2003年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）)1.函數(shù)ㄠsincossscossins的最小正周期ㄠ________．2.若ㄠ是方程cossㄠ?的解，其中th，則ㄠ________．3.在等差數(shù)列中，ㄠ，ㄠ香，則ss???s?tㄠ________．4.已知定點th?，點在直線sㄠt上運動，當線段最短時，點的坐標是________．5.在正四棱錐香?香中，若側(cè)面與底面所成二面角的大小為t，則異面直線與?所成角的大小等于________．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）6.設(shè)集合ㄠ，ㄠ香s?t，則集合且ㄠ________．7.?中，若sinsinsin?ㄠ，則cos?ㄠ________．8.若首項為?，公比為的等比數(shù)列的前項和總小于這個數(shù)列的各項和，則首項?，公比的一組取值可以是?hㄠ________．9.某國際科研合作項目成員由??個美國人、個法國人和個中國人組成．現(xiàn)從中隨機選出兩位作為成果發(fā)布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為________．（結(jié)果用分數(shù)表示）10.方程slgㄠ?的根________．（結(jié)果精確到t??）11.已知點th，th香，?sht，其中的為正整數(shù)．設(shè)表示?外lim接圓的面積，則ㄠ________．12.給出問題：?、是雙曲線香ㄠ?的焦點，點在雙曲線上．若點到焦點?t?的距離等于，求點到焦點的距離．某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實軸長為，由?香ㄠ，即香ㄠ，得ㄠ?或?．該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi)________．二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)13.下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)又在th上單調(diào)遞增的是()A.ㄠtanB.ㄠcos香C.ㄠsin香D.ㄠcot14.在下列條件中，可判斷平面與平行的是（）A.、都垂直于平面B.內(nèi)存在不共線的三點到的距離相等C.，是內(nèi)兩條直線，且，D.，是兩條異面直線，且，，，15.甲、乙兩同學(xué)投擲一枚骰子，用字母、分別表示兩人各投擲一次的點數(shù)．滿足關(guān)于的方程ssㄠt有實數(shù)解的概率為（）試卷第1頁，總7頁 ??A.B.C.D.16.是定義在區(qū)間香一h一上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令ㄠs?，則下列關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是A.若t，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱B.若ㄠ香?，香?t，則方程ㄠt有大于的實根C.若t，?ㄠ，則方程ㄠt有兩個實根D.若?，?，則方程ㄠt有三個實根三、解答題（共6小題，滿分86分）)17.已知復(fù)數(shù)?ㄠcos香，ㄠsins，求?的最大值和最小值．18.已知平行六面體?香香????香?中，?平面?香，ㄠ，香ㄠ．若香?，直線香與平面?香所成的角等于t，求平行六面體?香香??????香?的體積．??s19.已知函數(shù)ㄠ香log，求函數(shù)的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性．?香20.如圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬米，要求通行車輛限高?米，隧道全長?千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀．（1）若最大拱高為米，則隧道設(shè)計的拱寬是多少？試卷第2頁，總7頁 （2）若最大拱高不小于米，則應(yīng)如何設(shè)計拱高和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最最小？（半個橢圓的面積公式為ㄠ，柱體體積為：底面積乘以高．本題結(jié)果精確到t??米）21.在以為原點的直角坐標系中，點h香為的直角頂點．已知ㄠ，且點的縱坐標大于零．（1）求向量的坐標；（2）求圓香ssㄠt關(guān)于直線對稱的圓的方程；（3）是否存在實數(shù)，使拋物線ㄠ香?上總有關(guān)于直線對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求的取值范圍．22.已知數(shù)列（為正整數(shù)）是首項是?，公比為的等比數(shù)列．（1）求和：?t香??s?，?t香??s?香?；??（2）由（1）的結(jié)果歸納概括出關(guān)于正整數(shù)的一個結(jié)論，并加以證明．（3）設(shè)?，是等比數(shù)列的前項和，求：?t香??s?香?s???s?香??．s?試卷第3頁，總7頁 參考答案與試題解析2003年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1.2.3.香??4.香，5.arctan6.?7.香?8.?h（??t，t?的一組數(shù)）??9.?t10.?11.12.ㄠ?二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13.C14.D15.A16.B三、解答題（共6小題，滿分86分）17.解：?ㄠ?ssincosscos香sinㄠ?ssincosscos香sinㄠssincos?ㄠssin故?的最大值為，最小值為．18.解：連接香，因為?平面?香，?香?，所以?香．在?香中，?ㄠ，?香ㄠㄠ．所以香ㄠ．又因為直線香與平面?香所成的角等于t，??所以?香ㄠt，于是?ㄠ香ㄠ．試卷第4頁，總7頁 故平行六面體?香香????香?的體積為?香?ㄠ．t19.解：?須滿足?s，?t?香?s由?t得香??，?香所以函數(shù)的定義域為香?htth?．因為函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)的任意，??香??s有香ㄠ香香logㄠ香香logㄠ香，?s?香所以是奇函數(shù)．研究在th?內(nèi)的單調(diào)性，任取?、th?，且設(shè)?，??s???s則?香ㄠ香log香slog??香??香??ㄠ香slog香?香log香???香?香???由香?t，log香?香log香??t，??香?香?得?香?t，即在th?內(nèi)單調(diào)遞減，由于是奇函數(shù)，所以在香?ht內(nèi)單調(diào)遞減．20.解：（1）如圖建立直角坐標系，則點??h?，橢圓方程為sㄠ?．?將?ㄠㄠ與點坐標代入橢圓方程，得ㄠ，此時此時ㄠㄠ?因此隧道的拱寬約為?米；（2）由橢圓方程sㄠ?，????根據(jù)題意，將??h?代入方程可得sㄠ?．???????因為s??試卷第5頁，總7頁 即?且ㄠ，ㄠ?，?所以ㄠㄠ當取最小值時，????有ㄠㄠ，?得ㄠ??，?ㄠ此時ㄠㄠ???，ㄠ??故當拱高約為?米、拱寬約為???米時，土方工程量最?。?1.解：（1）設(shè)ㄠ?h?，則由ㄠ，ㄠt?s?ㄠ?tt即?香?ㄠt?ㄠ?ㄠ香得，或．?ㄠ?ㄠ香∵ㄠsㄠ?sh?香，∴?香?t，得?ㄠ，∴ㄠh；（2）由ㄠ?th，得?th，?于是直線方程：ㄠ．由條件可知圓的標準方程為：香ss?ㄠ?t，得圓心h香?，半徑為?t．設(shè)圓心h香?關(guān)于直線的對稱點為hs香?香ㄠt則，s?ㄠ香香ㄠ?得，ㄠ∴所求圓的方程為香?s香ㄠ?t；（3）設(shè)?h?，h為拋物線上關(guān)于直線對稱兩點，?s?s香ㄠt則，?香ㄠ香?香?sㄠ香得香?ㄠ香即?，為方程ssㄠt的兩個相異實根，試卷第6頁，總7頁 香于是由ㄠ香?t，得?．∴當?時，拋物線ㄠ香?上總有關(guān)于直線對稱的兩點．22.解：（1）?t香??s?ㄠ香s????ㄠ?香??t香??s?香??ㄠ?香?t香??s?香???ㄠ香s香????ㄠ?香；?（2）歸納概括的結(jié)論為：若數(shù)列是首項為?，公比為的等比數(shù)列，則?t香??s?香?s???s香??ㄠ?香，為正整數(shù)?s??證明：?t香??s?香?s???s香???s?ㄠ?t香??s?香?s???s香???????ㄠ?t香??s?香?s???s香???ㄠ?香；?∴左邊ㄠ右邊，該結(jié)論成立．（3）∵數(shù)列（為正整數(shù)）是首項是?，公比為的等比數(shù)列，而且?．?香???香∴ㄠㄠ，?香?香∴?t香??s?香?s???s香???s?ㄠ??香一t香?香一?s?香一香?香一s???s香??香s?一?香??t香??s?香??香??t香??s?香?ㄠss香?ss?香?香香???ㄠ?香．香?試卷第7頁，總7頁