2009年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.在復平面內(nèi)，復數(shù)＝??對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.已知向量?量，?量，??，，如果，那么（）A.且與同向B.且與反向C.且與同向D.且與反向??3.為了得到函數(shù)lg的圖象，只需把函數(shù)lg的圖象上所有的點（）A.向左平移?個單位長度，再向上平移個單位長度B.向右平移?個單位長度，再向上平移個單位長度C.向左平移?個單位長度，再向下平移個單位長度D.向右平移?個單位長度，再向下平移個單位長度4.若正四棱柱????的底面邊長為，?與底面??成角，則到底面??的距離為（）?A.B.C.D.??5.“??”是“cos”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件6.若???（，為有理數(shù)），則??A.B.C.D.7.用到這個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）A.?B.?C.?D.8.點在直線?上，若存在過的直線交拋物線于，?兩點，且?，則稱點為“點”，那么下列結(jié)論中正確的是()A.直線上的所有點都是“點”B.直線上僅有有限個點是“點”C.直線上的所有點都不是“點”D.直線上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點”試卷第1頁，總8頁 二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）)lim9.________．?10.若實數(shù)，滿足則的最小值為________．11.設?是偶函數(shù)，若曲線?在點（量?）處的切線的斜率為，則該曲線在（量?）處的切線的斜率為________．12.橢圓?的焦點為、，點在橢圓上，若，則________，的大小為________．晦13.若函數(shù)?則不等式?的解集為________．???14.滿足：，，，則________；?________．三、解答題（共6小題，滿分80分）)15.在?中，角，?，的對邊分別為量量量?，cos，?．?（1）求sin的值；（2）求?的面積．16.如圖，在三棱錐?中，底面?，?，?，?，點?、分別在棱?、上，且??．（1）求證：?平面；（2）當?為?的中點時，求?與平面所成的角的正弦值；（3）是否存在點使得二面角?為直二面角？并說明理由．17.某學生在上學路上要經(jīng)過個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是min．?（1）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；（2）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望．試卷第2頁，總8頁 18.設函數(shù)??．（1）求曲線?在點（量?）處的切線方程；（2）求函數(shù)?的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)?在區(qū)間?量內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍．?19.已知雙曲線??量的離心率為?，右準線方程為?（1）求雙曲線的方程；（2）設直線是圓??上動點?量?處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，?，證明?的大小為定值．20.已知數(shù)集量量量?晦晦量具有性質(zhì)；對任意的，?，與兩數(shù)中至少有一個屬于．（1）分別判斷數(shù)集量?量與量量?量是否具有性質(zhì)，并說明理由；???（2）證明：，且???；（3）證明：當時，，，?，，成等比數(shù)列．試卷第3頁，總8頁 參考答案與試題解析2009年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.B2.D3.C4.D5.A6.C7.B8.A二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.10.11.12.,13.?量14.,三、解答題（共6小題，滿分80分）15.解：（1）∵、?、為?的內(nèi)角，且?，cos，?∴為銳角，?則sincos∴?????∴sinsin?cos?sin；?????（2）由（1）知sin，sin，又∵?，?，?∴在?中，由正弦定理，得sin∴，sin???????∴?的面積sin?．16.（1）證明：∵底面?，∴?．試卷第4頁，總8頁 又?，∴?，∴?平面．（2）解：∵?為?的中點，??，∴??．又由（1）知，?平面，∴?平面，垂足為點，∴?是?與平面所成的角．∵底面?，∴?．又?，∴?為等腰直角三角形，∴??．在?中，?，∴??，??∴在?中，sin?，??即?與平面所成角的正弦值為．（3）解：∵??，又由（1）知，?平面，∴?平面．又∵平面，平面?，∴?，?，∴為二面角?的平面角．∵底面?，∴，∴，∴在棱上存在一點，使得．這時，，故存在點使得二面角?是直二面角．17.解：（1）設這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件，∵事件等于事件“這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，∴事件的概率為??????（2）由題意可得可能取的值為，，，，（單位：min）事件“”等價于事件“該學生在路上遇到次紅燈”?量量量?量，???量量量?量，∴???∴即的分布列是試卷第5頁，總8頁 ??∴的期望是?????18.解：（1）????，??，?，曲線?在點（量?）處的切線方程為；（2）由????，得?，若，則當?量時，??晦，函數(shù)?單調(diào)遞減，當（量?,）時，??，函數(shù)?單調(diào)遞增，若晦，則當?量時，??，函數(shù)?單調(diào)遞增，當（量?,）時，??晦，函數(shù)?單調(diào)遞減；（3）由（2）知，若，則當且僅當，即時，函數(shù)??量內(nèi)單調(diào)遞增，若晦，則當且僅當，即時，函數(shù)??量內(nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)??量內(nèi)單調(diào)遞增時，的取值范圍是量?量．?19.解：（1）由題意，?，?解得，?，，∴所求雙曲的方程．（2）設??量??在?上，?圓在點??量處的切線方程為??，化簡得??．以及??得????????，∵切與雙曲線交于不同的兩點、?，且晦?晦，??，且??????，設、?兩點的坐標分別?量，?量，試卷第6頁，總8頁 ?????，??．∵cos??，且????????????????????????????．????∴?的大小為．20.解：（1）由于?與均不屬于數(shù)集，?，，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)．?由于，?，，?，，，，，，都屬于數(shù)集，，?，，??∴該數(shù)集具有性質(zhì)．（2）∵量量量具有性質(zhì)，∴與中至少有一個屬于，由于晦晦晦，∴故．從而，．∵晦晦，，∴?量?量,…,，故?量?量,…,．由具有性質(zhì)可知?量?量,…,．又∵晦晦晦晦，∴，，…，，從而???????，???∴且???；（3）由（2）知，當時，有，?，即?，?∵晦晦晦，∴?，∴?，由具有性質(zhì)可知．??由?，得，???且晦，∴，?試卷第7頁，總8頁 ?∴，?即，，?，，是首項為，公比為等比數(shù)列．試卷第8頁，總8頁