2012年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（56分）：)嘿
1.計(jì)算：________（
為虛數(shù)單位）．挀
2.若集合???嘿??，??挀??，則________．?cos?3.函數(shù)???的值域是________．sin?嘿4.若?嘿??是直線的一個(gè)法向量，則的傾斜角的大小為________（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．?5.在??嘿?的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于________．?6.有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為，?lim?挀???挀?挀?則，…，，…，?________．7.已知函數(shù)???＝?嘿?（?為常數(shù)）．若???在區(qū)間挀?上是增函數(shù)，則?的取值范圍是________．8.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為?的半圓面，則該圓錐的體積為________．9.已知???挀??????若，??且，數(shù)函奇是??挀?，則?嘿?________．10.（???點(diǎn)過(guò)，中系標(biāo)坐極在，圖如）海上·??的直線與極軸的夾角，若將的極坐標(biāo)方程寫成???則，式形的?________．11.三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是________（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）．12.在平行四邊形??中，，邊、?的長(zhǎng)分別為?、，若、分別是?邊?、??上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是________．???13.已知函數(shù)?????、??、??中其，?段線折是象圖的?，函數(shù)????????的圖象與?軸圍成的圖形的面積為________．試卷第1頁(yè)，總8頁(yè) 14.如圖，?與?是四面體??中互相垂直的棱，???若，?，且挀??挀????，其中?、為常數(shù)，則四面體??的體積的最大值是________．二、選擇題（20分）：)15.若挀??程方數(shù)系實(shí)的?于關(guān)是
?挀??挀的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則()A.??嘿?.B，?，C.?嘿??.D嘿，?，嘿16.在?中，若sin?挀sin?sin??，則?的形狀是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定17.設(shè)????，?，隨機(jī)變量取值?，?，?，?，????挀????挀??挀??挀??挀?的概率均為??，隨機(jī)變量?取值，，，，的概率也均為??，?????若記?，??分別為，?的方差，則()A.????B.???C.???D.?與??的大小關(guān)系與?，??，?，?的取值有關(guān)18.設(shè)?sin，?挀??，在，?挀???挀?，…中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是???A.?B.C.D.三、解答題（共5小題，滿分74分）)19.如圖，在四棱錐嘿??中，底面??是矩形，底面??，是?的中點(diǎn)，已知＝?＝，??＝?，?，求：（1）三角形??的面積；（2）異面直線?與所成的角的大?。?0.已知???挀??gl?.??若?嘿???嘿???，求?的取值范圍；試卷第2頁(yè)，總8頁(yè) ???????，時(shí)?當(dāng)且，數(shù)函偶的期周為?以是???若??，求函數(shù)????????的反函數(shù)．21.海事救援船對(duì)一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以海里為單位長(zhǎng)度），則救援船恰好在失事船正南方向?海里處，如圖，現(xiàn)假設(shè)：??①失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線?；②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救援船出發(fā)小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為（1）當(dāng)?時(shí)，寫出失事船所在位置的縱坐標(biāo)，若此時(shí)兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和方向．（2）問(wèn)救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？22.在平面直角坐標(biāo)系?2中，已知雙曲線??嘿???．（1）過(guò)?的左頂點(diǎn)引?的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及?軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為的直線交?于、兩點(diǎn)，若與圓??挀?相切，求證：22；（3）設(shè)橢圓???挀?，若、分別是?、?上的動(dòng)點(diǎn)，且22，求證：??2到直線的距離是定值．23.對(duì)于數(shù)集＝嘿???，???????中其，??????，定義向量集＝???????得使，??在存，?意任對(duì)若，???，則稱具有性質(zhì)．例如嘿??具有性質(zhì)．（1）若?????嘿且，?具有性質(zhì)，求?的值；（2）若具有性質(zhì)，求證：，且當(dāng)??時(shí)，?＝；（3）若具有性質(zhì)，且?＝、??＝（為常數(shù)），求有窮數(shù)列?，??，…，?的通項(xiàng)公式．試卷第3頁(yè)，總8頁(yè) 參考答案與試題解析2012年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（56分）：1.嘿?
2.?嘿??3.嘿，嘿???4.arctan?5.嘿6.7.?嘿?8.9.嘿10.sin嘿?11.12.??13.?嘿???嘿14.二、選擇題（20分）：15.B16.C17.A18.D三、解答題（共5小題，滿分74分）19.∵底面??，??底面??，∴??．∵矩形??中，???，而、?是平面?的交線．∴??平面?，∵?平面?，∴???，三角形??是以?為直角頂點(diǎn)的直角三角形．∵?中，?＝?＝，??，∴????挀?．∴三角形??的面積???＝?．?試卷第4頁(yè)，總8頁(yè) [解法一]如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，可得????，??????，??．∴??????，??，??設(shè)與?夾角為，則cos，?????∴，由此可得異面直線?與所成的角的大小為．[解法二]取的中點(diǎn)，連接、、?，∵?中，、分別是?、的中點(diǎn)，∴?，或其補(bǔ)角就是異面直線?與所成的角．∵?中，???挀?．∴?＝?，?∵在中，??，???∴?＝?挀?，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴，可得異面直線?與所成的角的大小為．20.解：??挀??gl嘿???嘿??gl?挀??gl嘿?挀??嘿?gl???嘿???嘿??，要使函數(shù)有意義，?嘿???則由?挀?解得：嘿?．?嘿??由lg??挀??gl嘿???嘿?lg，?挀?嘿??得：，?挀∵?挀?，∴?挀?嘿???挀，?∴嘿?．試卷第5頁(yè)，總8頁(yè) 嘿?，由?，嘿??得：嘿?．??，時(shí)???當(dāng)??嘿??，∴?????嘿????嘿????嘿??lg?嘿??，由單調(diào)性可知lg??，又∵?嘿，∴所求反函數(shù)是嘿?，?lg??．??21.解：（1）?時(shí)，的橫坐標(biāo)?，代入拋物線方程?中，得?的縱坐標(biāo)．…?分由，得救援船速度的大小為海里/時(shí)．…分?由tan2，得2arctan，故救援船速度的方向?yàn)楸逼珫|arctan弧度．…分（2）設(shè)救援船的時(shí)速為海里，經(jīng)過(guò)小時(shí)追上失事船，此時(shí)位置為????．由??挀???得理整，???挀???挀??挀．…分????因?yàn)閽?挀?以所，立成號(hào)等時(shí)當(dāng)僅且當(dāng)，?，即??．因此，救援船的時(shí)速至少是?海里才能追上失事船．…分????22.解：（1）雙曲線?嘿左頂點(diǎn)?嘿?，??漸近線方程為：??．?過(guò)與漸近線?即，?挀???為程方線直的行平???挀，??嘿???嘿所以，解得．??挀??所以所求三角形的面積為2．?（2）設(shè)直線的方程為??挀?，?因直線與已知圓相切，故，???挀?即???，由，?嘿???得??嘿???嘿??嘿，?挀????設(shè)???則，?????，?，???嘿嘿?又??挀?????挀???．所以22????挀???挀???挀?????挀???嘿嘿???挀???挀??試卷第6頁(yè)，總8頁(yè) ??嘿?．故22．?（3）當(dāng)直線2垂直?軸時(shí)，2，2，則2到直線的距離為．??當(dāng)直線2不垂直?軸時(shí)，設(shè)直線2的方程為：??，（顯然??），?則直線2的方程為嘿?，由?????挀?????得?挀?，?挀????挀?所以2．挀????挀?同理2，???嘿設(shè)2到直線的距離為，因?yàn)?2?2?2???2挀?，挀??所以挀，???2?2?挀即．綜上，2到直線的距離是定值．23.選取????＝?以所，??嘿?式形有必素元的直垂?與中則，???，又∵???＝?有只∴，?，從而?＝．取?????挀??得可，???足滿，?????設(shè)，??＝，?挀＝，所以?、異號(hào)．因?yàn)楹偈菙?shù)集中唯一的負(fù)數(shù)，所以?、中的負(fù)數(shù)必為嘿，另一個(gè)數(shù)是，所以，假設(shè)??＝，其中?，則??．再取???????足滿，?????設(shè)，?，可得??挀?＝，所以?、異號(hào)，其中一個(gè)為嘿①若?＝嘿，則?＝???，矛盾；②若＝嘿，則?＝????，矛盾；說(shuō)明假設(shè)不成立，由此可得當(dāng)??時(shí)，?＝．[解法一]猜想：?＝
嘿，
＝，?，，…，
記?嘿???＝?，???????，，…，先證明若?挀具有性質(zhì)，則?也具有性質(zhì)．任取??????足滿??有然顯，時(shí)嘿現(xiàn)出中、?當(dāng)，?、?，?當(dāng)?、中都不是嘿時(shí)，滿足?且．因?yàn)?挀具有性質(zhì)，所以有????得使，挀?、?，????，從而?、其中有一個(gè)為嘿不妨設(shè)?＝嘿，試卷第7頁(yè)，總8頁(yè) 假設(shè)?挀，且?，則＝??挀．由???挀??嘿??＝，得?＝??挀??挀，與??矛盾．所以?，從而?也具有性質(zhì)．再用數(shù)學(xué)歸納法，證明?＝
嘿，
＝，?，，…，
當(dāng)＝?時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)當(dāng)＝?時(shí)，嘿???????，＝
，嘿
＝?則，質(zhì)性有具?，…，????
當(dāng)＝?挀時(shí)，若?挀嘿????????挀?具有性質(zhì)，則?嘿?????????具有性質(zhì)，所以嘿??嘿?????．?挀?挀取????挀???足滿，?????設(shè)并，?，由此可得?＝嘿或＝嘿若＝嘿，則??挀，不可能?所以?＝嘿，?＝＝?且???嘿，因此?＝??挀?挀?挀綜上所述，?＝
嘿，
＝，?，，…，
??[解法二]設(shè)??????則，???????，?等價(jià)于嘿???記＝?且???，則數(shù)集具有性質(zhì)，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱注意到嘿是集合中唯一的負(fù)數(shù)，?嘿??嘿????嘿?嘿??嘿＝?，共有嘿個(gè)數(shù)．所以?挀?也有嘿個(gè)數(shù)．?????由于，已經(jīng)有嘿個(gè)數(shù)?嘿?嘿??嘿????????對(duì)以下三角形數(shù)陣：，?嘿?嘿??嘿????嘿?嘿?嘿?嘿?嘿??嘿?嘿?…?????嘿?嘿?????嘿??注意到????，所以?????嘿?嘿???????嘿?嘿?gòu)亩鴶?shù)列的通項(xiàng)公式是??＝?＝，?＝，?，，…，．?試卷第8頁(yè)，總8頁(yè)