y1)，(x2, y2)，則x1+x2=-3m2，x1x2=3m2-44，所以|AB|=2|x1-x2|=32-6m22．又因為BC的長等于點(diǎn)(0, m)到直線l的距離，即|BC|=|2-m|2．所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11．所以當(dāng)m=-1時，AC邊最長，（這時△=-12+64>0）此時AB所在直線的方程為y=x-1．20.解：（1）由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1, 2,)，且a1=1．所以當(dāng)a2=-1時，得-1=2-λ，故λ=3．從而a3=(22+2-3)×(-1)=-3．（2）數(shù)列{an}不可能為等差數(shù)列，證明如下：由a1=1，an+1=(n2+n-λ)an得a2=2-λ，a3=(6-λ)(2-λ)，a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ)．若存在λ，使{an}為等差數(shù)列，則a3-a2=a2-a1，即(5-λ)(2-λ)=1-λ，解得λ=3．于是a2-a1=1-λ=-2，a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24．這與{an}為等差數(shù)列矛盾．所以，對任意λ，{an}都不可能是等差數(shù)列．（3）記bn=n2+n-λ(n=1, 2,)，根據(jù)題意可知，b1<0且bn≠0，即λ>2且λ≠n2+n(n∈N*)，這時總存在n0∈N*，滿足：當(dāng)n≥n0時，bn>0；當(dāng)n≤n0-1時，bn<0．所以由an+1=bnan及a1=1>0可知，若n0為偶數(shù)，則an0<0，從而當(dāng)n>n0時，an<0；若n0為奇數(shù)，則an0>0，從而當(dāng)n>n0時an>0．因此“存在m∈N*試卷第7頁，總8頁, ，當(dāng)n>m時總有an<0”的充分必要條件是：n0為偶數(shù)，記n0=2k(k=1, 2,)，則λ滿足b2k=(2k)2+2k-λ>0b2k-1=(2k-1)2+2k-1-λ<0．故λ的取值范圍是4k2-2k<λ<4k2+2k(k∈N*)．試卷第7頁，總8頁
