2012年上海市春季高考數學試卷一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，要求直接填寫結果，每題答對得4分，否則一律得零分。)1.已知集合A={1,?2,?k}，B={2,?5}．若A∪B={1,?2,?3,?5}，則k=________．2.函數y=x+2的定義域是________．3.拋物線y2=8x的焦點坐標是________．4.若復數z滿足iz=1+i（i為虛數單位），則z=________．5.函數f(x)=sin(2x+π4)的最小正周期為________．6.方程4x-2x+1=0的解為________．7.若(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0+a1+a2+a3+a4+a5=________．8.若f(x)=(x+2)(x+m)x為奇函數，則實數m＝________．9.函數y=log2x+4log2x(x∈[2,4])的最大值為________．10.若復數z滿足|z-i|≤2（i為虛數單位），則z在復平面內所對應的圖形的面積為________．11.某校要從2名男生和4名女生中選出4人擔任某游泳賽事的志愿者工作，則在選出的志愿者中，男、女生都有的概率為________．（結果用數值表示）12.若不等式x2-kx+k-1>0對x∈(1,?2)恒成立，則實數k的取值范圍是________．13.已知等差數列{an}的首項及公差均為正數，令bn=an+a2012-n(n∈N*,n<2012)．當bk是數列{bn}的最大項時，k=________．14.若矩陣a11a12a21a22滿足a11，a12，a21，a22∈{-1,?1}，且a11a12a21a22=0，則這樣的互不相等的矩陣共有________個．二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，選對得5分，否則一律得零分。)15.已知橢圓C1:x212+y24=1，C2:x216+y28=1，則（）A.C1與C2頂點相同B.C1與C2長軸長相同C.C1與C2短軸長相同D.C1與C2焦距相等16.記函數y=f(x)的反函數為y=f-1(x)．如果函數y=f(x)的圖象過點(1,?0)，那么函數y=f-1(x)+1的圖象過點（）A.(0,?0)B.(0,?2)C.(1,?1)D.(2,?0)17.已知空間三條直線l、m、n．若l與m異面，且l與n異面，則（）A.m與n異面B.m與n相交C.m與n平行D.m與n異面、相交、平行均有可能試卷第7頁，總7頁
18.設O為△ABC所在平面內一點．若實數x、y、z滿足xOA→+yOB→+zOC→=0→，(x2+y2+z2≠0)，則“xyz=0”是“點O在△ABC的邊所在直線上”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。)19.如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長為1，高為2，M為線段AB的中點．求：（1）三棱錐C1-MBC的體積；（2）異面直線CD與MC1所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．20.某環(huán)線地鐵按內、外環(huán)線同時運行，內、外環(huán)線的長均為30千米（忽略內、外環(huán)線長度差異）．（1）當9列列車同時在內環(huán)線上運行時，要使內環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，求內環(huán)線列車的最小平均速度；（2）新調整的方案要求內環(huán)線列車平均速度為25千米/小時，外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時．現內、外環(huán)線共有18列列車全部投入運行，要使內外環(huán)線乘客的最長候車時間之差不超過1分鐘，向內、外環(huán)線應各投入幾列列車運行？21.已知雙曲線C1:x2-y24=1．(1)求與雙曲線C1有相同焦點，且過點P(4,?3)的雙曲線C2的標準方程；(2)直線l:y=x+m分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A,B兩點．當OA→?OB→=3時，求實數m的值．22.已知數列{an}、{bn}、{cn}滿足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)．（1）設cn=3n+6，{an}是公差為3的等差數列．當b1=1時，求b2、b3的值；（2）設cn=n3，an=n2-8n．求正整數k，使得對一切n∈N*，均有bn≥bk；（3）設cn=2n+n，an=1+(-1)n2．當b1=1時，求數列{bn}的通項公式．23.定義向量OM→=(a,?b)的“相伴函數”為f(x)＝asinx+bcosx，函數f(x)＝asinx+bcosx的“相伴向量”為OM→=(a,?b)（其中O為坐標原點）．記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為S．試卷第7頁，總7頁
（1）設g(x)＝3sin(x+π2)+4sinx，求證：g(x)∈S；（2）已知h(x)＝cos(x+α)+2cosx，且h(x)∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M(a,?b)(b≠0)為圓C：(x-2)2+y2＝1上一點，向量OM→的“相伴函數”f(x)在x＝x0處取得最大值．當點M在圓C上運動時，求tan2x0的取值范圍．試卷第7頁，總7頁
參考答案與試題解析2012年上海市春季高考數學試卷一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，要求直接填寫結果，每題答對得4分，否則一律得零分。1.32.[-2,?+∞)3.(2,?0)4.1-i5.π6.x=17.18.-29.510.2π11.141512.(-∞,?2]13.100614.8二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，選對得5分，否則一律得零分。15.D16.B17.D18.C三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。19.解：（1）連接CM，∵正方形ABCD中，M為AB中點，且邊長為1，∴△BCM的面積為S=14S正方形ABCD=14．又∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1是三棱錐C1-MBC的高，∴三棱錐C1-MBC的體積為：VC1-MBC=13×14×2=16；試卷第7頁，總7頁
（2）連接BC1∵CD?//?AB，∴∠C1MB（或其補角）為異面直線CD與MC1所成的角．∵AB⊥平面B1C1CB，BC1?平面B1C1CB，∴AB⊥BC1．Rt△MC1B中，BC1=BC2+CC12=5，MB=12AB=12∴tan∠C1MB=BC1BM=25所以異面直線CD與MC1所成角為arctan25．20.解：（1）設內環(huán)線列車的平均速度為v千米/小時，則要使內環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，可得309v×60≤10∴v≥20∴要使內環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，內環(huán)線列車的最小平均速度是20千米/小時；（2）設內環(huán)線投入x列列車運行，則外環(huán)線投入(18-x)列列車運行，內、外環(huán)線乘客最長候車時間分別為t1，t2分鐘，則t1=3025x×60=72x，t2=3030(18-x)×60=6018-x∴|t1-t2|=|72x-6018-x|≤1∴x2-150x+1296≤0x2+114x-1296≤0∴150-173162≤x≤-114+181802∵x∈N+，∴x=10∴當內環(huán)線投入10列列車運行，外環(huán)線投入8列列車時，內外環(huán)線乘客的最長候車時間之差不超過1分鐘．21.解：(1)∵雙曲線C1:x2-y24=1，∴焦點坐標為(5,?0)，(-5,?0).設雙曲線C2的標準方程為x2a2-y2b2=1(a>0,?b>0)，∵雙曲線C2與雙曲線C1有相同焦點，且過點P(4,?3),∴a2+b2=5,16a2-3b2=1,解得a=2,b=1.∴雙曲線C2的標準方程為x24-y2=1.(2)雙曲線C1的兩條漸近線為y=2x，y=-2x,由y=2x,y=x+m,可得x=m，y=2m，∴A(m,?2m).由y=-2x,y=x+m,可得x=-13m，y=23m，∴試卷第7頁，總7頁
B(-13m,?23m),∴OA→?OB→=-13m2+43m2=m2.∵OA→?OB→=3,∴m2=3.∴m=±3.22.解：（1）∵an+1-an=3，∴bn+1-bn=n+2，∵b1=1，∴b2=4，b3=8．（2）∵an=n2-8n．∴an+1-an=2n-7，∴bn+1-bn=n32n-7，由bn+1-bn>0，解得n≥4，即b4
b2>b3>b4．∴k=4．（3）∵an+1-an=(-1)n+1，∴bn+1-bn=(-1)n+1(2n+n)．∴bn-bn-1=(-1)n(2n-1+n-1)(n≥2)．故b2-b1=21+1；b3-b2=(-1)(22+2)，…bn-1-bn-2=(-1)n-1(2n-2+n-2)．bn-bn-1=(-1)n(2n-1+n-1)．當n=2k時，以上各式相加得bn-b1=(2-22+...-2n-2+2n-1)+[1-2+...-(n-2)+(n-1)]=2-2n-1(-2)1-(-2)+n2=2+2n3+n2．∴bn=2+2n3+n2+1=2n3+n2+53．當n=2k-1時，bn=bn+1-(-1)n+1(2n+n)=2n+13+n+12+53-(2n+n)=-2n3-n2+136∴bn=-2n3-n2+136n=2k-12n3+n2+53n=2kk∈N+．23.g(x)＝3sin(x+π2)+4sinx＝4sinx+3cosx，其‘相伴向量’OM→=(4,?3)，g(x)∈S．試卷第7頁，總7頁
h(x)＝cos(x+α)+2cosx＝(cosxcosα-sinxsinα)+2cosx＝-sinαsinx+(cosα+2)cosx∴函數h(x)的‘相伴向量’OM→=(-sinα,?cosα+2)．則|OM→|=(-sinα)2+(cosα+2)2=5+4cosα．OM→的‘相伴函數’f(x)＝asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)，其中cosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2．當x+φ＝2kπ+π2，k∈Z時，f(x)取到最大值，故x0＝2kπ+π2-φ，k∈Z．∴tanx0＝tan(2kπ+π2-φ)＝cotφ=ab，tan2x0=2tanx01-tan2x0=2×ab1-(ab)2=2ba-ab．ba為直線OM的斜率，由幾何意義知：ba∈[-33,?0)∪(0,?33]．令m=ba，則tan2x0=2m-1m，m∈[-33,?0)∪(0，33}．當-33≤m<0時，函數tan2x0=2m-1m單調遞減，∴0
