2020年四川省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅲ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。)1.已知集合??????????，?????????，則中元素的個數(shù)為()A.B.C.D.2.復(fù)數(shù)的虛部是（）香A.香B.香C.D.3.在一組樣本數(shù)據(jù)中，，，，出現(xiàn)的頻率分別為，，，，且?＝，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是（）A.＝＝?，＝＝?B.＝＝?，＝＝?C.＝＝?，＝＝?D.＝＝?，＝＝?4.???模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)???（?的單位：天）的???模型：????，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)???＝?歏時，標志著已初步遏制疫情，香???香歏?則?約為???ln?A.B.C.D.5.設(shè)為坐標原點，直線?＝與拋物線＝????交于，兩點，若，則的焦點坐標為（）A.???B.???C.???D.???6.已知向量，滿足＝歏，＝，?香，則cos，????A.香B.香C.D.歏歏歏歏7.在中，cos?，＝，＝，則cos＝（）A.B.C.D.試卷第1頁，總10頁 8.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A.B.C.D.9.已知tan香tan??＝，則tan＝（）A.香B.香C.D.10.若直線與曲線??和圓??都相切，則的方程為（）歏A.＝?B.＝?C.??D.???11.設(shè)雙曲線香??????的左、右焦點分別為，，離心率為歏．是上一點，且．若的面積為，則＝（）A.B.C.D.?12.已知歏歏?，?歏．設(shè)＝log，＝log歏，?＝log?，則（）歏?A.?B.?C.?D.?二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。)??13.若?，滿足約束條件?香?則＝?的最大值為________．??14.???的展開式中常數(shù)項是________（用數(shù)字作答）．?15.已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．16.關(guān)于函數(shù)???＝sin?有如下四個命題：sin?①???的圖象關(guān)于軸對稱．②???的圖象關(guān)于原點對稱．③???的圖象關(guān)于直線??對稱．④???的最小值為．其中所有真命題的序號是________．試卷第2頁，總10頁 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。)17.設(shè)數(shù)列?滿足＝，＝香．（1）計算，，猜想?的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列?的前項和．18.某學(xué)生興趣小組隨機調(diào)查了某市天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次?????空氣質(zhì)量等級（優(yōu)）歏（良）歏（輕度污染）?（中度污染）（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為，，，的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為或，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為或，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有歏的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次人次?空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好??香??附：????????????????歏?????歏???試卷第3頁，總10頁 19.如圖，在長方體香中，點，分別在棱，上，且＝，＝．（1）證明：點在平面內(nèi)；（2）若＝，＝，＝，求二面角香香的正弦值．?歏20.已知橢圓??歏?的離心率為，，分別為的左、右頂點．歏（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線?＝上，且＝，，求的面積．21.設(shè)函數(shù)???＝???，曲線＝???在點（???）處的切線與軸垂直．（1）求；（2）若???有一個絕對值不大于的零點，證明：???所有零點的絕對值都不大于．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）)??香?香??22.在直角坐標系?中，曲線的參數(shù)方程為??為參數(shù)且??，?香??與坐標軸交于，兩點．（1）求；（2）以坐標原點為極點，?軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線的極坐標方程．[選修4-5：不等式選講]（10分）)23.設(shè)，，?，?＝，?＝．（1）證明：??；（2）用max????表示，，?的最大值，證明：max????．試卷第4頁，總10頁 參考答案與試題解析2020年四川省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅲ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.C2.D3.B4.C5.B法二：易知，∠ODE＝45°，可得D（2，2），代入拋物線方程y＝2px，可得4＝4p，解得p＝1，6.D7.A8.C9.D10.D11.A12.A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.14.15.16.②③三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.法一：數(shù)列?滿足＝，＝香，則＝香＝歏，＝香＝，…，猜想?的通項公式為＝．證明如下：??當(dāng)＝，，時，顯然成立，??假設(shè)＝時，＝??成立，當(dāng)＝時，＝香＝??香＝＝??，故＝時成立，由????知，＝，猜想成立，所以?的通項公式＝．法二：數(shù)列?滿足＝，＝香，則＝香＝歏，＝香＝，…，猜想?的通項公式為＝．試卷第5頁，總10頁 證明：設(shè)??＝??，可得＝香，?香?香∴，解得，香??香∴香??香＝?香香?，（不能說明?香香是等比數(shù)列）∵＝，香香＝，并且香??香＝，所以＝恒成立．所以＝．令＝＝??，則數(shù)列?的前項和＝歏?????，…①兩邊同乘得，＝歏?????，…②①-②得，香＝???香????香香?＝香??，香所以＝?香?．歏18.該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為：?；歏該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為：?；?該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為：?；該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為：?；由題意可得：一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為：????歏歏?歏＝歏；根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的列聯(lián)表，人人總次次計?空氣質(zhì)量好空?氣質(zhì)量不好總歏歏歏計??香????香?由表中數(shù)據(jù)可得：??歏?????，????????????歏歏歏所以有歏的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．19.證明：在上取點，使得＝，連接，，，，在長方體香中，有，且＝＝．試卷第6頁，總10頁 又＝，＝，＝，∴＝＝．∴四邊形和四邊形都是平行四邊形．∴，且＝，，且＝．又在長方體香中，有，且＝，∴且＝，則四邊形為平行四邊形，∴，且＝，又，且＝，∴，且＝，則四邊形為平行四邊形，∴點在平面內(nèi)；在長方體香中，以為坐標原點，分別以，，所在直線為?，，軸建立空間直角坐標系．∵＝，＝，＝，＝，＝，∴????，????，????，????，則??香??香?，???香?香?，???香??．設(shè)平面的一個法向量為??????．?香?香?則，取?＝，得????香?；?香香?設(shè)平面的一個法向量為??????．?香?香?則，取?＝，得?????．?香?香∴cos?????．設(shè)二面角香香為，則sin?香?．∴二面角香香的正弦值為．試卷第7頁，總10頁 ?歏歏20.由?得＝香，即?香，∴?，歏?故的方程是：?；歏歏代數(shù)方法：由（1）?香歏??，設(shè)????，點???，根據(jù)對稱性，只需考慮?的情況，歏此時香歏歏，?，∵＝，∴有?香歏??＝①，又∵，∴香歏?＝②，?又?③，歏歏??香聯(lián)立①②③得??或??，????當(dāng)??時，則???，???，而?香歏??，?則（法一）?????，????，歏∴?香????香?，?香歏同理可得當(dāng)??時，?，??歏綜上，的面積是．法二：∵???，???，∴直線的方程為：?香＝，歏∴點到直線?香＝的距離??，而?，歏歏∴??．?dāng)?shù)形結(jié)合方法：如圖示：試卷第8頁，總10頁 ①當(dāng)點在軸左側(cè)時，過點作，直線?＝和?軸交于???點，易知，∴＝＝，?故＝時，歏?，解得：?＝，（?＝舍），歏故?香??，易得＝?，＝?，歏故＝香香香???香香?歏?香???，②當(dāng)點在軸右側(cè)時，同理可得?＝，即???，＝，＝，歏故?，歏綜上，的面積是．21.由???＝???，得????＝?，∴???＝???，即?香；證明：設(shè)?為???的一個零點，根據(jù)題意，?????香???，且?，則??香??，由?，令?????香???香??，∴??????香??香?????香?，當(dāng)??香?香????時，?????，當(dāng)??香??時，??????可知????在?香?香?，???上單調(diào)遞減，在?香??上單調(diào)遞增．又??香??，????香，??香??香，????，∴香?．設(shè)?為???的零點，則必有?????香???，即香??香??，試卷第9頁，總10頁 ?香?香???香????∴，得香?，?香???????香?即?．∴???所有零點的絕對值都不大于．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22.當(dāng)?＝時，可得?＝香（舍去），代入＝香??，可得＝＝，當(dāng)＝時，可得?＝（舍去），代入?＝香?香?，可得?＝香香＝香，所以曲線與坐標軸的交點為?香??，???，則??香??；由（1）可得直線過點???，?香??，?可得的方程為香?，即為?香＝，由?＝cos，＝sin，可得直線的極坐標方程為cos香sin＝．[選修4-5：不等式選講]（10分）23.∵?＝，∴???＝，∴???＝，∴??＝香???，∵?＝，∴，，?均不為，∴??＝香???，∴??；不妨設(shè)?，則??，?∵?＝，∴香香＝?，而香香????，與假設(shè)矛盾，故max????．試卷第10頁，總10頁