2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（每小題5分,共40分）)1.若集合噰????灰灰??，噰???灰灰?，則噰?A.???灰灰?灰灰????.B???C.???灰灰?D.????灰灰?2.圓心為?心為心且過原點的圓的方程是()A.??心?心??心?.B心噰?心???噰心C.?心?噰?心???心??.D?噰?心??3.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是?A.噰?噰.D?nl?噰.Csoc?噰.Bnis??4.某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層插樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有?年人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（）類人別數(shù)老年年年教師中心′年年年教師青心′年年年教師合年年計A.年B.心年年C.心′年D.年年試卷第1頁，總8頁,5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為?A.B.C.?D.′6.設(shè)，是非零向量，“噰????”是“”的?A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為?A.心B.?.D.C?8.某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況：加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）??心日心月?年?心年?年年年?′?心月?年?心年?′年年日注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程，在這段時間內(nèi)，該車每心年年千米平均耗油量為?A.′升B.′升C.心年升D.心?升試卷第2頁，總8頁,二、填空題)9.復(fù)數(shù)?心的實部為________．心?10.??gol，?，?三個數(shù)中最大的數(shù)是________．?11.在?中，噰，噰′，噰，則噰________．?12.已知??線曲雙是年為??噰心?年的一個焦點，則噰________．?13.如圖，?及其內(nèi)部的點組成的集合記為，?為為中任意一點，則噰?的最大值為________．14.高三年級?′年位學(xué)生參加期末考試，某班年位學(xué)生的語文成績，數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生．從這次考試成績看，①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是________；②在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是________．三、解答題（共80分）)15.已知函數(shù)?噰sin??nis?．??心求?的最小正周期；???求?在區(qū)間年為上的最小值．16.已知等差數(shù)列??滿足心?噰?，年心噰?.?心求??的通項公式；??足滿??列數(shù)比等設(shè)?噰，噰年，問：′與數(shù)列??的第幾項相等？試卷第3頁，總8頁,17.某超市隨機選取心年年年位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“”表示未購買．甲乙丙丁心年年√√√?心年√√?年年√√√年年√√′?√′√?心估計顧客同時購買乙和丙的概率；??估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買種商品的概率；?如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？18.如圖，在三棱錐??中，平面平面?，為等邊三角形，??且?噰?噰?，，分別為，的中點．?心求證：平面?；??求證：平面?平面；?求三棱錐??的體積．?19.設(shè)函數(shù)?噰?ln，年．??心求?的單調(diào)區(qū)間和極值；??證明：若?存在零點，則?在區(qū)間?心為上僅有一個零點．20.已知橢圓???點過不且年為心?點過，噰??為心的直線與橢圓?交于，兩點，直線與直線噰交于點．?心求橢圓?的離心率；??若垂直于軸，求直線的斜率；?試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．試卷第4頁，總8頁,參考答案與試題解析2015年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（每小題5分,共40分）1.A2.D3.B4.C5.C6.A7.C8.B二、填空題9.?心10.log??11.12.13.年14.乙,數(shù)學(xué)三、解答題（共80分）15.解：?心∵?噰sin??nis??心?cos噰sin???噰sincos?噰?sin??，?∴?的最小正周期噰噰?；心???∵年為，∴為，∴sin?年為心，即?噰?為???nis??，?解得?在區(qū)間年為上的最小值為?．16.解：?心設(shè)等差數(shù)列??的公差為，∵?噰?噰以所，?，∵心?以所，年心噰?心噰心年，∴心噰，∴噰??噰心???；試卷第5頁，總8頁,??設(shè)等比數(shù)列??的公比為，∵?噰噰′，噰年噰心′，心噰′為∴心?噰心′為∴噰?，心噰，∴噰??噰′?心而，′?心噰心?′?，′∴噰′，∴′與數(shù)列??中的第′項相等.17.解：?心從統(tǒng)計表可得，在這心年年年名顧客中，同時購買乙和丙的有?年年人，?年年故顧客同時購買乙和丙的概率為噰年洠?；心年年年??在這心年年年名顧客中，在甲、乙、丙、丁中同時購買種商品的有心年年?年年噰年年（人），年年故顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買種商品的概率為噰年洠；心年年年?年年?在這心年年年名顧客中，同時購買甲和乙的概率為噰年洠?，心年年年心年年?年年年年同時購買甲和丙的概率為噰年洠′，心年年年心年年同時購買甲和丁的概率為噰年洠心，心年年年故同時購買甲和丙的概率最大．18.?心證明：∵，分別為，的中點，∴，∵平面?，平面?，∴平面?；??證明：∵?噰?，為的中點，∴?，∵平面平面?，?平面?，∴?平面，∵?平面?，∴平面?平面；?解：在等腰直角三角形?中，?噰?噰?，∴噰?，?噰心，∴噰，∵?平面，心∴??噰?噰，∴??噰??噰．???19.?心解：由?噰?ln?年，?噰?噰.?由?噰年解得噰.?與?在區(qū)間?年為上的情況如下：試卷第6頁，總8頁,?年為?為??年??心?ln?所以，?的單調(diào)遞增區(qū)間為?為，單調(diào)遞減區(qū)間為?年為；?心?ln?在噰處的極小值為?噰，無極大值.??心?ln??證明：由?心知，?在區(qū)間?年為上的最小值為?噰．??心?ln因為?存在零點，所以年，從而.?當(dāng)噰時，?在區(qū)間?心為上單調(diào)遞減，且?噰年，所以噰是?在區(qū)間?心為上唯一的零點．心?當(dāng)時，?在區(qū)間?年為上單調(diào)遞減，且?心噰年，?噰灰年，??所以?在區(qū)間?心為上僅有一個零點．綜上所述，若?存在零點，則?在區(qū)間?心為上僅有一個零點．20.解：?心∵橢圓???噰，?∴橢圓?的標(biāo)準(zhǔn)方程為：?噰心，∴噰，噰心，噰?，′∴橢圓?的離心率噰噰；??∵過點?心為年且垂直于軸，∴可設(shè)?心為心，?心為?心.∵??為心，∴直線的方程為：?心噰?心?心???.令噰，得?為??心，??心心∴直線的斜率噰噰心；?心?結(jié)論：直線與直線平行．證明如下：當(dāng)直線的斜率不存在時，由??知噰心.心?年∵直線的斜率噰噰心，∴；??心當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為噰??心?心.設(shè)?心為心，??為?，心?心則直線的方程為?心噰???.心??心心?令噰，則點?為，心??心心???心??∴直線的斜率噰.????噰，聯(lián)立得?心??′????噰年，噰??心，試卷第7頁，總8頁,′???由韋達定理，得心?心噰?心，?心噰?，?心?心心?????心???????心?心??∵?心噰????心????心?心?心????噰????心?????心???心??心?心?噰????心??噰年，∴噰心噰，即；綜上所述，直線與直線平行．試卷第8頁，總8頁