2014年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項)1.若集合A={0, 1, 2, 4}，B={1, 2, 3}，則A∩B=()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{0, 4}C.{1, 2}D.{3}2.下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是（）A.y=e-xB.y=xC.y=lnxD.y=|x|3.已知向量a→=(2, 4)，b→=(-1, 1)，則2a→-b→=(    )A.(5, 7)B.(5, 9)C.(3, 7)D.(3, 9)4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（    ）A.1B.3C.7D.155.設(shè)a，b是實數(shù)，則“a>b”是“a2>b2”的(    )A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件6.已知函數(shù)f(x)=6x-log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是(     )A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 4)D.(4, +∞)7.已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m, 0)，B(m, 0)(m>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB=90°，則m的最大值為(    )A.7B.6C.5D.48.加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c（a，b，c是常數(shù)），如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（試卷第9頁，總9頁, ）A.3.50分鐘B.3.75分鐘C.4.00分鐘D.4.25分鐘二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．)9.若(x+i)i=-1+2i(x∈R)，則x=________．10.設(shè)雙曲線C的兩個焦點為(-2, 0)，(2, 0)，一個頂點是(1, 0)，則C的方程為________．11.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為________．12.在△ABC中，a=1，b=2，cosC=14，則c=________；sinA=________．13.若x，y滿足y≤1，x-y-1≤0，x+y-1≥0，?則z=3x+y的最小值為________．14.顧客請一位工藝師把A，B兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項任務(wù)，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由師傅進(jìn)行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時間（單位：工作日）如下：工序時間原料粗加工精加工原料A915原料B621則最短交貨期為________ 個工作日．三、解答題，共6小題，滿分80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．)15.已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1=3，a4=12，數(shù)列{bn}滿足b1=4，b4=20，且{bn-an}為等比數(shù)列．求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；試卷第9頁，總9頁, 求數(shù)列{bn}的前n項和．16.函數(shù)f(x)=3sin(2x+π6)的部分圖象如圖所示．1寫出f(x)的最小正周期及圖中x0，y0的值；2求f(x)在區(qū)間[-π2, -π12]上的最大值和最小值．17.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點．(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F // 平面ABE；(3)求三棱錐E-ABC的體積．18.從某校隨機抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：排號分組頻數(shù)1[0, 2)62[2, 4)83[4, 6)174[6, 8)225[8, 10)256[10, 12)127[12, 14)68[14, 16)29[16, 18)2合計100試卷第9頁，總9頁, (1)從該校隨機選取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的概率；(2)求頻率分布直方圖中的a，b的值；(3)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組（只需寫結(jié)論）19.已知橢圓C:x2+2y2=4．(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點，若點A在直線y=2上，點B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值．20.已知函數(shù)f(x)=2x3-3x．(1)求f(x)在區(qū)間[-2, 1]上的最大值；(2)若過點P(1, t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切，求t的取值范圍；(3)問過點A(-1, 2)，B(2, 10)，C(0, 2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切？（只需寫出結(jié)論）試卷第9頁，總9頁, 參考答案與試題解析2014年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1.C2.B3.A4.C5.D6.C7.B8.B二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9.210.x2-y2=111.2212.2,15813.114.42三、解答題，共6小題，滿分80分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得d=a4-a13=12-33=3．所以an=a1+(n-1)d=3n(n∈N*)，設(shè)等比數(shù)列{bn-an}的公比為q，由題意得q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8，解得q=2．所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1．從而bn=3n+2n-1(n∈N*)．由（1）知bn=3n+2n-1．?dāng)?shù)列{3n}的前n項和為32n(n+1)，數(shù)列{2n-1}的前n項和為1×1-2n1-2=2n-1，所以，數(shù)列{bn}的前n項和為32n(n+1)+2n-1．16.解：1∵f(x)=3sin(2x+π6)，∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，可知y0為函數(shù)的最大值3，x0=7π6；試卷第9頁，總9頁, 2∵x∈[-π2, -π12]，∴2x+π6∈[-5π6, 0]，∴當(dāng)2x+π6=0，即x=-π12時，f(x)取最大值0，當(dāng)2x+π6=-π2，即x=-π3時，f(x)取最小值-3.17.(1)證明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)證明：取AB中點G，連接EG，F(xiàn)G，∵F是BC的中點，∴FG // AC，F(xiàn)G=12AC，∵E是A1C1的中點，∴FG // EC1，F(xiàn)G=EC1，∴四邊形FGEC1為平行四邊形，∴C1F // EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F // 平面ABE.(3)解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=3，∴VE-ABC=13S△ABC⋅AA1=13×12×3×1×2=33．18.解：(1)由頻率分布表知：1周課外閱讀時間少于12小時的頻數(shù)為6+8+17+22+25+12=90，∴1周課外閱讀時間少于12小時的頻率為90100=0.9；(2)由頻率分布表知：數(shù)據(jù)在[4, 6)的頻數(shù)為17，∴頻率為0.17，∴a=0.085；數(shù)據(jù)在[8, 10)的頻數(shù)為25，試卷第9頁，總9頁, ∴頻率為0.25，∴b=0.125；(3)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小時），∴樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第四組．19.解：(1)橢圓C:x2+2y2=4化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y22=1，∴a=2，b=2，c=2，∴橢圓C的離心率e=ca=22；(2)設(shè)A(t, 2)，B(x0, y0)，x0≠0，∵OA⊥OB，∴OA→⋅OB→=0，∴tx0+2y0=0，∴t=-2y0x0，∵x02+2y02=4，∴|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=(x0+2y0x0)2+(y0-2)2=x02+y02+4y02x02+4=x02+4-x022+2(4-x02)x02+4=x022+8x02+4(00且g(1)<0，即-30，∴g(x)分別在區(qū)間[-1, 0)，[0, 1)和[1, 2)上恰有1個零點，由于g(x)在區(qū)間(-∞, 0)和[1, +∞)上單調(diào)，故g(x)分別在區(qū)間(-∞, 0)和[1, +∞)上恰有1個零點．綜上所述，當(dāng)過點過點P(1, t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時，t的取值范圍是(-3, -1)．(3)過點A(-1, 2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切；理由如下：設(shè)過點A(-1, 2)的直線與曲線y=f(x)相切于點(x0, y0)，則y0=2x03-3x0，且切線斜率為k=6x02-3，∴切線方程為y-y0=(6x02-3)(x-x0)，∴2-y0=(6x02-3)(-1-x0)，即4x03+6x02-1=0，設(shè)g(x)=4x3+6x2-1，則“過點A(-1, 2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”，等價于“g(x)有3個不同的零點”．∵g'(x)=12x2+12x=12x(x+1)，∴g(x)與g'(x)變化情況如下：x(-∞, -1)-1(-1, 0)0(0, +∞)試卷第9頁，總9頁, g'(x)+0-0+g(x)↗1↘-1↗顯然g(x)分別在區(qū)間(-∞, -1)，[-1, 0]和(0, +∞)上恰有1個零點，∴過點A(-1, 2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切；過點B(2, 10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切；理由如下：設(shè)過點B(2, 10)的直線與曲線y=f(x)相切于點(x0, y0)，則y0=2x03-3x0，且切線斜率為k=6x02-3，∴切線方程為y-y0=(6x02-3)(x-x0)，∴10-y0=(6x02-3)(2-x0)，即x03-3x02+4=0，設(shè)g(x)=x3-3x2+4，則“過點B(2, 10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切”，等價于“g(x)有2個不同的零點”．∵g'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，∴g(x)與g'(x)變化情況如下：x(-∞, 0)0(0, 2)2(2, +∞)g'(x)+0-0+g(x)↗4↘0↗顯然g(x)分別在區(qū)間(-∞, 0)和[2, +∞)上恰有1個零點，∴過點B(2, 10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切；過點C(0, 2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切．理由如下：設(shè)過點C(0, 2)的直線與曲線y=f(x)相切于點(x0, y0)，則y0=2x03-3x0，且切線斜率為k=6x02-3，∴切線方程為y-y0=(6x02-3)(x-x0)，∴2-y0=(6x02-3)(0-x0)，即2x03+1=0，設(shè)g(x)=2x3+1，則“過點C(0, 2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切”，等價于“g(x)有1個零點”．∵g'(x)=6x2≥0，∴g(x)在R上單調(diào)遞增，∴g(x)在R只有1個零點，∴過點C(0, 2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切．試卷第9頁，總9頁