2013年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分．)th1.計(jì)算：lim________．t?2.設(shè)，htht?h??是純虛數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則＝________．hh3.若，t________．??4.已知香?的內(nèi)角、香、?所對(duì)的邊分別是、、，若hththh＝，則角?的大小是________.h5.設(shè)常數(shù)，若t的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為?，則＝________．??6.方程t的實(shí)數(shù)解為________．?7.在極坐標(biāo)系中，曲線cost?與cos?的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為________．8.盒子中裝有編號(hào)為?，h，，，，，，，的九個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是________（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）．9.設(shè)香是橢圓Γ的長軸，點(diǎn)?在Γ上，且?香，若香＝，香?h，則Γ的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為________.10.設(shè)非零常數(shù)是等差數(shù)列?，h，…，?的公差，隨機(jī)變量等可能地取值?，h，…，?，則方差＝________．?h11.若coscostsinsin，sinhtsinh，則sin?t?________．hh12.設(shè)為實(shí)常數(shù)，??是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，??tt．若??t?對(duì)一切成立，則的取值范圍為__________.13.在?平面上，將兩個(gè)半圓弧???hth????和??hth???，兩條直線?和?圍成的封閉圖形記為，如圖中陰影部分，記繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為．過??????作的水平截面，所得截面積為?ht．試?yán)米鏁溤怼⒁粋€(gè)平放的圓柱和一個(gè)長方體，得出的體積值為________．試卷第1頁，總7頁 14.對(duì)區(qū)間上有定義的函數(shù)??，記??＝＝???．已知定義域?yàn)?的函數(shù)＝??有反函數(shù)＝???，且?????）＝??h?????h??＝???．若方程??＝有解，則＝________．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分．)15.設(shè)常數(shù)，集合?????，香?，若香，則的取值范圍為??A.??h?B.??hC.?h?t?D.h?t?16.錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的??A.充分條件B.必要條件C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件17.在數(shù)列中，＝h?，若一個(gè)行?h列的矩陣的第行第列的元素＝tt，?＝??h,…,；＝??h,…,?h?，則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）A.?B.hC.D.18.在邊長為?的正六邊形香??中，記以為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為?、h、、、；以為起點(diǎn)，其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為?、h、、、．若、分別為?tt??tt?的最小值、最大值，其中????h???，????h???，則、滿足（）A.＝，?B.，?C.，＝D.，三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．)19.如圖，在長方體香?香?中，香h，?，?．證明直線香?平行于平面?，并求直線香?到平面?的距離．20.甲廠以千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求??），每小時(shí)可獲得的利潤是??t??元．（1）要使生產(chǎn)該產(chǎn)品h小時(shí)獲得的利潤不低于元，求的取值范圍；（2）要使生產(chǎn)千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤．21.已知函數(shù)??＝hsin??，其中常數(shù)?．h（1）若＝??在?上單調(diào)遞增，求的取值范圍；試卷第2頁，總7頁 （2）令＝h，將函數(shù)＝??的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移?個(gè)單位，得到函數(shù)＝??的圖象，區(qū)間??，，且?滿足：＝??在?上至少含有個(gè)零點(diǎn)．在所有滿足上述條件的?中，求的最小值．h22.如圖，已知雙曲線??h?，曲線?h＝t?，是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在h過點(diǎn)的直線與??，?h都有公共點(diǎn)，則稱為“???h型點(diǎn)”（1）在正確證明??的左焦點(diǎn)是“???h型點(diǎn)“時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；（2）設(shè)直線＝與?h有公共點(diǎn)，求證??，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“???h型點(diǎn)”；hh?（3）求證：圓t內(nèi)的點(diǎn)都不是“???h型點(diǎn)”.h23.給定常數(shù)?，定義函數(shù)??＝httt．?dāng)?shù)列?，h，，…滿足＝??，．t?（1）若?＝h，求h及；（2）求證：對(duì)任意，；t?（3）是否存在?，使得?，h，…，，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的?；若不存在，說明理由．試卷第3頁，總7頁 參考答案與試題解析2013年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（本大題共有14題，滿分56分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分．?1.2.h3.?4.arccos5.h6.logt?7.h?8.?9.10.hh11.12.13.hht?14.h二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分．15.B16.B17.A18.D三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．19.解：解法一：因?yàn)橄?香?為長方體，故香?，香?，故香?為平行四邊形，故香?，顯然香?不在平面?內(nèi)，于是直線香?平行于平面?．直線香?到平面?的距離即為點(diǎn)香到平面?的距離，設(shè)為，考慮三棱錐香?的體積，以香?為底面，可得三棱錐香?的體積為試卷第4頁，總7頁 ????????，hh而?中，??，h，故?的底邊上的高為，h?h故?的面積?h，hhh??hh所以，，即直線香?到平面?的距離為．h解法二：以所在的直線為軸，以?所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則由題意可得，點(diǎn)??????、香???h???、???h???、???h??、????．設(shè)平面?的一個(gè)法向量為?????，則由，?，可得，?．?t?h∵??????，???h???，∴，解得．hth令?，可得?h，h，可得?h???h?．由于香???????，∴香?，故有香?．再由香?不在平面?內(nèi)，可得直線香?平行于平面?．h?t?t?h?h由于?香?????，可得點(diǎn)香到平面?的距離，hht?ht?h?hh故直線香?到平面?的距離為．20.解：（1）生產(chǎn)該產(chǎn)品h小時(shí)獲得的利潤為??t??h＝h?t??h根據(jù)題意，h?t??，即??∴或∵??，∴?；（2）設(shè)利潤為元，則生產(chǎn)千克該產(chǎn)品獲得的利潤為＝??t?????h?＝?tt?＝???th?h∵??，?∴＝時(shí)，取得最大利潤為?元?h故甲廠應(yīng)以千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤為元．試卷第5頁，總7頁 h21.∵函數(shù)＝??在?上單調(diào)遞增，且?，h∴，且，hh解得．??＝hsinh，∴把＝??的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移?個(gè)單位，得到hsinh?t?t?，∴函數(shù)＝??hsinh?t?t?，令??＝，得t，或t??．?hh∴相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為或．若最小，則和都是零點(diǎn)，此時(shí)在區(qū)間?t，?ht，…，?t??分別恰有，，…，ht?個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間??t是恰有h個(gè)零點(diǎn)，從而在區(qū)間??t?至少有一個(gè)零點(diǎn)，∴?．另一方面，在區(qū)間??tt恰有個(gè)零點(diǎn)，?h?h因此的最小值為?t．22.（1）解：??的左焦點(diǎn)為???，寫出的直線方程可以是以下形式：或?t?，其中．（2）證明：因?yàn)橹本€＝與?h有公共點(diǎn)，t?所以方程組有實(shí)數(shù)解，因此＝t?，得??．t?若原點(diǎn)是“???h型點(diǎn)”，則存在過原點(diǎn)的直線與??、?h都有公共點(diǎn)．考慮過原點(diǎn)與?h有公共點(diǎn)的直線＝或＝????．顯然直線＝與??無公共點(diǎn)．hh如果直線為＝????，則由方程組hh，得h，矛盾．??hh所以直線＝????與??也無公共點(diǎn)．因此原點(diǎn)不是“???h型點(diǎn)”．hh?（3）證明：記圓?t，取圓?內(nèi)的一點(diǎn)，設(shè)有經(jīng)過的直線與??，?hh都有公共點(diǎn)，顯然不與軸垂直，故可設(shè)＝t．若?，由于圓?夾在兩組平行線＝?與＝?之間，因此圓?也夾在直線＝?與＝?之間，從而過且以為斜率的直線與?h無公共點(diǎn)，矛盾，所以??．因?yàn)榕c??由公共點(diǎn)，試卷第6頁，總7頁 t所以方程組hh有實(shí)數(shù)解，?h得??hh?hhhh＝．因?yàn)??，所以?hh，因此＝??h??hh??hhh?＝?ht?hh?，即hhh?．因?yàn)閳A?的圓心???到直線的距離，?thhh??thhhh所以，從而?h?，得?，與??矛盾．?thhhhh?因此，圓t內(nèi)的點(diǎn)不是“???h型點(diǎn)”．h23.（1）解：h＝???＝?h?＝hhttht＝h＝h，＝?h?＝?h?＝hhttht＝h?t??th?＝?t．tt?（2）證明：由已知可得??tt??當(dāng)時(shí)，t?＝t?；當(dāng)時(shí)，t?＝htth??tt＝；當(dāng)時(shí)，t?＝h?h??＝．∴對(duì)任意，；t?（3）解：假設(shè)存在?，使得?，h，…，，…成等差數(shù)列．由（2）及?，得t?，即為無窮遞增數(shù)列．又為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)，當(dāng)?時(shí)，，從而t?＝??＝tt，由于為等差數(shù)列，因此公差＝t．①當(dāng)?時(shí)，則h＝???＝?，又h＝?t＝?tt，故?＝?tt，即?＝，從而h＝，當(dāng)h時(shí)，由于為遞增數(shù)列，故h＝?，∴t?＝??＝tt，而h＝?tt，故當(dāng)?＝時(shí)，為無窮等差數(shù)列，符合要求；②若?，則h＝???＝?tt，又h＝?t＝?tt，∴?tt＝?tt，得?＝，應(yīng)舍去；③若?，則由?得到t?＝??＝tt，從而為無窮等差數(shù)列，符合要求．綜上可知：?的取值范圍為??t?．試卷第7頁，總7頁