2002年安徽省普通高中理科實(shí)驗(yàn)班招生考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分）)1.已知???＝，則代數(shù)式??的值是（）A.B.?C.D.?2.把一個(gè)長(zhǎng)寬不等的長(zhǎng)方形紙條形紙條，像如圖所示那樣沿形條折疊，折疊后紙點(diǎn)的位置在紙，形紙與條交于，則下列結(jié)論正確的是（）A.形條有可能是直角三角形B.形條有可能是等邊三角形C.形條不一定是鈍角三角形D.形條一定是等腰三角形3.如圖，已知等腰梯形形紙條的腰形＝紙條＝，對(duì)角線(xiàn)紙形條，銳角形紙＝，則該梯形的面積是（）A.sinB.sinC.cosD.cos4.某企業(yè)進(jìn)行了制度創(chuàng)新和技術(shù)改造，效益逐年提高．下面是年利潤(rùn)的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位均為百萬(wàn)元）：???年??，年??，年??，且年利潤(rùn)與年號(hào)間的關(guān)系可以近似地用二次函數(shù)來(lái)反映．由此，請(qǐng)你預(yù)測(cè)年的年利潤(rùn)應(yīng)為（）A.?B.???C.??D.??二、填空題（共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分）)??5.已知，化簡(jiǎn)________．??6.如圖是置于水平地面上的一個(gè)球形儲(chǔ)油罐，小敏想測(cè)量它的半徑、在陽(yáng)光下，他測(cè)得球的影子的最遠(yuǎn)點(diǎn)到球罐與地面接觸點(diǎn)形的距離是米（如示意圖，形＝米）；同一時(shí)刻，他又測(cè)得豎直立在地面上長(zhǎng)為米的竹竿的影子長(zhǎng)為米，那么，球的半徑是________米．試卷第1頁(yè)，總9頁(yè) 7.方程的解是________．??8.正六邊形形紙條的邊長(zhǎng)為?，點(diǎn)為形紙條內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)到正六邊形形紙條各邊所在直線(xiàn)的距離之和為，則＝．9.、為正整數(shù)，且t，若?＝，則＝________．10.形紙中，形＝紙，＝?________＝積面的紙形則，＝紙形，?．形紙11.如果________．12.如圖，在直角梯形形紙條中，條形紙，形形紙，形紙＝?條，紙條＝?條，、為兩腰的中點(diǎn)，下面給出四個(gè)結(jié)論：①形紙條＝?②紙條＝?③條條紙④形形紙其中正確的有________（要求：把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．三、解答題（共2小題，滿(mǎn)分30分）)13.如圖，形紙中，紙形與紙形均為銳角，分別以紙、紙形為邊向形紙外側(cè)作正方形紙條和正方形紙形形，再作條條直線(xiàn)形于條，直線(xiàn)形于．求證：Ⅰ條條＝形；Ⅱ線(xiàn)段形的中點(diǎn)也平分線(xiàn)段條．14.如圖為機(jī)器人足球世界杯賽的一個(gè)模擬場(chǎng)景，直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為球門(mén)，機(jī)器人在點(diǎn)??處發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)形處對(duì)方另一機(jī)器人踢的小球正向球門(mén)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知小球運(yùn)動(dòng)的速度為機(jī)器人直線(xiàn)行走速度的兩倍，假定機(jī)器人與小球同時(shí)分別自、形出發(fā)，問(wèn)機(jī)器人從點(diǎn)沿直線(xiàn)前進(jìn)，最快可在何處截住小球？并求出機(jī)器人行走路線(xiàn)對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式．試卷第2頁(yè)，總9頁(yè) 五、標(biāo)題)15.設(shè)一組數(shù)據(jù)是，，…，，它們的平均數(shù)是，方差．Ⅰ證明：方差也可表示為，當(dāng)；并且＝＝…＝時(shí)，方差取最小值；Ⅱ求滿(mǎn)足方程的一切實(shí)數(shù)對(duì)．?六、標(biāo)題)?16.已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)＝，若??，求證：??．?七、標(biāo)題)17.一張臺(tái)面為長(zhǎng)方形形紙條的臺(tái)球桌，只有四個(gè)角袋（分別以臺(tái)面頂點(diǎn)、形、紙、條表示），臺(tái)面的長(zhǎng)、寬分別是、、為互質(zhì)的奇數(shù)，且t，臺(tái)面被分成個(gè)正方形．只用一個(gè)桌球，從桌角以與桌邊成??夾角射出，碰到桌邊后也以與桌邊成??角反彈（入射線(xiàn)與反射線(xiàn)垂直，如圖）．假設(shè)桌球不受阻力影響，在落袋前能一直運(yùn)動(dòng)．求證：不論經(jīng)過(guò)多少次反彈，桌球都不可能落入條袋．八、標(biāo)題)18.如圖，等腰三角形形紙中，形＝形紙，為形紙的外接圓，紙條為紙形的平分線(xiàn)，紙條的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，過(guò)作紙條的垂線(xiàn)交形紙于，再過(guò)作紙條的平行線(xiàn)交形于，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于．求證：Ⅰ紙；試卷第3頁(yè)，總9頁(yè) Ⅱ形＝條．試卷第4頁(yè)，總9頁(yè) 參考答案與試題解析2002年安徽省普通高中理科實(shí)驗(yàn)班招生考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分）1.C2.D3.B4.C二、填空題（共8小題，每小題5分，滿(mǎn)分40分）5.6.?7.?8.（18）9.?10.11.?＝，?＝，那么的值等于?12.①②③三、解答題（共2小題，滿(mǎn)分30分）13.證明：（1）過(guò)點(diǎn)紙作紙形于，∵條條形、形，∴條條＝形＝紙＝形紙＝?，∴條條紙形＝紙紙＝紙形形紙＝紙形形＝?，∴條條＝紙，形＝形紙，∵條＝紙，形紙＝形，∴條條紙，形形紙，∴條條＝，＝形，∴條條＝形；（2）設(shè)為條的中點(diǎn)，為條的中點(diǎn)，則：條條形且形，當(dāng)四邊形條條為矩形時(shí)，以上結(jié)論仍然成立．∴條條紙，形形紙，又∵條＝紙＝形，∴形的中點(diǎn)就是條的中點(diǎn)．試卷第5頁(yè)，總9頁(yè) 14.設(shè)截點(diǎn)為：紙，則形紙＝，紙??，∴形紙＝紙，即可得：＝???，解得：＝或，?∴最快在出截住．設(shè)機(jī)器人行走路線(xiàn)對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為：＝，??，解得：，??????∴機(jī)器人行走路線(xiàn)對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為：．??五、標(biāo)題15.（1）∵，，???（），???，??????，???，∴；當(dāng)＝＝…＝時(shí)，，∴此時(shí)方差取最小值；（2）設(shè)數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為：，?，?試卷第6頁(yè)，總9頁(yè) 方差，???當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，?＝，此時(shí)，．??六、標(biāo)題?16.證明：當(dāng)＝，＝，則??；?當(dāng)，∴，∴＝，隨的增大而減小，而，?∴當(dāng)＝，有最大值，此時(shí)＝＝，???即時(shí)，的最大值為，滿(mǎn)足??．???當(dāng)＝，有最小值，此時(shí)＝＝，???即時(shí)，的最小值為，滿(mǎn)足??．???所以若??，有??．?七、標(biāo)題17.證明：如圖：將桌邊的正方形頂點(diǎn)從開(kāi)始：按逆時(shí)針?lè)较蛞来尉幪?hào)為，，，…，，，∵、均為奇數(shù)，∴點(diǎn)形的編號(hào)必為，點(diǎn)紙的編號(hào)必為，點(diǎn)條的編號(hào)必為（1）由于桌球從點(diǎn)以??角射出，碰到桌邊也以??角反彈，當(dāng)桌球反彈至鄰邊時(shí)，射線(xiàn)與兩邊桌邊圍成一個(gè)等腰直角三角形，該等腰直角三角形的斜邊兩端點(diǎn)也就是球的射線(xiàn)的兩端點(diǎn)編號(hào)必相同，（如圖中射線(xiàn)，等腰紙中，∵紙＝紙，∴從經(jīng)、紙、到，編號(hào)變?yōu)榕紨?shù)次，與的編號(hào)必相同）…：當(dāng)桌球反彈至對(duì)邊時(shí)，球的射線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)的編號(hào)必也相同（如圖中射線(xiàn)形，因?yàn)椋叫危郊垪l，紙＝條形，從經(jīng)路徑紙條到形，編號(hào)也變了偶數(shù)次，與形的編號(hào)必也相同）．綜上，不論經(jīng)過(guò)多少次的反彈，桌球在桌邊碰到的點(diǎn)的編號(hào)均為與點(diǎn)的編號(hào)相同，而點(diǎn)的編號(hào)為，所以桌球不可能落入編號(hào)為的條袋中．試卷第7頁(yè)，總9頁(yè) 八、標(biāo)題18.證明：（1）如圖，設(shè)直線(xiàn)與紙交于點(diǎn)，∵紙，∴紙＝，∵在紙和中，紙，紙∴紙紙，∴紙＝，∵紙平分形紙，∴紙＝紙，∴＝紙，∴紙，（2）如圖，連接形，紙，過(guò)作紙垂線(xiàn)形，形為垂足．過(guò)作紙垂線(xiàn)，為垂足，∵紙，紙，∴，∴四邊形為矩形，∴＝，∵形＝形紙，∴形紙形，∵紙，∴紙，∴形形，形＝形，∴形紙＝紙形，∴紙平分紙，∴形＝，∴形＝，∵形紙＝紙，∴紙＝紙＝紙，∵形紙＝?紙，＝?紙，∴形紙＝，即形紙＝，∵形＝形，∴形＝形，即，紙＝形，∵形＝紙形紙，條＝形，∴形＝條，試卷第8頁(yè)，總9頁(yè) ∵在形和條中，形條形條，形∴形條，∴＝條，∵在形和紙中，紙形紙，紙形∴形紙，∴形＝，∴形＝條．試卷第9頁(yè)，總9頁(yè)