2014年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）)1.已知集合駐?駐駐，，則?A.B.C.D.2.下列函數(shù)中，在區(qū)間?上為增函數(shù)的是（）A.駐B.?駐C.駐D.logog?駐駐cos，3.（?·北京）曲線（為參數(shù)）的對(duì)稱中心（）sin，A.在直線駐上B.在直線駐上C.在直線駐上D.在直線=駐上4.當(dāng)?，?時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的的值為（）A.?B.?C.D.?5.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“R”是“為遞增數(shù)列”的?A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件駐6.若駐，滿足駐且駐的最小值為?，則的值為（）A.B.C.D.試卷第1頁(yè)，總7頁(yè),7.在空間直角坐標(biāo)系駐中，已知?，?，?，?，若，，?分別表示三棱錐在駐，，駐坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（）A.?B.且?C.?且?D.?且?8.學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”．若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門(mén)成績(jī)高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”．如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，則這一組學(xué)生最多有（）A.人B.?人C.?人D.g人二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）)?9.復(fù)數(shù)?________．?10.已知向量，滿足??，?，且?，則??________．11.設(shè)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)?，且與駐具有相同漸近線，則的方程為?__________；漸近線方程為_(kāi)_______．12.若等差數(shù)列滿足?R，?，則當(dāng)________時(shí)，的前項(xiàng)和最大．13.把g件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰，且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有________種．14.設(shè)函數(shù)?駐sin?駐?，，是常數(shù)，R，R若?駐在區(qū)間上具有單調(diào)性，且???，則?駐的最小正周期為_(kāi)_______．?三、解答題（共6小題，共80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程）)15.如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，且，cos?．??求sin；?求，的長(zhǎng)．16.李明在場(chǎng)籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計(jì)如下（假設(shè)各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立）；試卷第2頁(yè)，總7頁(yè),場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場(chǎng)客場(chǎng)主場(chǎng)g客場(chǎng)?主場(chǎng)?客場(chǎng)??主場(chǎng)??客場(chǎng)?g主場(chǎng)g?客場(chǎng)gg?從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求李明在該場(chǎng)比賽中投籃命中率超過(guò)o的概率；?從上述比賽中隨機(jī)選擇一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)，求李明的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)o，一場(chǎng)不超過(guò)o的概率；??記駐是表中個(gè)命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，記為李明在這場(chǎng)比賽中的命中次數(shù)，比較?與駐的大?。ㄖ恍鑼?xiě)出結(jié)論）.17.如圖，正方形?的邊長(zhǎng)為，，分別為線段?，?的中點(diǎn)，在五棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面與棱，分別交于點(diǎn)，．?求證：；?若底面，且，求直線與平面所成角的大小.18.已知函數(shù)?駐駐cos駐sin駐，駐求證：?駐；sin駐若對(duì)駐?恒成立，求的最大值與的最小值．駐19.已知橢圓駐?.?求橢圓的離心率.?設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，求直線與圓駐的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．20.對(duì)于數(shù)對(duì)序列：?，?，…，?，記?，?max?ooo?，其中max?ooo表示?和ooo兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，（1）對(duì)于數(shù)對(duì)序列：?g，??，求?，?的值；（2）記為，，，四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)?，?組成的數(shù)對(duì)序列：?，?和：?，?，試分別對(duì)和兩種情況比較?和?的大小；（3）在由五個(gè)數(shù)對(duì)?，?g，?，?，??組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)對(duì)序列使g?最小，并寫(xiě)出g?的值（只需寫(xiě)出結(jié)論）．試卷第3頁(yè)，總7頁(yè),參考答案與試題解析2014年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.C2.A3.B4.C5.D6.D7.D8.B二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9.10.g駐11.,駐?12.13.?14.三、解答題（共6小題，共80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程）15.解：?在中，∵cos，?????∴sincos.???則sinsin?sincoscossin?????．????在中，由正弦定理得：??sin??，sin???在中，由余弦定理得：cosgg?，即?．16.解：設(shè)李明在該場(chǎng)比賽中投籃命中率超過(guò)o為事件，由題意知，李明在該場(chǎng)比賽中超過(guò)o的場(chǎng)次有：主場(chǎng)，主場(chǎng)?，主場(chǎng)g，客場(chǎng)，客場(chǎng)?，共計(jì)g場(chǎng)，試卷第4頁(yè)，總7頁(yè),所以李明在該場(chǎng)比賽中投籃命中率超過(guò)o的概率g?.?設(shè)李明的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)o，一場(chǎng)不超過(guò)o的概率為事件，?同理可知，李明主場(chǎng)命中率超過(guò)o的概率，g客場(chǎng)命中率超過(guò)o的概率，g故??????.ggggg??駐??g＝o?，的分布列為：?go?o?ooo?o?o?o?ogoo?駐.17.?證明：在正方形?中，點(diǎn)是線段?的中點(diǎn)，.又∵平面，∴平面.∵平面，且平面平面，∴.?解：∵底面，∴，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系駐，則?，?，?，?，?，?，?，設(shè)平面的法向量為?駐，則駐即令，則，∴?，試卷第5頁(yè)，總7頁(yè),設(shè)直線與平面所成的角為，則sin?cos，R???，????∴直線與平面所成的角為.18.證明：由?駐駐cos駐sin駐得?駐cos駐駐sin駐cos駐駐sin駐，則在區(qū)間?上，?駐駐sin駐，所以?駐在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而?駐?．解：當(dāng)駐R時(shí)，sin駐“R”等價(jià)于“sin駐駐R”，駐sin駐“”等價(jià)于“sin駐駐”，駐令?駐sin駐駐，則?駐cos駐，①當(dāng)時(shí)，?駐R對(duì)駐?上恒成立；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意駐?，?駐cos駐，所以?駐在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，?駐?對(duì)任意駐?恒成立；③當(dāng)時(shí)，存在唯一的駐?，使得?駐cos駐，?駐與?駐在區(qū)間?上的情況如下：駐?駐駐?駐?駐+-0?駐因?yàn)?駐在區(qū)間?駐上是增函數(shù)，所以?駐R?.進(jìn)一步?駐R對(duì)任意駐?恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)?即.綜上所述當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，試卷第6頁(yè)，總7頁(yè),?駐R對(duì)任意駐?恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，?駐對(duì)任意駐?恒成立.sin駐所以若對(duì)駐?上恒成立，駐則的最大值為，的最小值為.駐19.解：?由駐?，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．?∴?，，從而．因此，．故橢圓的離心率；?直線與圓駐相切．證明如下：設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為?駐，??，其中駐．∵，∴，即?駐，解得?．駐?當(dāng)駐?時(shí)，，代入橢圓的方程，得?．故直線的方程為駐，圓心到直線的距離．此時(shí)直線與圓駐相切．當(dāng)駐?時(shí)，直線的方程為?駐?，駐?即?駐?駐?駐?．?駐??圓心到直線的距離．??駐?又駐?，?．駐?駐?駐???駐駐故．?駐?駐駐?駐駐此時(shí)直線與圓駐相切．20.解：（1）?g?，?max??max?；（2）?max，?max．當(dāng)時(shí)，?max，∵，且，∴??；當(dāng)時(shí)，?max，∵，且，∴??；∴無(wú)論和，??；（3）數(shù)對(duì)??，?，?，?，?g，g?最小；?，?；???，??g，g?g．試卷第7頁(yè)，總7頁(yè)