大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末考試試題一、填空題（3×5=15）1．設(shè)A，B互斥，已知P(A)=α，P(B)=β，則α2．設(shè)DX=4，DY=9，D（2X-3Y）=61，則ρXY=1/23．設(shè)為來自正態(tài)總體的樣本,則服從t(3)分布4．設(shè)總體X~P(λ)（泊松分布），則=矩估計量5．已知總體X~N(μ，)，（X1，…，Xm）是來自X的樣本，其樣本修正方差為。當μ未知時，對假設(shè)H0，，H1：進行檢驗，這時可構(gòu)造統(tǒng)計量，其拒絕域為應(yīng)該給出顯著水平二、單項選擇題（3×5=15）1．由0，1，2，…，9共10個數(shù)字組成7位的電話號碼，A=“不含數(shù)字8和9”，則P(A)=（D）（A）（B）（C）（D）2．若（X，Y）~N（μ1，μ2；，；ρ），下列命題錯誤的是（D）（A）X~N（μ1，）且Y~N（μ2，）（B）若X，Y獨立，則X、Y不相關(guān)（C）若X、Y不相關(guān)，則X、Y獨立（D）f(x，y)=fX(x)fY(y)對任意的x∈R,y∈R，成立，其中fX(x),fY(y)分別是X與Y的密度，f(x,y)為(X，Y)的聯(lián)合密度3．設(shè)X1，X2，…Xn，為正態(tài)總體（μ，σ2）， 分別為樣本均值，樣本方差，樣本修正方差，則（C）（A）（B）（C）（D）4．設(shè)隨機變量T~t(n)，則~（B）分布（A）χ2(n)（B）F(n,1)（C）F(1,n)（D）F(n-1,1)5．對正態(tài)總體的均值μ進行假設(shè)檢驗，如果在顯著性水平0.05下，接受原假設(shè)H0：μ=μ0，那么在顯著性水平0.01下，下列結(jié)論正確的是（A）（A）必接受H0（B）可能接受H0也可能拒絕H0（C）必拒絕H0（D）不接受，也不拒絕H0三、（12分）設(shè)有一箱同規(guī)格的產(chǎn)品，已知其中由甲廠生產(chǎn)，由乙廠生產(chǎn)，由丙廠生產(chǎn)，又知甲、乙、丙三廠次品率分別為0.02，0.02，0.04。1、現(xiàn)從中任取一件產(chǎn)品，求取到次品的概率？2、現(xiàn)取到1件產(chǎn)品為次品，問它是甲、乙、丙三廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性大？解:(1)設(shè)B為”取得一件是次品”A1為”取得的一件產(chǎn)品來自于甲”A2為”取得的一件產(chǎn)品來自于乙”A3為”取得的一件產(chǎn)品來自于丙”顯然A1,A2,A3是導(dǎo)致B發(fā)生的原因,即B能且只能與A1,A2,A3之一同時發(fā)生.由于他們的次品率已知,即 而,這樣由全概率公式得到(2)為了比較那個可能性更大,我們要求來自于每個廠的概率四、（10分）設(shè)隨機向量（X、Y）的聯(lián)合概率分布律為YX01210.060.090.1520.140.21α1、求常數(shù)α2、求P{X=Y}，P{YC從而說明樣本計算的結(jié)果在拒絕域中，所以拒絕原假設(shè)，從而接受備擇假設(shè)，即乙機床更穩(wěn)定。九、（12分）根據(jù)某地區(qū)運貨量Y（億噸）與工業(yè)總產(chǎn)值X（百億元）的時間序列資料（xi，yi）。i=1，2，…，10，經(jīng)算得，，，，。 1、建立Y與X的樣本線性回歸方程2、對Y與X的線性相關(guān)性進行檢驗（α=0.05）附表：Φ(1.96)=0.975,Φ(2.4)=0.991802,Φ(3.6)=0.999841T～t(9)P{T<1.83}=0.95,P{T<2.26}=0.975F~F（6，8）P{F<3.58}=0.95P{F<4.32}=0.975F~F（7，9）P{F<3.29}=0.95P{F<4.20}=0.975F~F（1，8）P{F<5.32}=0.95P{F<7.57}=0.975相關(guān)系數(shù)檢驗：λ0.05(8)=0.632，λ0.05(9)=0.602，λ0.05(10)=0.57一、填空題（每小題3分，共15分）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立且具有同一分布律p{X=-1}=p{X=1}=1/2,則p{XY=1}=____1/2___。已知X的密度函數(shù)為，則DX=____0.5____。EX=1,X=N(1,)設(shè)隨機變量T服從t(n),則服從___F(1,n)____分布.設(shè)為來自總體的樣本,則服從____1/2t(4)___分布。設(shè)總體X~,則參數(shù)的最大似然估計量=_______。二、單項選擇題（每小題3分，共15分）１、設(shè)Ａ，Ｂ是兩個概率不為零的不相容事件，下列結(jié)論肯定正確的是（　D） 　(A)(B)p(AB)=P(A)P(B)(C)A與B相容(D)P(A-B)=P(A)2、設(shè)cov(X,Y)=(B)(A)-1(B)-2(C)2(D)13、設(shè)為來自總體X的樣本，且EX=μ>0，DX=>0,按無偏性，有效性標準，下列μ的點估計量中最好的是（C）(A)(B)(C)(D)4、在假設(shè)檢驗中，顯著性水平為，則下列等式正確的是（D）（A）（B）（C）（D）5、一元線性回歸模型是（C）（A）（B）（C）（D）三、（12分）一袋中裝有同樣大小的球10個，其中7個為黑球，3個白球，采用不放回每次取一球，求下列事件的概率。第三次才取到白球，前三次至少有一次取到白球。解：（1）設(shè)第i次得到白球為Ai，這樣第三次才取得白球的事件為這樣 現(xiàn)在，，所以（2）先求一次也沒有得到白球的概率，事件為其概率為這樣至少取得一次的概率為1－＊。四、（10分）設(shè)二維隨機變量（X，Y）具有概率密度函數(shù)確定常數(shù)k；求（X,Y）的邊緣密度函數(shù)；問X,Y是否獨立。解：(1)由于得到k=12,(2)邊緣密度為 （3）由于所以相互獨立！五、（8分）設(shè)隨機變量X的概率密度為求EX2。解：六、（8分）設(shè)總體X服從，抽取容量為16樣本，求。解：因為n=16,所以從而， 七、（10分）某種元件壽命X近似服從，抽查10只元件，測算出壽命樣本的標準差S=20。求元件的壽命方差σ2的置信水平0.95的置信區(qū)間。解：由于方差未知，八、（10分）某種商品的價格,某天在市場隨機抽查10件，得到該種商品價格的樣本均值元，樣本標準差=8元。問這天市場上，這種商品價格均值是否偏高？（α=0.05）九、（12分）據(jù)某地區(qū)居民收入X與消費支出Y的10組數(shù)據(jù),算得，，，，。建立Y與X的樣本線性回歸方程；檢驗Y與X的線性相關(guān)關(guān)系（α=0.05）。解：（1）由已知條件得到 這樣得到樣本線性回歸方程為：（2）計算樣本相關(guān)系數(shù)得拒絕原假設(shè)H0,說明x,y之間存在線性相關(guān)關(guān)系。附表：N（0，1）分布函數(shù)值x1.61．6451．962Φ(x)0.94520.950.9750.977T~t(8):p{T<1.86}=0.95p{T<2.31}=0.975T~t(9):p{T<1.83}=0.95p{T<2.26}=0.975P{}=0.025P{}=0.05P{}=0.1P{}=0.9P{}=0.95P{}=0.975P{}=0.025P{}=0.05P{}=0.1P{}=0.9P{}=0.95P{}=0.975p{F<5.32}=0.95p{F<7.57}=0.975相關(guān)系數(shù)檢驗：(8)=0.632(9)=0.602(10)=0.576 一、填空題：（3×5＝15）1、設(shè)兩事件A、B相互獨立，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，則P（A∪B）＝2、設(shè)隨機變量X~N（-2，4），則E（2X2+5X）=E｛2（X+2）2－3X－8｝＝2＊4＋6－8＝63、設(shè)（X1，X2，X3，X4）為來自正態(tài)總體，則服從t(2)分布4、設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)＝，而X1，X2…，Xn為來自總體X的樣本，則未知參數(shù)θ矩估計量為5、進行方差未知的單個正態(tài)總體的均值假設(shè)檢驗時，針對假設(shè)為，，可構(gòu)造的統(tǒng)計量為t分布，其拒絕域為二、單項選擇題（3×5＝15）1、設(shè)A、B為兩個互斥事件，且P(A)P(B)>0，則結(jié)論正確的是（C）（A）P(B|A)>0，（B）P(A|B)＝P(A)（C）P(A|B)＝0,（D）P(AB)＝P(A)P(B)2、設(shè)，則為（D）（A）0.3（B）0.4(C)0.5(D)0.63、X服從正態(tài)分布，EX＝-2，EX2＝5，，則服從的分布為（A）（A）（B）（C）（D）4、設(shè)為來自正態(tài)總體的樣本，均未知， 的置信水平0.95的置信區(qū)間為（B）（A）（B）（C）（D）5、在假設(shè)檢驗中，原假設(shè)H0，備擇假設(shè)H1，顯著性水平α，則檢驗的功效是指（B）（A）P{接受H0|H0不真}（B）P{拒絕H0|H0不真}（C）P{接受H0|H0真}（D）P{拒絕H0|H0真}三、（12分）同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠家供應(yīng)，由長期經(jīng)驗知，三家的正品率為0.95、0.90、0.80，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2：3：5，現(xiàn)已混合一起，1、從中任取一件，求此件產(chǎn)品為正品的概率。2、現(xiàn)取到1件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、乙、丙三個廠中哪個生產(chǎn)的可能性大？類似04－5A考題。解:(1)設(shè)B為”取得一件是正品”A1為”取得的一件產(chǎn)品來自于甲”A2為”取得的一件產(chǎn)品來自于乙”A3為”取得的一件產(chǎn)品來自于丙”顯然A1,A2,A3是導(dǎo)致B發(fā)生的原因,即B能且只能與A1,A2,A3之一同時發(fā)生.由于他們的次品率已知,即而,這樣由全概率公式得到 (2)為了比較那個可能性更大,我們要求來自于每個廠的概率來自于丙的概率更大?。。。?！四、（10分）設(shè)二維隨機向量（X，Y）具有概率密度為1、確定常數(shù)C；2、求（X，Y）的邊緣密度函數(shù)；3、問X，Y是否獨立。解：c=1五、（8分）設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為 和，求EY。六、（8分）設(shè)總體X服從，抽取容量為16的樣本，求.考過一次的!!!!!七、（10分）在一批元件中隨機抽取256個，測得其壽命X的樣本均值，樣本修正標準差S*＝，試對這批元件的壽命均值EX＝μ進行區(qū)間估計（α＝0.05）解:由于總體未知,采用大樣本由題意知n=256,,S*＝,對于給定的置信水平1-α=0.95,查表得到臨界值所以,μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(88-1.96*,88+1.96)即(86.04,89.96).即有95％的可靠性認為該批元件的壽命均值 在86.04和89.96小時之間。八、（10分）某個生產(chǎn)的滾珠直徑正常情況下服從N（1.5,σ2）分布，某日抽取10個，測算它樣本均值，樣本標準差S＝0.088。能否認為該日生產(chǎn)的滾珠直徑均值為1.5（α＝0.05）？九、（12分）抽樣考查松樹高度與直徑的關(guān)系，測得12棵松樹的高度為Y和直徑X之間觀測數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1,2,…,12,，，，，1、求Y與X的樣本線性回歸方程2、對Y與X的線性相關(guān)關(guān)系進行檢驗（α＝0.05）附表：N（0，1）分布函數(shù)值x1.61.6451.962Ф(x)0.94520.950.975.0.97725T~t(8)P{T,P{TT~t(9)P{T,P{Tχ2~χ2(15)P{χ2<6.26}=0.025,P{χ2,P{χ2F~F(1,10)P{F相關(guān)系數(shù)檢驗表：λ0.05(10)=0.576，λ0.05(11)=0.553，λ0.05(12)=0.5326 一．填空題（3分5＝15分）1.c=4,=,=。2.，＝，=0.5。3.，。EX=np,DX=npq4.，，。除以自由度5.棄真，納偽。棄真。二．單項選擇題（3分5＝15分）1．B；2．（D）；3．（A）要乘n；4．（D）；5．（C）三．（10分）解答：設(shè)＝第k個燈的亮燈個數(shù)，則01p且相互獨立，四．（10分）解答：設(shè)，，獨立同分布。所以據(jù)中心極限定理：或所以：＝ 五．（10分）解答：，，且，相互獨立所以：，即所以:=2[1-]＝2（1-0.921）＝0.158六．（10分）解答：所以：即：七．（10分）解答：為大樣本，，，的置信水平0.95的置信區(qū)間為：其一個實現(xiàn)為：， 八．（10分）解答：的拒絕域：3.3<8.1接受，認為新工藝處理后的方差與舊工藝相同。九．（10分）解答：（1）n=10所以：（2）＝0.9446認為。一．填空題（3分5＝15分）1.若為來自總體的樣本， 服從區(qū)間[0,2]上的均勻分布，則＝1,=1／6,=7／6。2.擲10枚均勻的硬幣，記＝正面向上的硬幣數(shù)，＝背面向上的硬幣數(shù)，則＝10＊（1／4），=-1，＝-10＊（1／4）。X+Y=103.若二維隨機向量，則＝0，=2，N(0,2)分布。4.設(shè)為來自總體的樣本，記，，，則分布，t(8)分布，F(xiàn)(8,8)分布。5.總體，。與分別為來自與的兩個相互獨立的樣本，給定顯著性水平，若檢驗的原假設(shè)，備擇假設(shè)，則檢驗用的統(tǒng)計量＝，在為真時F(8,10)分布，的拒絕域。期望已知p219二．單項選擇題（3分5＝15分）1．設(shè)有隨機變量與，且，，則的充分必要條件是（D）（A）與相互獨立（B）與不是相互獨立（C）（D）2．設(shè)總體,為來自的樣本，，則隨著的增大，（C）標準化了？（A）單調(diào)增加（B）單調(diào)減少（C）保持不變（D）不能確定 3．為來自總體的樣本，若＝，則（A）（A）0（B）1（C）（D）4．為來自總體的樣本，未知，下列區(qū)間哪一個不是的置信度0.95的置信區(qū)間（B）(下面的顯著水平和應(yīng)為1)（A）（B）（C）（D）5．設(shè)總體,為來自的樣本，原假設(shè)，備擇假設(shè)，顯著性水平，若在＝0.01下拒絕，則在＝0.05下，（A）（A）必拒絕（B）必接受（C）可能接受也可能拒絕（D）以上選項都不對三．（10分）設(shè)隨機變量，，與的相關(guān)系數(shù)=，隨機變量。（1）求，（2）求解：由題意知EZ=(1/3)EX+(1/2)EY=1/3DZ=(1/9)DX+(1/4)DY+2*(1/6)cov(X,Y)=1+4+2*(1/6)*(-1/2)*3*4=3Cov(Z,X)=E(Z-EZ)(X-EX)=E((1/3)X+(1/2)Y-(1/3))(X-EX) 四．（10分）某廠有同類機床400臺，某一時刻一臺機床停工的概率為0.2，各機床工作相互獨立，求該廠同時停工的車床數(shù)的分布，并求該廠同時停工的車床數(shù)在72至88之間的概率。（根據(jù)中心極限定理作近似計算）解：設(shè)X1，X2，…,X400為每一臺機床對應(yīng)是否停工的隨機變量，其取兩個值1為停工概率為0.2，否則為0，這樣停工的機床總數(shù)為X＝X1＋X2＋…＋X400由于機床工作相互獨立，所以X滿足二項分布B(400,0.2),又EXi=0.2*1+0.8*0i=1,…,400,DXi=0.2*0.8=0.16EX=400*0.2=80DX=400*0.16=64根據(jù)中心極限定理有,所以X在72至88之間的概率為答…..五．（10分）設(shè)總體,為來自總體的樣本，記，，（1）求，（2）求，解：（1）由題意知 （2）E(S2)=(n-1)/n4=(8/9)*4D(S2)=2/(n-1)*24=六．（10分）設(shè)總體的密度函數(shù)為為未知參數(shù)，為來自的樣本，求的最大似然估計量。解：由題意為了解題方便,取對數(shù)得得到一階條件所以得到最大似然估計量為:七．（10分）設(shè)輪胎壽命近似服從正態(tài)分布，抽取16只進行測試算得樣本均值，樣本修正均方差，試其壽命均值的置信度0.95的置信區(qū)間。解:由于方差未知,估計正態(tài)總體的均值,有這里,n=16,,,對于給定的置信度0.95,有 查表得:從而得到均值的置信區(qū)間為即八．（10分）某種藥物的指標正常情況下服從正態(tài)分布，某日抽查25個樣品，測得樣本方差，能否認為該日生產(chǎn)的藥物質(zhì)量不穩(wěn)定（方差增大）？（）單個總體檢驗方差，不考！九．（10分）據(jù)某地人均消費支出與人均收入的10組數(shù)據(jù)為，，算得：，，，，（1）建立的樣本線性回歸方程；（2）檢驗是否線性相關(guān)。（） 附表表1.分布函數(shù)值表x11.6451.9620.84130.950.9750.97725表2.r.v.，表3.r.v.,表4.相關(guān)系數(shù)檢驗表一、填空題（3×5=15）1．設(shè)互斥,已知2．為其分布函數(shù),則3．設(shè)隨機變量的概率密度為則。4．已知隨機變量則概率5．設(shè)總體的概率密度函數(shù)為，而為來自總體的樣本,則參數(shù)矩估計量為，參數(shù)矩估計量為 二、單項選擇題（3×5=15）1．設(shè)為為兩個隨機事件，則必有（）（A）（B）（C）（D）2．設(shè)隨機變量,則()分布(A)（C）（B）（D）3．設(shè)是來自總體的一個樣本，且按無偏性,有效性標準,下列的點估計量中最好的是（A）(B)(C)（D）4．在假設(shè)檢驗中，顯著性水平為則下列等式正確的是（）（A）（B）（C）（D）5．設(shè)為來自正態(tài)總體的樣本，已知，的置信水平0.95的置信區(qū)間為（） （A）（B）（C）（D）三、（計算題）（10分）將兩信息分別編碼為A和B傳送出去，接收站收到時，A被誤作B的概率為0.02，而B被誤作A的概率為0.01.信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1，若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？四．（計算題）（10分）袋中有分別標有1，2，3，4的四只小球，依次袋中任取二球（不放回抽?。?以分別表示第一次，第二次取到的球所標的數(shù)碼，求：（1）的聯(lián)合分布律;(2)關(guān)于的邊緣分布律，且判斷隨機變量與是否相互獨立五、計算題：（10）設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為已知EX=1,求（1）A,B的值；（2）設(shè)求EY,DY.六、（計算題）（10分）已知某種電子元件的使用壽命服從指數(shù)分布，其分布密度為 試求未知參數(shù)的最大似然估計量七、計算題：（10分）某糖廠用自動打包糖果，設(shè)每包糖果的重量服從正態(tài)分布，從包裝的糖果中隨機抽測9包，獲得每包的重量數(shù)據(jù)（單位：克）如下：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，由樣本值計算得樣本方差求每包糖果平均重量的0.95的置信區(qū)間八、計算題（10）有兩臺機床生產(chǎn)同一型號的滾珠，滾珠直徑近似服從正態(tài)分布，從這兩臺機床的產(chǎn)品中分別抽取7個和9個，測得滾珠直徑如下：甲機床：15.2，14.5，15.5，14.8，15.1，15.6，14.7乙機床：15.0，15.2，14.8，15.2，14.9，15.1，14.8，15.3，15.0由樣本值計算得問乙機床產(chǎn)品是否更穩(wěn)定（取九、計算題：（10分）為判斷食品支出與城市居民家庭收入之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系,抽查了10個城市的數(shù)據(jù),由調(diào)查數(shù)據(jù)算得，，，，。1、建立食品支出對城市家庭收入的樣本線性回歸方程 2、利用相關(guān)系數(shù)檢驗食品支出與城市家庭收入是否線性相關(guān)驗（α=0.05）附表：Φ(1)=0.8413,Φ(1.41)=0.921,Φ(1.645)=0.95Φ(1.96)=0.975Φ(2)=0.97725相關(guān)系數(shù)檢驗：λ0.05(8)=0.632，λ0.05(9)=0.602，λ0.05(10)=0.576一．填空題1.0.42.13.3/24.0.68265.二．單項選擇題ABCDD三計算題解：設(shè)C表示事件“將信息A傳遞出去”則事件“將信息B傳遞出去”以D表示事件“接收到信息A”則事件“接收到信息B”（2分） 依題意知：(4分)根據(jù)逆概公式：（8分）（10分）四．計算題：解：（1）隨機向量的可能取值為（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,(1分)（6分）的聯(lián)合發(fā)布律1234101/121/121/1221/1201/121/1231/121/1201/1241/121/121/120（7分）（2）關(guān)于的邊緣分布律 12341/41/41/41/4(8分)12341/41/41/41/4(9分)不相互獨立(10分)五、計算題解：（1）由可得：（2分）由可得：（4分）(5分)（2）(6分)(7分)(8分)(10分)六．計算題解：設(shè)樣本的一組觀測值為則似然函數(shù)為:(1分)(4分)當時,對數(shù)似然函數(shù)為:(6分) 令(8分)解得:(9分)未知參數(shù)的最大似然估計量:(10分)七.計算題:解:方差未知,估計正態(tài)總體均值的置信區(qū)間因為（4分）由于由分布臨界值可查得臨界值（5分）所以的置信度為0.95的置信區(qū)間為（8分）即(99.05,100.91),于是在置信水平0.95下每包糖果平均重量的0.95的置信區(qū)間為(99.05,100.91)（10分）八.計算題解:設(shè)甲,乙兩機床的產(chǎn)品直徑分別為檢驗等價于檢驗（2分）構(gòu)造統(tǒng)計量（4分）的拒絕域:查表得：（6分）由樣本數(shù)據(jù)算的：（8分）拒絕，認為乙機床產(chǎn)品比甲機床更穩(wěn)定。（10分）九．計算題 （7分）（2）（8分）查表得：（9分）拒絕，即認為食品支出域城市家庭收入之間存在線性相關(guān)關(guān)系。（10分）