2003年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）)1.函數(shù)數(shù)sincossscossins的最小正周期數(shù)________．2.若數(shù)是方程coss數(shù)?的解，其中th，則數(shù)________．3.在等差數(shù)列中，數(shù)，數(shù)香，則ss???s?t數(shù)________．4.在極坐標(biāo)系中，定點?h，點在直線cosssin數(shù)t上運動，當(dāng)線段最短時，點的極坐標(biāo)是________．5.在正四棱錐香?香中，若側(cè)面與底面所成二面角的大小為t，則異面直線與?所成角的大小等于________．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）6.設(shè)集合數(shù)，數(shù)香s?t，則集合且數(shù)________．7.?中，若sinsinsin?數(shù)，則cos?數(shù)________．8.若首項為?，公比為的等比數(shù)列的前項和總小于這個數(shù)列的各項和，則首項?，公比的一組取值可以是?h數(shù)________．9.某國際科研合作項目成員由??個美國人、個法國人和個中國人組成．現(xiàn)從中隨機(jī)選出兩位作為成果發(fā)布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為________．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）10.方程slg數(shù)?的根________．（結(jié)果精確到t??）11.已知點th，th香，?sht，其中的為正整數(shù)．設(shè)表示?外lim接圓的面積，則數(shù)________．12.給出問題：?、是雙曲線香數(shù)?的焦點，點在雙曲線上．若點到焦點?t?的距離等于，求點到焦點的距離．某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實軸長為，由?香數(shù)，即香數(shù)，得數(shù)?或?．該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi)________．二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)13.下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)又在th上單調(diào)遞增的是()A.數(shù)tanB.數(shù)cos香C.數(shù)sin香D.數(shù)cot14.在下列條件中，可判斷平面與平行的是（）A.、都垂直于平面B.內(nèi)存在不共線的三點到的距離相等C.，是內(nèi)兩條直線，且，D.，是兩條異面直線，且，，，試卷第1頁，總7頁 15.、、、、、均為非零實數(shù)，不等式ss?t和s?????????s?t的解集分別為集合和，那么“數(shù)數(shù)”是“數(shù)”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件16.是定義在區(qū)間香h上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令數(shù)s，則下列關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是A.若t，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱B.若數(shù)香?，香t，則方程數(shù)t有大于的實根C.若t，數(shù)，則方程數(shù)t有兩個實根D.若?，，則方程數(shù)t有三個實根三、解答題（共7小題，滿分86分）)17.已知復(fù)數(shù)?數(shù)cos香，數(shù)sins，求?的最大值和最小值．18.已知平行六面體?香香????香?中，?平面?香，數(shù)，香數(shù)．若香?，直線香與平面?香所成的角等于t，求平行六面體?香香??????香?的體積．19.已知數(shù)列（為正整數(shù)）是首項是?，公比為的等比數(shù)列．（1）求和：?t香??s?，?t香??s?香?；??（2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)的一個結(jié)論，并加以證明．試卷第2頁，總7頁 20.如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬米，要求通行車輛限高?米，隧道全長?千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀．（1）若最大拱高為米，則隧道設(shè)計的拱寬是多少？（2）若最大拱高不小于米，則應(yīng)如何設(shè)計拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最最?。浚ò雮€橢圓的面積公式為數(shù)，柱體體積為：底面積乘以高．本題結(jié)果精確到t??米）21.在以為原點的直角坐標(biāo)系中，點h香為的直角頂點．已知數(shù)，且點的縱坐標(biāo)大于零．（1）求向量的坐標(biāo)；（2）求圓香ss數(shù)t關(guān)于直線對稱的圓的方程；（3）是否存在實數(shù)，使拋物線數(shù)香?上總有關(guān)于直線對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求的取值范圍．22.已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)，對任意，有s數(shù)成立．?函數(shù)數(shù)是否屬于集合？說明理由；設(shè)函數(shù)數(shù)?t，且?的圖象與數(shù)的圖象有公共點，證明：數(shù)；若函數(shù)數(shù)sin，求實數(shù)的取值范圍．試卷第3頁，總7頁 參考答案與試題解析2003年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1.2.3.香4.，5.arctan6.?7.香?8.?h（??t，t?的一組數(shù)）??9.?t10.?11.12.數(shù)?二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13.C14.D15.D16.B三、解答題（共7小題，滿分86分）17.解：?數(shù)?ssincosscos香sin數(shù)?ssincosscos香sin數(shù)ssincos?數(shù)ssin故?的最大值為，最小值為．18.解：連接香，因為?平面?香，?香?，所以?香．在?香中，?數(shù)，?香數(shù)數(shù)．所以香數(shù)．又因為直線香與平面?香所成的角等于t，??所以?香數(shù)t，于是?數(shù)香數(shù)．試卷第4頁，總7頁 故平行六面體?香香????香?的體積為?香?數(shù)．19.解：（1）?t香??s?數(shù)香s數(shù)?香?t香??s???????香?數(shù)香s香數(shù)?香；?????（2）歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列是首項為?，公比為的等比數(shù)列，則?t香??s?香?s???s香??數(shù)?香，?s??為正整數(shù)．證明：?t香??s?香?s???s香??數(shù)?t香??s?香?s?????s???s香??數(shù)?t香??s?香?s???s香?????數(shù)?香．?20.解：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，則點??h?，橢圓方程為s數(shù)?．將數(shù)數(shù)與點坐標(biāo)代入橢圓方程，得數(shù)，此時此時數(shù)數(shù)?因此隧道的拱寬約為?米；（2）由橢圓方程s數(shù)?，???根據(jù)題意，將??h?代入方程可得s數(shù)?．??????因為s即且數(shù)，數(shù)，所以數(shù)數(shù)當(dāng)取最小值時，????有數(shù)數(shù)，得數(shù)??，數(shù)試卷第5頁，總7頁 此時數(shù)數(shù)???，數(shù)?故當(dāng)拱高約為?米、拱寬約為???米時，土方工程量最?。?1.解：（1）設(shè)數(shù)?h?，則由數(shù)，數(shù)t?s?數(shù)?tt即?香?數(shù)t?數(shù)?數(shù)香得，或．?數(shù)?數(shù)香∵數(shù)s數(shù)?sh?香，∴?香?t，得?數(shù)，∴數(shù)h；（2）由數(shù)?th，得?th，?于是直線方程：數(shù)．由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：香ss?數(shù)?t，得圓心h香?，半徑為?t．設(shè)圓心h香?關(guān)于直線的對稱點為hs香?香數(shù)t則，s?數(shù)香香數(shù)?得，數(shù)∴所求圓的方程為香?s香數(shù)?t；（3）設(shè)?h?，h為拋物線上關(guān)于直線對稱兩點，?s?s香數(shù)t則，?香數(shù)香?香?s數(shù)香得香?數(shù)香即?，為方程ss數(shù)t的兩個相異實根，香于是由數(shù)香?t，得?．∴當(dāng)?時，拋物線數(shù)香?上總有關(guān)于直線對稱的兩點．22.解：?對于非零常數(shù)，s數(shù)s，數(shù)．試卷第6頁，總7頁 因為對任意，s數(shù)不能恒成立，所以數(shù).因為函數(shù)數(shù)?t且?的圖象與函數(shù)數(shù)的圖象有公共點，數(shù)h所以方程組：有解，消去得數(shù)，數(shù)h顯然數(shù)t不是方程數(shù)的解，所以存在非零常數(shù)，使數(shù)．于是對于數(shù)有s數(shù)s數(shù)數(shù)數(shù)故數(shù).當(dāng)數(shù)t時，數(shù)t，顯然數(shù)t．當(dāng)t時，因為數(shù)sin，所以存在非零常數(shù)，對任意，有s數(shù)成立，即sins數(shù)sin．因為t，且，所以，s，于是sin香?h?，sins香?h?，故要使sins數(shù)sin．成立，只有數(shù)?，當(dāng)數(shù)?時，sins數(shù)sin成立，則數(shù)，．當(dāng)數(shù)香?時，sin香數(shù)香sin成立，即sin香s數(shù)sin成立，則香s數(shù)，，即數(shù)香香?，．綜合得，實數(shù)的取值范圍是數(shù)h．試卷第7頁，總7頁