2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。)1.已知復(fù)數(shù)＝??，則A.B.C.D.2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為()A.B.C.D.??3.已知直線的參數(shù)方程為（?為參數(shù)），則點(diǎn)到直線的距離是??（）A.B.C.D.4.已知橢圓?的離心率為，則（）A.＝B.＝C.＝D.＝5.若，滿足?，且?，則?的最大值為A.?B.C.D.6.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足?lg，其中星等為的星的亮度為＝．已知太陽的星等是??，天狼星的星等是??，則太陽與天狼星的亮度的比值為（）A.?B.?C.lg?D.??7.設(shè)點(diǎn)，，不共線，則“與的夾角為銳角”是“?”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線??就是其中之一（如圖）．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線恰好經(jīng)過個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；試卷第1頁，總9頁 ②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①B.②C.①②D.①②③二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。)9.函數(shù)＝sin的最小正周期是________．10.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若＝?，＝?，則＝________，的最小值為________．11.某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，那么該幾何體的體積為________．12.已知，是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①；②；③．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：________．13.設(shè)函數(shù)＝??（為常數(shù)）．若為奇函數(shù)，則＝________；若是上的增函數(shù)，則的取值范圍是________．14.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為元/盒、元/盒、元/盒、元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到元，顧客就少付元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的?．①當(dāng)＝時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各盒，需要支付________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則的最大值為________．試卷第2頁，總9頁 三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。)15.在中，＝，??＝，cos?．Ⅰ求，?的值；Ⅱ求sin?的值．16.如圖，在四棱錐??中，平面?，??，?，＝?＝?＝，＝．為?的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．Ⅰ求證：?平面?；Ⅱ求二面角??的余弦值；Ⅲ設(shè)點(diǎn)在上，且．判斷直線是否在平面內(nèi)，說明理由．17.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月，兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了人，發(fā)現(xiàn)樣本中，兩種支付方式都不使用的有人，樣本中僅使用和僅使用的學(xué)生的支付金額分布情況如下：大于僅使用人人人僅使用人人人Ⅰ從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率；Ⅱ從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取人，以表示這人中上個(gè)月支付金額大于元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；Ⅲ已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用的學(xué)生中，隨機(jī)抽查人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于元的人數(shù)有變化？說明理由．18.已知拋物線??經(jīng)過點(diǎn)?．求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；設(shè)為原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)作斜率不為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，，直線?分別交直線，于點(diǎn)和點(diǎn)．求證：以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．19.已知函數(shù)??．Ⅰ求曲線＝的斜率為的切線方程；試卷第3頁，總9頁 Ⅱ當(dāng)?時(shí)，求證：?；Ⅲ設(shè)＝??，記在區(qū)間?上的最大值為．當(dāng)最小時(shí)，求的值．20.已知數(shù)列，從中選取第?項(xiàng)、第?項(xiàng)、…、第?項(xiàng)??????，若???，則稱新數(shù)列?，?，…，?為的長度為的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列的任意一項(xiàng)都是的長度為的遞增子列．Ⅰ寫出數(shù)列，，，，，，的一個(gè)長度為的遞增子列；Ⅱ已知數(shù)列的長度為?的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長度為的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為．若?，求證：；Ⅲ設(shè)無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．若的長度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為?，且長度為末項(xiàng)為?的遞增子列恰有?個(gè)＝,…，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．試卷第4頁，總9頁 參考答案與試題解析2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.D2.B3.D4.B5.C6.A7.C8.C二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.10.,?11.12.若，，則（或若，，則）13.?,?14.,三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15.（1）∵＝，??＝，cos?．∴由余弦定理，得＝????cos?????，∴＝，∴?＝?＝；（2）在中，∵cos?，∴sin，?由正弦定理有：，sinsin?sin∴sin，∵?，∴，∴為銳角，∴cos，∴sin?＝sincos?cossin??．試卷第5頁，總9頁 16.證明：Ⅰ∵平面?，∴?，∵??，?＝，∴?平面?．（2）以為原點(diǎn)，在平面?內(nèi)過作?的平行線為軸，?為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，?，，，平面的法向量，設(shè)平面的法向量，?則，取＝，得?，??設(shè)二面角??的平面角為，則cos．∴二面角??的余弦值為．Ⅲ直線在平面內(nèi)，理由如下：∵點(diǎn)在上，且．∴?，∴?，∵平面的法向量?，??，故直線在平面內(nèi)．17.（1）由題意得：從全校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取的人中，，兩種支付方式都不使用的有人，僅使用的有人，僅使用的有人，試卷第6頁，總9頁 ∴，兩種支付方式都使用的人數(shù)有：???＝，∴從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率??（2）從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取人，以表示這人中上個(gè)月支付金額大于元的人數(shù)，則的可能取值為，，，樣本僅使用的學(xué)生有人，其中支付金額在的有人，超過元的有人，樣本僅使用的學(xué)生有人，其中支付金額在的有人，超過元的有人，＝，＝?，＝，∴的分布列為：數(shù)學(xué)期望??Ⅲ不能認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于元的人數(shù)有變化，理由如下：從樣本僅使用的學(xué)生有人，其中人月支付金額不大于元，有人月支付金額大于元，隨機(jī)抽查人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于元的概率為?，雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為．故不能認(rèn)為認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于元的人數(shù)有變化．18.解：拋物線??經(jīng)過點(diǎn)?．可得?，即?，可得拋物線的方程為?，準(zhǔn)線方程為；證明：拋物線?的焦點(diǎn)為?，設(shè)直線方程為?，聯(lián)立拋物線方程，可得??，設(shè)，，可得??，?，直線的方程為，即?，直線的方程為，即?，可得?，?，試卷第7頁，總9頁 ?可得的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?，?即有為直徑的圓心為?，?半徑為??，可得圓的方程為????，化為???，由，可得或?．則以為直徑的圓經(jīng)過軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，?．19.（1）??，由＝得?＝，得．又＝，，∴＝和??，即＝和＝?；（2）證明：欲證?，只需證??，令＝??，?，則??，可知在?為正，在為負(fù)，在為正，∴在?遞增，在遞減，在遞增，又?＝?，＝，??，＝，∴?，∴?；Ⅲ由Ⅱ可得，＝??＝??＝?∵在?上，?，令?＝，?＝??，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)??時(shí)，?的最大值的問題了，試卷第8頁，總9頁 ①當(dāng)?時(shí)，＝＝＝?，此時(shí)?，當(dāng)＝?時(shí)，取得最小值；②當(dāng)?時(shí)，＝?＝??＝?，∵?，∴＝?，也是＝?時(shí)，最小為．綜上，當(dāng)取最小值時(shí)的值為?．20.0，，，（6）00證明：考慮長度為的遞增子列的前?項(xiàng)可以組成長度為?的一個(gè)遞增子列，∴該數(shù)列的第?項(xiàng)，∴．000考慮?與這一組數(shù)在數(shù)列中的位置．若中有，在在?之后，則必然在長度為?，且末項(xiàng)為的遞增子列，這與長度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為?矛盾，∴必在?之前．繼續(xù)考慮末項(xiàng)為?的長度為?的遞增子列．∵對(duì)于數(shù)列?，，由于在?之前，∴研究遞增子列時(shí)，不可同時(shí)取與?，∵對(duì)于至的所有整數(shù)，研究長度為?的遞增子列時(shí)，第項(xiàng)是與二選，第項(xiàng)是與二選，……，第項(xiàng)是?與二選，故遞增子列最多有個(gè)．由題意，這組數(shù)列對(duì)全部存在于原數(shù)列中，并且全在?之前．∴，，，，，，……，是唯一構(gòu)造．即＝?，＝，．?試卷第9頁，總9頁