2002年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（4′×12=48′）)1.函數(shù)y=13-2x-x2的定義域?yàn)開_______．2.若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-1,?0)，F(xiàn)2(5,?0)，長軸的長為10，則橢圓的方程為________．3.若全集I=R，f(x)、g(x)均為x的二次函數(shù)，P={x|f(x)<0}，Q={x|g(x)≥0}，則不等式組f(x)<0g(x)<0的解集可用P、Q表示為________．4.f(x)是定義在實(shí)數(shù)R上的奇函數(shù)，若x≥0時(shí)，f(x)=log3(1+x)，則f(-2)=________．5.若在(5x-1x)n的展開式中，第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則n=________．6.已知f(x)=1-x1+x，α∈(π2,?π)，則f(cosα)+f(-cosα)可化簡為________．7.六位身高全不相同的同學(xué)拍照留念，攝影師要求前后兩排各三人，則后排每人均比前排同學(xué)高的概率是________．8.設(shè)曲線C1和C2的方程分別為F1(x,?y)=0和F2(x,?y)=0，則點(diǎn)P(a,?b)?C1∩C2的一個(gè)充分條件為________．9.若f(x)=2sinωx(0<ω<1)在區(qū)間[0,π3]上的最大值是2，則ω=________．10.如圖是表示一個(gè)正方體表面的一種平面展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中相互異面的有________對(duì)．11.如圖所示，客輪以速度2v由A至B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點(diǎn)D出發(fā)，以速度v沿直線勻速航行，將貨物送達(dá)客輪．已知AB=BC=50海里，若兩船同時(shí)起航出發(fā)，則兩船相遇之處距C點(diǎn)________海里．（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后1位）12.若從點(diǎn)O所作的兩條射線OM，ON上分別有點(diǎn)M1，M2與點(diǎn)N1，N2，則三角形面積之比為：S△OM1N1S△OM2N2=OM1OM2?ON1ON2．若從點(diǎn)O所作的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線OP，OQ和OR上分別有點(diǎn)P1，P2與點(diǎn)Q1，Q2和R1，R2，則類似的結(jié)論為：________．二、選擇題（4′×4=16′）)13.若a→、b→、c→為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是（）試卷第5頁，總6頁
A.(a→+b→)+c→=a→+(b→+c→)B.(a→+b→)?c→=a→?c→+b→?c→C.m(a→+b→)=ma→+mb→D.(a→?b→)c→=a→(b→?c→)14.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC一定是(????)A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等邊三角形15.設(shè)a>0，a≠1，則函數(shù)y=logax的反函數(shù)和函數(shù)y=loga1x的反函數(shù)的圖象關(guān)于（）A.x軸對(duì)稱B.y軸對(duì)稱C.y=x對(duì)稱D.原點(diǎn)對(duì)稱16.設(shè){an}(n∈N*)是等差數(shù)列，Sn是其前項(xiàng)的和，且S5
S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(????)A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6與S7均為Sn的最大值三、解答題（12′+12′+14′+14′+16′+18′=86′）)17.已知z、ω為復(fù)數(shù)，(1+3i)z為純虛數(shù)，ω=z2+i，且|ω|=52，求ω．18.F1，F(xiàn)2為雙曲線x2a2-y2b2=1的左右焦點(diǎn)，過?F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若∠PF1F2=30°，求雙曲線的漸近線方程．19.如圖，三棱柱OAB-O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO1=2，OA=3，求（1）二面角O1-AB-O的大??；（2）異面直線A1B與AO1所成角的大?。ㄉ鲜鼋Y(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20.已知函數(shù)f(x)=ax+x-2x+1(a>1).(1)證明：函數(shù)f(x)在(-1,?+∞)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)根．21.某公司全年的純利潤為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績（工作業(yè)績均不相同）從大到小，由1到n排序，第1位職工得試卷第5頁，總6頁
獎(jiǎng)金bn元，然后將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方案將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金．（1）設(shè)ak(1≤k≤n)為第k位職工所得獎(jiǎng)金額，試求a2、a3，并用k、n和b表示ak（不必證明）；（2）證明：ak>ak+1(k=1,?2,…,n-1)，并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；（3）發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為Pn(b)．對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求limn→∞Pn(b)（可用公式limn→∞(1-1n)n=1e）．22.對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)．已知f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)．（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，求函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的范圍；（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+12a2+1對(duì)稱，求b的最小值．試卷第5頁，總6頁
參考答案與試題解析2002年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（4′×12=48′）1.(-3.1)2.(x-2)225+y216=13.P∩CIQ4.-15.186.2sinα7.1208.F1(a,?b)≠0或F2(a,?b)≠0或P?C1等9.3410.311.40.812.VO-P1Q1R1VO-P2Q2R2=OP1OP2?OQ1OQ2?OR1OR2二、選擇題（4′×4=16′）13.D14.B15.B16.C三、解答題（12′+12′+14′+14′+16′+18′=86′）17.解：設(shè)z=m+ni(m,?n∈R)，因?yàn)?1+3i)z=(1+3i)(m+ni)=m-3n+(3m+n)i為純虛數(shù)，所以m-3n=0①，ω=z2+i=m+ni2+i=(2m+n)+(2n-m)i5，由|ω|=52，得(2m+n)225+(2n-m)225=(52)2，即m2+n2=250②由①②解得m=15n=5或m=-15n=-5，代入ω=(2m+n)+(2n-m)i5可得，ω=±(7-i)．18.解：在Rt△PF2F1中，設(shè)|PF1|=d1，|PF2|=d2，∵∠PF1F2=30°∴d1=2d2d1-d2=2a∴d2=2a∵|F2F1|=2c∴tan30°=2a2c∴ac=33，即a2a2+b2=13∴(ba)2=2∴ba=2∴試卷第5頁，總6頁
雙曲線的漸近線方程為y=±2x19.解：（1）如圖，以O(shè)A、OB為x軸、y軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系可得0(0,?0,?0)，A(3,?0,?0)、B(0,?2,?0)、01(0,?1,?3)∴AB→=(-3,2,0)，AO1→=(-3,1,3)設(shè)m→=(x,?y,?z)是平面ABO1的一個(gè)法向量則m→?AO1→=-3x+y+3z=0˙，取x=23得y=3，z=3∴m→=(23,?3,?3)又∵n→=(0,?0,?1)是平面AOB的一個(gè)法向量，∴cos=|m|→?|n|→˙=312+9+3×1=24因此，二面角O1-AB-O的大小為arccos24；（2）由（1）得A1(3,?1,?3)，A1B→=(-3,?1,?-3)∵AO1→=(-3,1,3)∴cos=|A1B|→?|AO1|→˙=3+1-37?7=17因此，異面直線A1B與AO1所成角的大小為arccos17．20.證明：(1)由于函數(shù)f(x)=ax+x-2x+1(a>1)=ax+1-3x+1，而函數(shù)y=ax(a>1)和函數(shù)y=-3x+1?在(-1,?+∞)上都為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在(-1,?+∞)上為增函數(shù)．(2)假設(shè)f(x)=0有負(fù)數(shù)根為x=x0，且x0<0，則有f(x0)=0，故有ax0+1=3x0+1?①．由于函數(shù)y=ax+1在R試卷第5頁，總6頁
上是增函數(shù)，且a0+1=2，∴ax0+1<2．由于函數(shù)y=3x+1?在(-1,?+∞)上是減函數(shù)，當(dāng)x0∈(-1,?0)時(shí)，30+1=3，∴3x0+1>3，∴①根本不可能成立，故①矛盾．由于函數(shù)y=3x+1在(-∞,?-1)上是減函數(shù)，當(dāng)x0∈(-∞,?-1)時(shí)，3x0+1<0，而，ax0+1>1，∴①根本不可能成立，故①矛盾．綜上可得，①根本不可能成立，故假設(shè)不成立，故f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根．21.（1）解：a1=bn，a2=1n(1-1n)?b，a3=1n(1-1n)2?b，…，ak=1n(1-1n)k-1?b．（2）證明：ak-ak+1=1n2(1-1n)k-1?b>0，此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了按勞分配的原則．（3）解：設(shè)fk(b)表示發(fā)給第k位職工后所剩余額，則f1(b)=(1-1n)?b，f2(b)=(1-1n)2?b，…，fk(b)=(1-1n)k?b，得Pn(b)=fn(b)=(1-1n)n?b，故limn→∞Pn(b)=be．22.解：（1）∵a=1，b=-2時(shí)，f(x)=x2-x-3，f(x)=x?x2-2x-3=0?x=-1，x=3∴函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)為-1和3；（2）即f(x)=ax2+(b+1)x+b-1=x有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為ax2+bx+b-1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，須有判別式大于0恒成立即b2-4a(b-1)>0?△=(-4a)2-4×4a<0?0
