2009年北京市高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.設(shè)集合A={x|-120，則cosθ=________．10.若數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=2an(n∈N*)，則a5=________；前8項的和S8=________．（用數(shù)字作答）11.若實數(shù)x，y滿足x+y-2≥0，x≤4，y≤5，則s=x+y的最大值為________．12.已知函數(shù)f(x)=3xx≤1-xx>1?若f(x)=2，則x=________．13.橢圓x29+y22=1的焦點為F1、F2，點P在橢圓上，若|PF1|=4，則|PF2|=________，∠F1PF2的大小為________．14.設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k-1∉A且k+1∉A，那么稱k是A的一個“孤立元”，給定S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________個．三、解答題（共6小題，滿分80分）)15.已知函數(shù)f(x)=2sin(π-x)cosx．求：(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)在區(qū)間[-π6,π2]上的最大值和最小值．16.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；（2）當PD=2AB，且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大?。?7.某學生在上學路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是13，遇到紅燈時停留的時間都是2min．（1）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；（2）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間ξ的分布列及期望．18.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a≠0)．(1)若曲線y=f(x)在點（2, f(2)）處與直線y=8相切，求a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點．試卷第5頁，總6頁, 19.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的離心率為3，右準線方程為x=33．（1）求雙曲線C的方程；（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x2+y2=5上，求m的值．20.設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an＝pn+q(n∈N*, P>0)．數(shù)列{bn}定義如下：對于正整數(shù)m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．(Ⅰ)若p=12,q=-13，求b3；(Ⅱ)若p＝2，q＝-1，求數(shù)列{bm}的前2m項和公式；(Ⅲ)是否存在p和q，使得bm＝3m+2(m∈N*)？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由．試卷第5頁，總6頁, 參考答案與試題解析2009年北京市高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.A2.D3.B4.C5.C6.A7.D8.D二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.-3510.16,25511.912.log3213.2,120°14.6三、解答題（共6小題，滿分80分）15.解：(1)∵f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x，∴函數(shù)f(x)的最小正周期為T=2π2=π．(2)∵-π6≤x≤π2，∴-π3≤2x≤π，∴-32≤sin2x≤1，∴f(x)在區(qū)間[-π6,π2]上的最大值為1，最小值為-32．16.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．設(shè)AC∩BD＝O，連接OE，由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，∴O，E分別為DB、PB的中點，∴OE // PD，OE=12PD，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，OE=12PD=22AB=AO，∴∠AEO＝45°試卷第5頁，總6頁, ，即AE與平面PDB所成的角的大小為45°．17.解：（1）設(shè)這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件A，∵事件A等于事件“這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，∴事件A的概率為P(A)=(1-13)×(1-13)×13=427（2）由題意可得ξ可能取的值為0，2，4，6，8（單位：min）事件“ξ=2k”等價于事件“該學生在路上遇到k次紅燈”(k=0, 1, 2, 3, 4)，∴P(ξ=2k)=C4k(13)k(23)4-k(k=0,1,2,3,4)，∴即ξ的分布列是 ξ02468P 16813281827881181∴ξ的期望是Eξ=0×1681+2×3281+4×827+6×881+8×181=8318.解：(1)f'(x)=3x2-3a，∵曲線y=f(x)在點（2, f(2)）處與直線y=8相切，∴f'(2)=0，f(2)=8，⇒3(4-a)=0，8-6a+b=8，⇒a=4，b=24.(2)∵f'(x)=3(x2-a)(a≠0)，當a<0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(-∞, +∞)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f(x)沒有極值點．當a>0時，由f'(x)=0⇒x=±a，當x∈(-∞,-a)時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當x∈(-a，a)時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當x∈(a，+∞)時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，∴此時x=-a是f(x)的極大值點，x=a是f(x)的極小值點．19.解：（1）由題意，得a2c=33ca=3，解得a=1,c=3，∴b2=c2-a2=2，∴所求雙曲線C的方程為x2-y22=1．（2）設(shè)A、B兩點的坐標分別為(x1, y1)，(x2, y2)，線段AB的中點為M(x0, y0)，由x-y+m=0x2-y22=1得x2-2mx-m2-2=0（判別式△>0），∴x0=x1+x22=m，y0=x0+m=2m，∵點M(x0, y0)在圓x2+y2=5上，試卷第5頁，總6頁, ∴m2+(2m)2=5，∴m=±1．20.（1）由題意，得an=12n-13，解12n-13≥3，得n≥203．∴12n-13≥3成立的所有n中的最小正整數(shù)為7，即b3＝7．（2）由題意，得an＝2n-1，對于正整數(shù)m，由an≥m，得n≥m+12．根據(jù)bm的定義可知當m＝2k-1時，bm＝k(k∈N*)；當m＝2k時，bm＝k+1(k∈N*)．∴b1+b2+...+b2m＝(b1+b3+...+b2m-1)+(b2+b4+...+b2m)＝(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m+1)]=m(m+1)2+m(m+3)2=m2+2m．(Ⅲ)假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式pn+q≥m及p>0得n≥m-qp．∵bm＝3m+2(m∈N*)，根據(jù)bm的定義可知，對于任意的正整數(shù)m都有3m+10（或3p-1<0）時，得m<-p+q3p-1（或m≤-2p+q3p-1），這與上述結(jié)論矛盾！當3p-1＝0，即p=13時，得-23-q≤0<-13-q，解得-23≤q<-13．（經(jīng)檢驗符合題意）∴存在p和q，使得bm＝3m+2(m∈N*)；p和q的取值范圍分別是p=13，-23≤q<-13．試卷第5頁，總6頁
