大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末考試試題
ID:51733 2021-10-17 1 20.00元 33頁 390.67 KB
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大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末考試試題一、填空題(3×5=15)1.設(shè)A,B互斥,已知P(A)=α,P(B)=β,則α2.設(shè)DX=4,DY=9,D(2X-3Y)=61,則ρXY=1/23.設(shè)為來自正態(tài)總體的樣本,則服從t(3)分布4.設(shè)總體X~P(λ)(泊松分布),則=矩估計量5.已知總體X~N(μ,),(X1,…,Xm)是來自X的樣本,其樣本修正方差為。當μ未知時,對假設(shè)H0,,H1:進行檢驗,這時可構(gòu)造統(tǒng)計量,其拒絕域為應(yīng)該給出顯著水平二、單項選擇題(3×5=15)1.由0,1,2,…,9共10個數(shù)字組成7位的電話號碼,A=“不含數(shù)字8和9”,則P(A)=(D)(A)(B)(C)(D)2.若(X,Y)~N(μ1,μ2;,;ρ),下列命題錯誤的是(D)(A)X~N(μ1,)且Y~N(μ2,)(B)若X,Y獨立,則X、Y不相關(guān)(C)若X、Y不相關(guān),則X、Y獨立(D)f(x,y)=fX(x)fY(y)對任意的x∈R,y∈R,成立,其中fX(x),fY(y)分別是X與Y的密度,f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合密度3.設(shè)X1,X2,…Xn,為正態(tài)總體(μ,σ2), 分別為樣本均值,樣本方差,樣本修正方差,則(C)(A)(B)(C)(D)4.設(shè)隨機變量T~t(n),則~(B)分布(A)χ2(n)(B)F(n,1)(C)F(1,n)(D)F(n-1,1)5.對正態(tài)總體的均值μ進行假設(shè)檢驗,如果在顯著性水平0.05下,接受原假設(shè)H0:μ=μ0,那么在顯著性水平0.01下,下列結(jié)論正確的是(A)(A)必接受H0(B)可能接受H0也可能拒絕H0(C)必拒絕H0(D)不接受,也不拒絕H0三、(12分)設(shè)有一箱同規(guī)格的產(chǎn)品,已知其中由甲廠生產(chǎn),由乙廠生產(chǎn),由丙廠生產(chǎn),又知甲、乙、丙三廠次品率分別為0.02,0.02,0.04。1、現(xiàn)從中任取一件產(chǎn)品,求取到次品的概率?2、現(xiàn)取到1件產(chǎn)品為次品,問它是甲、乙、丙三廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性大?解:(1)設(shè)B為”取得一件是次品”A1為”取得的一件產(chǎn)品來自于甲”A2為”取得的一件產(chǎn)品來自于乙”A3為”取得的一件產(chǎn)品來自于丙”顯然A1,A2,A3是導(dǎo)致B發(fā)生的原因,即B能且只能與A1,A2,A3之一同時發(fā)生.由于他們的次品率已知,即 而,這樣由全概率公式得到(2)為了比較那個可能性更大,我們要求來自于每個廠的概率四、(10分)設(shè)隨機向量(X、Y)的聯(lián)合概率分布律為YX01210.060.090.1520.140.21α1、求常數(shù)α2、求P{X=Y},P{YC從而說明樣本計算的結(jié)果在拒絕域中,所以拒絕原假設(shè),從而接受備擇假設(shè),即乙機床更穩(wěn)定。九、(12分)根據(jù)某地區(qū)運貨量Y(億噸)與工業(yè)總產(chǎn)值X(百億元)的時間序列資料(xi,yi)。i=1,2,…,10,經(jīng)算得,,,,。 1、建立Y與X的樣本線性回歸方程2、對Y與X的線性相關(guān)性進行檢驗(α=0.05)附表:Φ(1.96)=0.975,Φ(2.4)=0.991802,Φ(3.6)=0.999841T~t(9)P{T<1.83}=0.95,P{T<2.26}=0.975F~F(6,8)P{F<3.58}=0.95P{F<4.32}=0.975F~F(7,9)P{F<3.29}=0.95P{F<4.20}=0.975F~F(1,8)P{F<5.32}=0.95P{F<7.57}=0.975相關(guān)系數(shù)檢驗:λ0.05(8)=0.632,λ0.05(9)=0.602,λ0.05(10)=0.57一、填空題(每小題3分,共15分)設(shè)隨機變量X與Y相互獨立且具有同一分布律p{X=-1}=p{X=1}=1/2,則p{XY=1}=____1/2___。已知X的密度函數(shù)為,則DX=____0.5____。EX=1,X=N(1,)設(shè)隨機變量T服從t(n),則服從___F(1,n)____分布.設(shè)為來自總體的樣本,則服從____1/2t(4)___分布。設(shè)總體X~,則參數(shù)的最大似然估計量=_______。二、單項選擇題(每小題3分,共15分)1、設(shè)A,B是兩個概率不為零的不相容事件,下列結(jié)論肯定正確的是( D)  (A)(B)p(AB)=P(A)P(B)(C)A與B相容(D)P(A-B)=P(A)2、設(shè)cov(X,Y)=(B)(A)-1(B)-2(C)2(D)13、設(shè)為來自總體X的樣本,且EX=μ>0,DX=>0,按無偏性,有效性標準,下列μ的點估計量中最好的是(C)(A)(B)(C)(D)4、在假設(shè)檢驗中,顯著性水平為,則下列等式正確的是(D)(A)(B)(C)(D)5、一元線性回歸模型是(C)(A)(B)(C)(D)三、(12分)一袋中裝有同樣大小的球10個,其中7個為黑球,3個白球,采用不放回每次取一球,求下列事件的概率。第三次才取到白球,前三次至少有一次取到白球。解:(1)設(shè)第i次得到白球為Ai,這樣第三次才取得白球的事件為這樣 現(xiàn)在,,所以(2)先求一次也沒有得到白球的概率,事件為其概率為這樣至少取得一次的概率為1-*。四、(10分)設(shè)二維隨機變量(X,Y)具有概率密度函數(shù)確定常數(shù)k;求(X,Y)的邊緣密度函數(shù);問X,Y是否獨立。解:(1)由于得到k=12,(2)邊緣密度為 (3)由于所以相互獨立!五、(8分)設(shè)隨機變量X的概率密度為求EX2。解:六、(8分)設(shè)總體X服從,抽取容量為16樣本,求。解:因為n=16,所以從而, 七、(10分)某種元件壽命X近似服從,抽查10只元件,測算出壽命樣本的標準差S=20。求元件的壽命方差σ2的置信水平0.95的置信區(qū)間。解:由于方差未知,八、(10分)某種商品的價格,某天在市場隨機抽查10件,得到該種商品價格的樣本均值元,樣本標準差=8元。問這天市場上,這種商品價格均值是否偏高?(α=0.05)九、(12分)據(jù)某地區(qū)居民收入X與消費支出Y的10組數(shù)據(jù),算得,,,,。建立Y與X的樣本線性回歸方程;檢驗Y與X的線性相關(guān)關(guān)系(α=0.05)。解:(1)由已知條件得到 這樣得到樣本線性回歸方程為:(2)計算樣本相關(guān)系數(shù)得拒絕原假設(shè)H0,說明x,y之間存在線性相關(guān)關(guān)系。附表:N(0,1)分布函數(shù)值x1.61.6451.962Φ(x)0.94520.950.9750.977T~t(8):p{T<1.86}=0.95p{T<2.31}=0.975T~t(9):p{T<1.83}=0.95p{T<2.26}=0.975P{}=0.025P{}=0.05P{}=0.1P{}=0.9P{}=0.95P{}=0.975P{}=0.025P{}=0.05P{}=0.1P{}=0.9P{}=0.95P{}=0.975p{F<5.32}=0.95p{F<7.57}=0.975相關(guān)系數(shù)檢驗:(8)=0.632(9)=0.602(10)=0.576 一、填空題:(3×5=15)1、設(shè)兩事件A、B相互獨立,且P(A)=0.3,P(B)=0.4,則P(A∪B)=2、設(shè)隨機變量X~N(-2,4),則E(2X2+5X)=E{2(X+2)2-3X-8}=2*4+6-8=63、設(shè)(X1,X2,X3,X4)為來自正態(tài)總體,則服從t(2)分布4、設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)=,而X1,X2…,Xn為來自總體X的樣本,則未知參數(shù)θ矩估計量為5、進行方差未知的單個正態(tài)總體的均值假設(shè)檢驗時,針對假設(shè)為,,可構(gòu)造的統(tǒng)計量為t分布,其拒絕域為二、單項選擇題(3×5=15)1、設(shè)A、B為兩個互斥事件,且P(A)P(B)>0,則結(jié)論正確的是(C)(A)P(B|A)>0,(B)P(A|B)=P(A)(C)P(A|B)=0,(D)P(AB)=P(A)P(B)2、設(shè),則為(D)(A)0.3(B)0.4(C)0.5(D)0.63、X服從正態(tài)分布,EX=-2,EX2=5,,則服從的分布為(A)(A)(B)(C)(D)4、設(shè)為來自正態(tài)總體的樣本,均未知, 的置信水平0.95的置信區(qū)間為(B)(A)(B)(C)(D)5、在假設(shè)檢驗中,原假設(shè)H0,備擇假設(shè)H1,顯著性水平α,則檢驗的功效是指(B)(A)P{接受H0|H0不真}(B)P{拒絕H0|H0不真}(C)P{接受H0|H0真}(D)P{拒絕H0|H0真}三、(12分)同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠家供應(yīng),由長期經(jīng)驗知,三家的正品率為0.95、0.90、0.80,三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2:3:5,現(xiàn)已混合一起,1、從中任取一件,求此件產(chǎn)品為正品的概率。2、現(xiàn)取到1件產(chǎn)品為正品,問它是由甲、乙、丙三個廠中哪個生產(chǎn)的可能性大?類似04-5A考題。解:(1)設(shè)B為”取得一件是正品”A1為”取得的一件產(chǎn)品來自于甲”A2為”取得的一件產(chǎn)品來自于乙”A3為”取得的一件產(chǎn)品來自于丙”顯然A1,A2,A3是導(dǎo)致B發(fā)生的原因,即B能且只能與A1,A2,A3之一同時發(fā)生.由于他們的次品率已知,即而,這樣由全概率公式得到 (2)為了比較那個可能性更大,我們要求來自于每個廠的概率來自于丙的概率更大?。。。?!四、(10分)設(shè)二維隨機向量(X,Y)具有概率密度為1、確定常數(shù)C;2、求(X,Y)的邊緣密度函數(shù);3、問X,Y是否獨立。解:c=1五、(8分)設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為 和,求EY。六、(8分)設(shè)總體X服從,抽取容量為16的樣本,求.考過一次的!!!!!七、(10分)在一批元件中隨機抽取256個,測得其壽命X的樣本均值,樣本修正標準差S*=,試對這批元件的壽命均值EX=μ進行區(qū)間估計(α=0.05)解:由于總體未知,采用大樣本由題意知n=256,,S*=,對于給定的置信水平1-α=0.95,查表得到臨界值所以,μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(88-1.96*,88+1.96)即(86.04,89.96).即有95%的可靠性認為該批元件的壽命均值 在86.04和89.96小時之間。八、(10分)某個生產(chǎn)的滾珠直徑正常情況下服從N(1.5,σ2)分布,某日抽取10個,測算它樣本均值,樣本標準差S=0.088。能否認為該日生產(chǎn)的滾珠直徑均值為1.5(α=0.05)?九、(12分)抽樣考查松樹高度與直徑的關(guān)系,測得12棵松樹的高度為Y和直徑X之間觀測數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,…,12,,,,,1、求Y與X的樣本線性回歸方程2、對Y與X的線性相關(guān)關(guān)系進行檢驗(α=0.05)附表:N(0,1)分布函數(shù)值x1.61.6451.962Ф(x)0.94520.950.975.0.97725T~t(8)P{T,P{TT~t(9)P{T,P{Tχ2~χ2(15)P{χ2<6.26}=0.025,P{χ2,P{χ2F~F(1,10)P{F相關(guān)系數(shù)檢驗表:λ0.05(10)=0.576,λ0.05(11)=0.553,λ0.05(12)=0.5326 一.填空題(3分5=15分)1.c=4,=,=。2.,=,=0.5。3.,。EX=np,DX=npq4.,,。除以自由度5.棄真,納偽。棄真。二.單項選擇題(3分5=15分)1.B;2.(D);3.(A)要乘n;4.(D);5.(C)三.(10分)解答:設(shè)=第k個燈的亮燈個數(shù),則01p且相互獨立,四.(10分)解答:設(shè),,獨立同分布。所以據(jù)中心極限定理:或所以:= 五.(10分)解答:,,且,相互獨立所以:,即所以:=2[1-]=2(1-0.921)=0.158六.(10分)解答:所以:即:七.(10分)解答:為大樣本,,,的置信水平0.95的置信區(qū)間為:其一個實現(xiàn)為:, 八.(10分)解答:的拒絕域:3.3<8.1接受,認為新工藝處理后的方差與舊工藝相同。九.(10分)解答:(1)n=10所以:(2)=0.9446認為。一.填空題(3分5=15分)1.若為來自總體的樣本, 服從區(qū)間[0,2]上的均勻分布,則=1,=1/6,=7/6。2.擲10枚均勻的硬幣,記=正面向上的硬幣數(shù),=背面向上的硬幣數(shù),則=10*(1/4),=-1,=-10*(1/4)。X+Y=103.若二維隨機向量,則=0,=2,N(0,2)分布。4.設(shè)為來自總體的樣本,記,,,則分布,t(8)分布,F(xiàn)(8,8)分布。5.總體,。與分別為來自與的兩個相互獨立的樣本,給定顯著性水平,若檢驗的原假設(shè),備擇假設(shè),則檢驗用的統(tǒng)計量=,在為真時F(8,10)分布,的拒絕域。期望已知p219二.單項選擇題(3分5=15分)1.設(shè)有隨機變量與,且,,則的充分必要條件是(D)(A)與相互獨立(B)與不是相互獨立(C)(D)2.設(shè)總體,為來自的樣本,,則隨著的增大,(C)標準化了?(A)單調(diào)增加(B)單調(diào)減少(C)保持不變(D)不能確定 3.為來自總體的樣本,若=,則(A)(A)0(B)1(C)(D)4.為來自總體的樣本,未知,下列區(qū)間哪一個不是的置信度0.95的置信區(qū)間(B)(下面的顯著水平和應(yīng)為1)(A)(B)(C)(D)5.設(shè)總體,為來自的樣本,原假設(shè),備擇假設(shè),顯著性水平,若在=0.01下拒絕,則在=0.05下,(A)(A)必拒絕(B)必接受(C)可能接受也可能拒絕(D)以上選項都不對三.(10分)設(shè)隨機變量,,與的相關(guān)系數(shù)=,隨機變量。(1)求,(2)求解:由題意知EZ=(1/3)EX+(1/2)EY=1/3DZ=(1/9)DX+(1/4)DY+2*(1/6)cov(X,Y)=1+4+2*(1/6)*(-1/2)*3*4=3Cov(Z,X)=E(Z-EZ)(X-EX)=E((1/3)X+(1/2)Y-(1/3))(X-EX) 四.(10分)某廠有同類機床400臺,某一時刻一臺機床停工的概率為0.2,各機床工作相互獨立,求該廠同時停工的車床數(shù)的分布,并求該廠同時停工的車床數(shù)在72至88之間的概率。(根據(jù)中心極限定理作近似計算)解:設(shè)X1,X2,…,X400為每一臺機床對應(yīng)是否停工的隨機變量,其取兩個值1為停工概率為0.2,否則為0,這樣停工的機床總數(shù)為X=X1+X2+…+X400由于機床工作相互獨立,所以X滿足二項分布B(400,0.2),又EXi=0.2*1+0.8*0i=1,…,400,DXi=0.2*0.8=0.16EX=400*0.2=80DX=400*0.16=64根據(jù)中心極限定理有,所以X在72至88之間的概率為答…..五.(10分)設(shè)總體,為來自總體的樣本,記,,(1)求,(2)求,解:(1)由題意知 (2)E(S2)=(n-1)/n4=(8/9)*4D(S2)=2/(n-1)*24=六.(10分)設(shè)總體的密度函數(shù)為為未知參數(shù),為來自的樣本,求的最大似然估計量。解:由題意為了解題方便,取對數(shù)得得到一階條件所以得到最大似然估計量為:七.(10分)設(shè)輪胎壽命近似服從正態(tài)分布,抽取16只進行測試算得樣本均值,樣本修正均方差,試其壽命均值的置信度0.95的置信區(qū)間。解:由于方差未知,估計正態(tài)總體的均值,有這里,n=16,,,對于給定的置信度0.95,有 查表得:從而得到均值的置信區(qū)間為即八.(10分)某種藥物的指標正常情況下服從正態(tài)分布,某日抽查25個樣品,測得樣本方差,能否認為該日生產(chǎn)的藥物質(zhì)量不穩(wěn)定(方差增大)?()單個總體檢驗方差,不考!九.(10分)據(jù)某地人均消費支出與人均收入的10組數(shù)據(jù)為,,算得:,,,,(1)建立的樣本線性回歸方程;(2)檢驗是否線性相關(guān)。() 附表表1.分布函數(shù)值表x11.6451.9620.84130.950.9750.97725表2.r.v.,表3.r.v.,表4.相關(guān)系數(shù)檢驗表一、填空題(3×5=15)1.設(shè)互斥,已知2.為其分布函數(shù),則3.設(shè)隨機變量的概率密度為則。4.已知隨機變量則概率5.設(shè)總體的概率密度函數(shù)為,而為來自總體的樣本,則參數(shù)矩估計量為,參數(shù)矩估計量為 二、單項選擇題(3×5=15)1.設(shè)為為兩個隨機事件,則必有()(A)(B)(C)(D)2.設(shè)隨機變量,則()分布(A)(C)(B)(D)3.設(shè)是來自總體的一個樣本,且按無偏性,有效性標準,下列的點估計量中最好的是(A)(B)(C)(D)4.在假設(shè)檢驗中,顯著性水平為則下列等式正確的是()(A)(B)(C)(D)5.設(shè)為來自正態(tài)總體的樣本,已知,的置信水平0.95的置信區(qū)間為() (A)(B)(C)(D)三、(計算題)(10分)將兩信息分別編碼為A和B傳送出去,接收站收到時,A被誤作B的概率為0.02,而B被誤作A的概率為0.01.信息A與信息B傳送的頻繁程度為2:1,若接收站收到的信息是A,問原發(fā)信息是A的概率是多少?四.(計算題)(10分)袋中有分別標有1,2,3,4的四只小球,依次袋中任取二球(不放回抽?。?以分別表示第一次,第二次取到的球所標的數(shù)碼,求:(1)的聯(lián)合分布律;(2)關(guān)于的邊緣分布律,且判斷隨機變量與是否相互獨立五、計算題:(10)設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為已知EX=1,求(1)A,B的值;(2)設(shè)求EY,DY.六、(計算題)(10分)已知某種電子元件的使用壽命服從指數(shù)分布,其分布密度為 試求未知參數(shù)的最大似然估計量七、計算題:(10分)某糖廠用自動打包糖果,設(shè)每包糖果的重量服從正態(tài)分布,從包裝的糖果中隨機抽測9包,獲得每包的重量數(shù)據(jù)(單位:克)如下:99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5,由樣本值計算得樣本方差求每包糖果平均重量的0.95的置信區(qū)間八、計算題(10)有兩臺機床生產(chǎn)同一型號的滾珠,滾珠直徑近似服從正態(tài)分布,從這兩臺機床的產(chǎn)品中分別抽取7個和9個,測得滾珠直徑如下:甲機床:15.2,14.5,15.5,14.8,15.1,15.6,14.7乙機床:15.0,15.2,14.8,15.2,14.9,15.1,14.8,15.3,15.0由樣本值計算得問乙機床產(chǎn)品是否更穩(wěn)定(取九、計算題:(10分)為判斷食品支出與城市居民家庭收入之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系,抽查了10個城市的數(shù)據(jù),由調(diào)查數(shù)據(jù)算得,,,,。1、建立食品支出對城市家庭收入的樣本線性回歸方程 2、利用相關(guān)系數(shù)檢驗食品支出與城市家庭收入是否線性相關(guān)驗(α=0.05)附表:Φ(1)=0.8413,Φ(1.41)=0.921,Φ(1.645)=0.95Φ(1.96)=0.975Φ(2)=0.97725相關(guān)系數(shù)檢驗:λ0.05(8)=0.632,λ0.05(9)=0.602,λ0.05(10)=0.576一.填空題1.0.42.13.3/24.0.68265.二.單項選擇題ABCDD三計算題解:設(shè)C表示事件“將信息A傳遞出去”則事件“將信息B傳遞出去”以D表示事件“接收到信息A”則事件“接收到信息B”(2分) 依題意知:(4分)根據(jù)逆概公式:(8分)(10分)四.計算題:解:(1)隨機向量的可能取值為(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(1分)(6分)的聯(lián)合發(fā)布律1234101/121/121/1221/1201/121/1231/121/1201/1241/121/121/120(7分)(2)關(guān)于的邊緣分布律 12341/41/41/41/4(8分)12341/41/41/41/4(9分)不相互獨立(10分)五、計算題解:(1)由可得:(2分)由可得:(4分)(5分)(2)(6分)(7分)(8分)(10分)六.計算題解:設(shè)樣本的一組觀測值為則似然函數(shù)為:(1分)(4分)當時,對數(shù)似然函數(shù)為:(6分) 令(8分)解得:(9分)未知參數(shù)的最大似然估計量:(10分)七.計算題:解:方差未知,估計正態(tài)總體均值的置信區(qū)間因為(4分)由于由分布臨界值可查得臨界值(5分)所以的置信度為0.95的置信區(qū)間為(8分)即(99.05,100.91),于是在置信水平0.95下每包糖果平均重量的0.95的置信區(qū)間為(99.05,100.91)(10分)八.計算題解:設(shè)甲,乙兩機床的產(chǎn)品直徑分別為檢驗等價于檢驗(2分)構(gòu)造統(tǒng)計量(4分)的拒絕域:查表得:(6分)由樣本數(shù)據(jù)算的:(8分)拒絕,認為乙機床產(chǎn)品比甲機床更穩(wěn)定。(10分)九.計算題 (7分)(2)(8分)查表得:(9分)拒絕,即認為食品支出域城市家庭收入之間存在線性相關(guān)關(guān)系。(10分)
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大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末考試試題