2013年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．)1.已知集合A={-1, 0, 1}，B={x|-1≤x<1}，則A∩B=（）A.{0}B.{-1, 0}C.{0, 1}D.{-1, 0, 1}2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(2-i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.“φ=π”是“曲線y=sin(2x+φ)過坐標(biāo)原點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為(    )A.1B.23C.1321D.6109875.函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度，所得圖象與曲線y=ex關(guān)于y軸對(duì)稱，則f(x)=(   ）A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-16.若雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率為3，則其漸近線方程為（）A.y＝±2xB.y=±2xC.y=±12xD.y=±22x7.直線l過拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于（）A.43B.2C.83D.16238.設(shè)關(guān)于x，y的不等式組2x-y+1>0,x+m<0,y-m>0?表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0, y0)，滿足x0-2y0=2，求得m的取值范圍是（）A.(-∞,43)B.(-∞,13)C.(-∞,-23)D.(-∞,-53)試卷第9頁，總9頁, 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．)9.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2, π6)到直線ρsinθ=2的距離等于________．10.若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20，a3+a5=40，則公比q=________；前n項(xiàng)和Sn=________．11.如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA=3，PD:DB=9:16，則PD=________，AB=________．12.將序號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是________．13.向量a→，b→，c→在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c→=λa→+μb→(λ,μ∈R)，則λμ=________．試卷第9頁，總9頁, 14.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為________．三、解答題共6小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟)15.在△ABC中，a=3，b=26，∠B=2∠A．(1)求cosA的值；(2)求c的值．16.如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）17.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．(1)求證：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值；試卷第9頁，總9頁, (3)證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求BDBC1的值．18.設(shè)l為曲線C:y=lnxx在點(diǎn)(1, 0)處的切線．(1)求l的方程；(2)證明：除切點(diǎn)(1, 0)之外，曲線C在直線l的下方．19.已知A，B，C是橢圓W:x24+y2=1上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．20.已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an+1，an+2?的最小值記為Bn，dn=An-Bn．(1)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3?，是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即對(duì)任意n∈N*，an+4=an），寫出d1，d2，d3，d4的值；(2)設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn=-d(n=1, 2, 3?)的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列；(3)證明：若a1=2，dn=1(n=1, 2, 3,?)，則{an}的項(xiàng)只能是1或者2，且有無窮多項(xiàng)為1．試卷第9頁，總9頁, 參考答案與試題解析2013年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.B2.D3.A4.C5.D6.B7.C8.C二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9.110.2,2n+1-211.95,412.9613.414.255三、解答題共6小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟15.解：(1)根據(jù)題意：利用正弦定理可得asinA=bsinB，即3sinA=26sin2A=262sinAcosA，解得cosA=63．(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc⋅cosA，即9=(26)2+c2-2×26×c×63，即c2-8c+15=0，解方程求得c=5，或 c=3．當(dāng)c=3時(shí)，此時(shí)a=c=3，根據(jù)∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，則△ABC是等腰直角三角形，但此時(shí)不滿足a2+c2=b2，故舍去；當(dāng)c=5時(shí)，求得cosB=a2+c2-b22ac=13，cosA=b2+c2-a22bc=63，∴cos2A=2cos2A-1=13=cosB，∴B=2A，滿足條件．綜上，c=5．16.解：(1)設(shè)“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”為事件A．因?yàn)榇巳穗S機(jī)選擇某一天到達(dá)該城市且停留2天，試卷第9頁，總9頁, 因此他必須在3月1日至13日的某一天到達(dá)該城市，由圖可以看出期間有2天屬于重度污染，故P(A)=213．(2)由題意可知X所有可能取值為0，1，2．由圖可以看出在3月1日至14日屬于優(yōu)良天氣的共有7天．①當(dāng)此人在3月4號(hào)，5號(hào)，8號(hào)，9號(hào)，10號(hào)這5天的某一天到達(dá)該城市時(shí)，停留的2天都不是優(yōu)良天氣，故P(X=0)=513；②當(dāng)此人在3月3號(hào)，6號(hào)，7號(hào)，11號(hào)，這4天的某一天到達(dá)該城市時(shí)，停留的2天中的1天不是優(yōu)良天氣1天是優(yōu)良天氣，故P(X=1)=413；③當(dāng)此人在3月1號(hào)，2號(hào)，12號(hào)，13號(hào)，這4天的某一天到達(dá)該城市時(shí)，停留的2天都是優(yōu)良天氣，故P(X=2)=413．故X的分布列為X012P513 413 413 ∴E(X)=0×513+1×413+2×413=1213．(3)由圖判斷從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)波動(dòng)最大，因此方差最大．17.(1)證明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．(2)解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1(0, 0, 4)，B(0, 3, 0)，B1(0, 3, 4)，C1(4, 0, 4)，∴BC1→=(4,-3,4)，BA1→=(0,-3,4)，BB1→=(0,0,4)．設(shè)平面A1BC1的法向量為n1→=(x1,y1,z1)，平面B1BC1的法向量為試卷第9頁，總9頁, n2→=(x2, y2, z2)．則n1→⋅BC1→=4x1-3y1+4z1=0,n1→⋅BA1→=-3y1+4z1=0,?令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴n1→=(0,4,3)．n2→⋅BC1→=4x2-3y2+4z2=0,n2→⋅BB1→=4z2=0,?令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴n2→=(3,4,0)．cos=n1→⋅n2→|n1→||n2→|=1625⋅25=1625．∴二面角A1-BC1-B1的余弦值為1625．(3)證明：設(shè)點(diǎn)D的豎坐標(biāo)為t，(00)曲線C在直線l的下方，即f(x)=x(x-1)-lnx>0，則f'(x)=2x-1-1x=(2x+1)(x-1)x.∴f(x)在(0, 1)上單調(diào)遞減，在(1, +∞)上單調(diào)遞增，又f(1)=0,∴x∈(0, 1)時(shí)，f(x)>0，即lnxx0，即lnxx1)，得A、C兩點(diǎn)是圓x2+y2=r2與橢圓W：x24+y2=1的公共點(diǎn)，解之得3x24=r2-1.設(shè)A、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1、x2，可得A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x1=x2=±233⋅r2-1，或x1=233⋅r2-1且x2=-233⋅r2-1，①當(dāng)x1=x2=±233⋅r2-1時(shí)，可得若四邊形OABC為菱形，則B點(diǎn)必定是頂點(diǎn)(±2, 0)；②若x1=233⋅r2-1且x2=-233⋅r2-1，則x1+x2=0，可得AC的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)必定是0，因此若A，C均在x軸的上方或下方，可得若四邊形OABC為菱形，則B點(diǎn)必定是頂點(diǎn)(0, ±1)；若A，C分別位于x軸的上下方，則A、O、C共線，可得不存在滿足條件的菱形OABC.綜上所述，可得當(dāng)點(diǎn)B不是W試卷第9頁，總9頁, 的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能為菱形．20.(1)解：若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3?，是一個(gè)周期為4的數(shù)列，∴d1=A1-B1=2-1=1，d2=A2-B2=2-1=1，d3=A3-B3=4-1=3，d4=A4-B4=4-1=3．(2)解：充分性：設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則an=a1+(n-1)d，∴An=an=a1+(n-1)d，Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An-Bn=-d，(n=1, 2, 3, 4?)．必要性：若 dn=An-Bn=-d，(n=1, 2, 3, 4?)．假設(shè)ak是第一個(gè)使ak-ak-1<0的項(xiàng)，則dk=Ak-Bk=ak-1-Bk≥ak-1-ak>0，這與dn=-d≤0相矛盾，故{an}是一個(gè)不減的數(shù)列．∴dn=An-Bn=an-an+1=-d，即 an+1-an=d，故{an}是公差為d的等差數(shù)列．(3)證明：若a1=2，dn=1(n=1, 2, 3,?)，首先，{an}的項(xiàng)不能等于零，否則d1=2-0=2，矛盾．而且還能得到{an}的項(xiàng)不能超過2，用反證法證明如下：假設(shè){an}的項(xiàng)中，有超過2的，設(shè)am是第一個(gè)大于2的項(xiàng)，由于{an}的項(xiàng)中一定有1，否則與d1=1矛盾．當(dāng)n≥m時(shí)，an≥2，否則與dm=1矛盾．因此，存在最大的i在2到m-1之間，使ai=1，此時(shí)，di=Ai-Bi=2-Bi≤2-2=0，矛盾．綜上，{an}的項(xiàng)不能超過2，故{an}的項(xiàng)只能是1或者2．下面用反證法證明{an}的項(xiàng)中，有無窮多項(xiàng)為1．若ak是最后一個(gè)1，則ak是后邊的各項(xiàng)的最小值都等于2，故dk=Ak-Bk=2-2=0，矛盾，故{an}的項(xiàng)中，有無窮多項(xiàng)為1．綜上可得，{an}的項(xiàng)只能是1或者2，且有無窮多項(xiàng)為1．試卷第9頁，總9頁