初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全人教版北師大初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全人們從來(lái)就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問(wèn)題的，當(dāng)問(wèn)題的條件不夠時(shí)，添加輔助線(xiàn)構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問(wèn)題，這是解決問(wèn)題常用的策略。一．添輔助線(xiàn)有二種情況：1按定義添輔助線(xiàn)：如證明二直線(xiàn)垂直可延長(zhǎng)使它們,相交后證交角為90°；證線(xiàn)段倍半關(guān)系可倍線(xiàn)段取中點(diǎn)或半線(xiàn)段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類(lèi)似添輔助線(xiàn)。2按基本圖形添輔助線(xiàn)：每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線(xiàn)往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線(xiàn)”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線(xiàn)，添輔助線(xiàn)也有規(guī)律可循。舉例如下：（1）平行線(xiàn)是個(gè)基本圖形：當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線(xiàn)時(shí)添輔助線(xiàn)的關(guān)鍵是添與二條平行線(xiàn)都相交的等第三條直線(xiàn)（2）等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形：當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線(xiàn)段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線(xiàn)與平行線(xiàn)組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線(xiàn)與角的二邊相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要線(xiàn)段是個(gè)重要的基本圖形：4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線(xiàn)；出現(xiàn)角平分線(xiàn)與垂線(xiàn)組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線(xiàn)與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線(xiàn)段的基本圖形。（4）直角三角形斜邊上中線(xiàn)基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線(xiàn)。出現(xiàn)線(xiàn)段倍半關(guān)系且倍線(xiàn)段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線(xiàn)得直角三角形斜邊上中線(xiàn)基本圖形。（5）三角形中位線(xiàn)基本圖形幾何問(wèn)題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線(xiàn)基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒(méi)有中位線(xiàn)時(shí)則添中位線(xiàn)，當(dāng)有中位線(xiàn)三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線(xiàn)段倍半關(guān)系且與倍線(xiàn)段有公共端點(diǎn)的線(xiàn)段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過(guò)這中點(diǎn)添倍線(xiàn)段的平行線(xiàn)得三角形中位線(xiàn)基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線(xiàn)段倍半關(guān)系且與半線(xiàn)段的端點(diǎn)是某線(xiàn)段的中點(diǎn)，則可過(guò)帶中點(diǎn)線(xiàn)段的端點(diǎn)添半線(xiàn)段的平行線(xiàn)得三角形中位線(xiàn)基本圖形。（6）全等三角形：全等三角形有軸對(duì)稱(chēng)形，中心對(duì)稱(chēng)形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線(xiàn)段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)就可以添加軸對(duì)稱(chēng)形全等三角形：或添對(duì)稱(chēng)軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱(chēng)軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一組或兩組相等線(xiàn)段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線(xiàn)時(shí)可添加中心對(duì)稱(chēng)形全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過(guò)二端點(diǎn)添平行線(xiàn)（7）相似三角形：相似三角形有平行線(xiàn)型（帶平行線(xiàn)的相似三角形），相交線(xiàn)型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線(xiàn)段重疊在一直線(xiàn)上時(shí)（中點(diǎn)可看成比為1）可添加平行線(xiàn)得平行線(xiàn)型相似三角形。若平行線(xiàn)過(guò)端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線(xiàn)段為平行方向，這類(lèi)題目中往往有多種淺線(xiàn)方法。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全（8）特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2；30度角直角三角形三邊比為1：2：√3進(jìn)行證明（9）半圓上的圓周角出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對(duì)弦---直徑；平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。二．基本圖形的輔助線(xiàn)的畫(huà)法1.三角形問(wèn)題添加輔助線(xiàn)方法方法1：有關(guān)三角形中線(xiàn)的題目，常將中線(xiàn)加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線(xiàn)，通過(guò)這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問(wèn)題。方法2：含有平分線(xiàn)的題目，常以角平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。方法3：結(jié)論是兩線(xiàn)段相等的題目常畫(huà)輔助線(xiàn)構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線(xiàn)段的一些定理。方法4：結(jié)論是一條線(xiàn)段與另一條線(xiàn)段之和等于第三條線(xiàn)段這類(lèi)題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線(xiàn)段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線(xiàn)段，而另一部分等于第二條線(xiàn)段。2.平行四邊形中常用輔助線(xiàn)的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線(xiàn)都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線(xiàn)方法上也有共同之處，目的都是造就線(xiàn)段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全（1）連對(duì)角線(xiàn)或平移對(duì)角線(xiàn)：（2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形（3）連接對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)作一邊的平行線(xiàn)，構(gòu)造線(xiàn)段平行或中位線(xiàn)（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線(xiàn)段或延長(zhǎng)這條線(xiàn)段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線(xiàn)的垂線(xiàn)，構(gòu)成線(xiàn)段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線(xiàn)的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助線(xiàn)的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線(xiàn)有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長(zhǎng)兩腰（5）過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高（6）平移對(duì)角線(xiàn)（7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。（8）過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線(xiàn)。（9）作中位線(xiàn)當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線(xiàn)并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線(xiàn)這座橋梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。4.圓中常用輔助線(xiàn)的添法4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線(xiàn)的一般規(guī)律和常見(jiàn)方法，對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是大有幫助的。（1）見(jiàn)弦作弦心距有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距（有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑），通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。（2）見(jiàn)直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用"直徑所對(duì)的圓周角是直角"這一特征來(lái)證明問(wèn)題。（3）見(jiàn)切線(xiàn)作半徑命題的條件中含有圓的切線(xiàn)，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用"切線(xiàn)與半徑垂直"這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。（4）兩圓相切作公切線(xiàn)對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線(xiàn)或作它們的連心線(xiàn)，通過(guò)公切線(xiàn)可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。（5）兩圓相交作公共弦對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全作輔助線(xiàn)的方法一：中點(diǎn)、中位線(xiàn)，延線(xiàn)，平行線(xiàn)。如遇條件中有中點(diǎn)，中線(xiàn)、中位線(xiàn)等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)或中位線(xiàn)作輔助線(xiàn)，使延長(zhǎng)的某一段等于中線(xiàn)或中位線(xiàn)；另一種輔助線(xiàn)是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線(xiàn)段的平行線(xiàn)，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。二：垂線(xiàn)、分角線(xiàn)，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線(xiàn)或角的平分線(xiàn)，可以把圖形按軸對(duì)稱(chēng)的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時(shí)輔助線(xiàn)的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)軸往往是垂線(xiàn)或角的平分線(xiàn)。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線(xiàn)的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)中心，因題而異，有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見(jiàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線(xiàn)段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線(xiàn)段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見(jiàn)?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線(xiàn)分別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線(xiàn)往往是連心線(xiàn)或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線(xiàn)。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線(xiàn)往往是連心線(xiàn)或內(nèi)外公切線(xiàn)。七：切線(xiàn)連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線(xiàn)，那么輔助線(xiàn)是過(guò)切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線(xiàn)是過(guò)直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線(xiàn)。即切線(xiàn)與直徑互為輔助線(xiàn)。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線(xiàn)往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線(xiàn)。即直角與半圓互為輔助線(xiàn)。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線(xiàn)；如遇弦，則弦心距為輔助線(xiàn)。如遇平行線(xiàn)，則平行線(xiàn)間的距離相等，距離為輔助線(xiàn)；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線(xiàn)間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線(xiàn)，反之，亦成立。有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線(xiàn)。九：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線(xiàn)段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線(xiàn)，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線(xiàn)的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄?141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全三角形中作輔助線(xiàn)的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線(xiàn)段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC（法二：）如圖1-2，延長(zhǎng)BD交AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB＋AF＞BD＋DG＋GF?（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）由（1）＋（2）＋（3）得：AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC＞∠BAC。分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同一個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC證法二：連接AD，并延長(zhǎng)交BC于F∵∠BDF是△ABD的外角∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD即：∠BDC＞∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線(xiàn)時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線(xiàn)，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF。分析：要證BE＋CF＞EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個(gè)三角形中。證明：在DA上截取DN＝DB，連接NE，NF，則DN＝DC，在△DBE和△DNE中：∵∴△DBE≌△DNE（SAS）∴BE＝NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF＝NF在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE＋CF＞EF。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全注意：當(dāng)證題有角平分線(xiàn)時(shí)，常可考慮在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。四、有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1：AD為△ABC的中線(xiàn)，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BE＋CF＞EF證明：延長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在△BDE和△CDM中，∵∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定義）∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°∴∠FDM＝∠EDF＝90°在△EDF和△MDF中∵∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF＝MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE＋CF＞EF注：上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線(xiàn)時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1：AD為△ABC的中線(xiàn)，求證：AB＋AC＞2AD。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到：AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結(jié)論多BD＋CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線(xiàn)，把所要證的線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE＝2AD∵AD為△ABC的中線(xiàn)（已知）∴BD＝CD（中線(xiàn)定義）在△ACD和△EBD中∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE＝CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形兩邊之和大于第三邊）∴AB＋AC＞2AD。（常延長(zhǎng)中線(xiàn)加倍，構(gòu)造全等三角形）練習(xí)：已知△ABC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF＝2AD。六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線(xiàn)。例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任一點(diǎn)。求證：AB－AC＞PB－PC。分析：要證：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線(xiàn)段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，再連接PN，則PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN＝AC連接PN,在△APN和△APC中4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全∵∴△APN≌△APC（SAS）∴PC＝PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PB－PN＜BN（三角形兩邊之差小于第三邊）∴BP－PC＜AB－AC證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至M，使AM＝AB，連接PM，在△ABP和△AMP中∵∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB＝PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形兩邊之差小于第三邊)∴AB－AC＞PB－PC。七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求證：AD＝BC分析：欲證AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)DA，CB，它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn)，∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定義）在△DBE與△CAE中∵∴△DBE≌△CAE（AAS）4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線(xiàn)得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）八、連接四邊形的對(duì)角線(xiàn)，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC求證：AB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。證明：連接AC（或BD）∵AB∥CDAD∥BC（已知）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）在△ABC與△CDA中∵∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB＝CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）九、有和角平分線(xiàn)垂直的線(xiàn)段時(shí)，通常把這條線(xiàn)段延長(zhǎng)。例如：如圖9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延長(zhǎng)于E。求證：BD＝2CE分析：要證BD＝2CE，想到要構(gòu)造線(xiàn)段2CE，同時(shí)CE與∠ABC的平分線(xiàn)垂直，想到要將其延長(zhǎng)。證明：分別延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F?！連E⊥CF（已知）∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定義）在△BEF與△BEC中，∵4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD與△ACF中∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴BD＝2CE十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。分析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A＝∠D。證明：連接BC，在△ABC和△DCB中∵∴△ABC≌△DCB(SSS)∴∠A＝∠D(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)十一、取線(xiàn)段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求證：∠ABC＝∠DCB。分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。問(wèn)題得證。證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中∵4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全∴△ABN≌△DCN（SAS）∴∠ABN＝∠DCNNB＝NC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在△NBM與△NCM中∵∴△NMB≌△NCM，(SSS)∴∠NBC＝∠NCB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∴∠NBC＋∠ABN＝∠NCB＋∠DCN即∠ABC＝∠DCB。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全巧求三角形中線(xiàn)段的比值例1.如圖1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。解：過(guò)點(diǎn)D作DG如圖2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD解：過(guò)點(diǎn)C作CG如圖3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。解：過(guò)點(diǎn)B作BG如圖4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。解：過(guò)點(diǎn)D作DG如圖5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。2.如圖6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。答案：1、1：10；2.9：14141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全初中幾何輔助線(xiàn)一初中幾何常見(jiàn)輔助線(xiàn)口訣人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線(xiàn)。輔助線(xiàn)，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線(xiàn)平行線(xiàn)，等腰三角形來(lái)添。角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看。線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，常向兩端把線(xiàn)連。線(xiàn)段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線(xiàn)段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線(xiàn)。三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線(xiàn)。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線(xiàn)段，添線(xiàn)平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線(xiàn)段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線(xiàn)，比例中項(xiàng)一大片。圓形半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線(xiàn)，切點(diǎn)圓心半徑連。切線(xiàn)長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線(xiàn)，半徑垂線(xiàn)仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線(xiàn)弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線(xiàn)。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線(xiàn)夢(mèng)圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線(xiàn)。若是添上連心線(xiàn)，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。注意點(diǎn)輔助線(xiàn)，是虛線(xiàn)，畫(huà)圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全切勿盲目亂添線(xiàn)，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線(xiàn)。二由角平分線(xiàn)想到的輔助線(xiàn)口訣：圖中有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線(xiàn)平行線(xiàn)，等腰三角形來(lái)添。角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看。角平分線(xiàn)具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱(chēng)性；b、角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線(xiàn)的輔助線(xiàn)的作法，一般有兩種。①?gòu)慕瞧椒志€(xiàn)上一點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)；②利用角平分線(xiàn)，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線(xiàn)；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線(xiàn)（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問(wèn)題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見(jiàn)的定理所涉及到的輔助線(xiàn)作以介紹。如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線(xiàn)段、角相等創(chuàng)造了條件。如圖1-2，ABAC。3．已知：如圖2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全AE=（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180?。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。例1．已知：如圖2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90?,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過(guò)F作FH證：BD=2CE。分析：給出了角平分線(xiàn)給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，可延長(zhǎng)此垂線(xiàn)與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3．已知：如圖3-3在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線(xiàn)，過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線(xiàn)，可得EA⊥AF，從而有BF12ACDBBDCAABECD已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：△ABC是直角三角形。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全CAB2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥ACABDC123．已知CE、AD是△ABC的角平分線(xiàn)，∠B=60°，求證：AC=AE+CDAEBDC4．已知：如圖在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，求證：BC=AB+ADABCD三由線(xiàn)段和差想到的輔助線(xiàn)口訣：線(xiàn)段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線(xiàn)段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線(xiàn)段等于另兩條線(xiàn)段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線(xiàn)段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線(xiàn)段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線(xiàn)段，然后證明新線(xiàn)段等于長(zhǎng)線(xiàn)段。對(duì)于證明有關(guān)線(xiàn)段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線(xiàn)段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線(xiàn)段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）在△BDM中，MB+MD>BD；（2）在△CEN中，CN+NE>CE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE∴AB+AC>BD+DE+EC（法二：圖1-2）延長(zhǎng)BD交AC于F，廷長(zhǎng)CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）GF+FC>GE+CE（同上）（2）DG+GE>DE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE∴AB+AC>BD+DE+EC。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全一、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC>∠BAC。分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC證法二：連接AD，并廷長(zhǎng)交BC于F，這時(shí)∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。二、有角平分線(xiàn)時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線(xiàn)，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在△DBE和△NDE中：DN=DB（輔助線(xiàn)作法）∠1=∠2（已知）ED=ED（公共邊）∴△DBE≌△NDE（SAS）4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全∴BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在△EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）∴BE+CF>EF。注意：當(dāng)證題有角平分線(xiàn)時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。一、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線(xiàn)。例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線(xiàn)段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PB-PNPB-PC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中AN=AC（輔助線(xiàn)作法）∠1=∠2（已知）AP=AP（公共邊）∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵在△BPN中，有PB-PNPM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)∴AB-AC>PB-PC。DAECB例1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180o例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DC。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全MBDCA例4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線(xiàn)，DM⊥AB于M，且AM=MB。求證：CD=DB。1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。EDCBA2.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線(xiàn)，且B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE四由中點(diǎn)想到的輔助線(xiàn)口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線(xiàn)。三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線(xiàn)、中位線(xiàn)、加倍延長(zhǎng)中線(xiàn)及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)、等腰三角形底邊中線(xiàn)性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。（一）、中線(xiàn)把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ΔABC的中線(xiàn)，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因?yàn)棣BD與ΔACD是等底同高的）。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全例1．如圖2，ΔABC中，AD是中線(xiàn)，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線(xiàn)。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。解：因?yàn)锳D是ΔABC的中線(xiàn)，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中線(xiàn)，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中線(xiàn)，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=?！唳DF的面積為。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線(xiàn)例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交EF的延長(zhǎng)線(xiàn)G、H。求證：∠BGE=∠CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，∵M(jìn)E是ΔBCD的中位線(xiàn)，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵M(jìn)F是ΔABD的中位線(xiàn)，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全（三）、由中線(xiàn)應(yīng)想到延長(zhǎng)中線(xiàn)例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線(xiàn)AD=2，求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。在ΔACD和ΔEBD中， ∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而B(niǎo)E=AC=3。在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，∴BD===，故BC=2BD=2。例4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，AD又是BC邊上的中線(xiàn)。求證：ΔABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD。仿例3可證：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)例5．如圖6，已知梯形ABCD中，ABBADC86BECDADMCDEDADBDABDCEF2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是，線(xiàn)段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由． （二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;AB＝AC+BD3：如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線(xiàn)。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：5:如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PC4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全中考應(yīng)用（08海淀一模）（三）、平移變換為△ABC的角平分線(xiàn)，直線(xiàn)MN⊥AD于為MN上一點(diǎn)，△ABC周長(zhǎng)記為，△EBC周長(zhǎng)記為.求證＞.2：如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.（四）、借助角平分線(xiàn)造全等1：如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線(xiàn)AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全2：（06鄭州市中考題）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).中考應(yīng)用（06北京中考）如圖①，OP是∠MON的平分線(xiàn)，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線(xiàn)，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。 （五）、旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全2：D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。（1）當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。3.如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為；中考應(yīng)用（07佳木斯）已知四邊形中，，，，，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線(xiàn)段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．（圖1）（圖2）（圖3）4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線(xiàn)AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.（09崇文一模）在等邊的兩邊AB、AC所在直線(xiàn)上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線(xiàn)AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系．圖1圖2圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)；（II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明； （III）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，若AN=，則Q=（用、L表示）．4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全六梯形的輔助線(xiàn)口訣：梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀酢Ｆ揭蒲?，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線(xiàn)。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過(guò)做輔助線(xiàn)，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見(jiàn)的幾種輔助線(xiàn)的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。平移對(duì)角線(xiàn)。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。中位線(xiàn)與腰中點(diǎn)連線(xiàn)。4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全（一）、平移1、平移一腰：例1.如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的長(zhǎng).解：過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E.又AB∥CD，所以四邊形BCDE是平行四邊形.所以DE＝BC＝17，CD＝BE.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.即CD＝8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。解：過(guò)點(diǎn)B作BMABDCEH4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.解：四邊形ABCD是等腰梯形.證明：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，如圖所示.∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠DAB＝∠CBA.∴EA＝EB.又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.又AD不平行于BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形.（三）、作對(duì)角線(xiàn)即通過(guò)作對(duì)角線(xiàn)，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6，在直角梯形ABCD中，ADABCDDEDFD4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全ABDCEFABCDEFMN若等腰梯形的銳角是60°，它的兩底分別為11cm，35cm，則它的腰長(zhǎng)為_(kāi)_________cm.2.如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（）A.19B.20C.21D.223.如圖所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，則梯形ABCD的面積為（）A.130B.140C.150D.160*4.如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，對(duì)角線(xiàn)AC與BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的長(zhǎng).4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全5.如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長(zhǎng).6.如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的長(zhǎng).7.如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的長(zhǎng).**8.如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中點(diǎn)，且AD＋BC＝CD，則DE與CE有何位置關(guān)系（ 2）E是∠ADC與∠BCD的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則DE與CE有何位置關(guān)系？4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全1．圓中作輔助線(xiàn)的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理。（2）若題目中有“弦的中點(diǎn)”和“弧的中點(diǎn)”條件時(shí)，一般連接中點(diǎn)和圓心，利用垂徑定理的推論得出結(jié)果。（3）若題目中有“直徑”這一條件，可適當(dāng)選取圓周上的點(diǎn)，連結(jié)此點(diǎn)與直徑端點(diǎn)得到90度的角或直角三角形。（4）連結(jié)同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線(xiàn)段，如圖1，圓O中，BD⊥OA于D，經(jīng)常是：①如圖1（上）延長(zhǎng)BD交圓于C，利用垂徑定理。②如圖1（下）延長(zhǎng)AO交圓于E，連結(jié)BE，BA，得Rt△ABE。圖1（上）圖1（下）（6）若題目中有“切線(xiàn)”條件時(shí)，一般是：對(duì)切線(xiàn)引過(guò)切點(diǎn)的半徑，（7）若題目中有“兩圓相切”（內(nèi)切或外切），往往過(guò)切點(diǎn)作兩圓的切線(xiàn)或作出它們的連心線(xiàn)（連心線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)）以溝通兩圓中有關(guān)的角的相等關(guān)系。（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經(jīng)常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形解決，有時(shí)還引兩連心線(xiàn)以得到結(jié)果。（9）有些問(wèn)題可以先證明四點(diǎn)共圓，借助于輔助圓中角之間的等量關(guān)系去證明。（10）對(duì)于圓的內(nèi)接正多邊形的問(wèn)題，往往添作邊心距，抓住一個(gè)直角三角形去解決。例題1：如圖2，在圓O中，B為的中點(diǎn)，BD為AB的延長(zhǎng)線(xiàn)，∠OAB=500，求∠CBD的度數(shù)。解：如圖，連結(jié)OB、OC的圓O的半徑，已知∠OAB=500∵B是弧AC的中點(diǎn)∴弧AB=弧BC∴AB==BC又∵OA=OB=OC∴△AOB≌△BOC（）圖2∴∠OBC=∠ABO=500∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800∴∠CBD=1800-500-5004141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全∴∠CBD=800答:∠CBD的度數(shù)是800.例題2:如圖3,在圓O中,弦AB、CD相交于點(diǎn)P，求證：∠APD的度數(shù)=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。證明：連接AC，則∠DPA=∠C+∠A∴∠C的度數(shù)=弧AD的度數(shù)∠A的度數(shù)=弧BC的度數(shù)∴∠APD=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。圖3一、造直角三角形法1.構(gòu)成Rt△,常連接半徑例1.過(guò)⊙O內(nèi)一點(diǎn)M,最長(zhǎng)弦AB=26cm,最短弦CD=10cm,求AM長(zhǎng);2.遇有直徑,常作直徑上的圓周角例2.AB是⊙O的直徑,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,過(guò)D作⊙O的切線(xiàn),交AC于E.求證:CE=AE;3.遇有切線(xiàn),常作過(guò)切點(diǎn)的半徑例3.割線(xiàn)AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F.求證:∠OAE=∠OBF;4.遇有公切線(xiàn),常構(gòu)造Rt△(斜邊長(zhǎng)為圓心距,一直角邊為兩半徑的差,另一直角邊為公切線(xiàn)長(zhǎng))例4.小⊙O1與大⊙O2外切于點(diǎn)A,外公切線(xiàn)BC、DE分別和⊙O1、⊙O2切于點(diǎn)B、C和D、E，并相交于P，∠P=60°。求證：⊙O1與⊙O2的半徑之比為1：3；5．正多邊形相關(guān)計(jì)算常構(gòu)造Rt△例5.⊙O的半徑為6,求其內(nèi)接正方形ABCD與內(nèi)接正六邊形AEFCGH的公共部分的面積.二、欲用垂徑定理常作弦的垂線(xiàn)段例6.AB是⊙O的直徑,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求證:EC=DF;(2)若AE=2,CD=BF=6,求⊙O的面積;三、轉(zhuǎn)換割線(xiàn)與弦相交的角，常構(gòu)成圓的內(nèi)接四邊形例7.AB是⊙O直徑,弦CD⊥AB,M是上一點(diǎn),AM延長(zhǎng)線(xiàn)交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于F.求證:∠F=∠ACM;四、切線(xiàn)的綜合運(yùn)用1．已知過(guò)圓上的點(diǎn)，常_________________例8.如圖，已知：⊙O1與⊙O2外切于P，AC是過(guò)P點(diǎn)的割線(xiàn)交⊙O1于A，交⊙O2于C，過(guò)點(diǎn)O1的直線(xiàn)AB⊥BC于B.求證：BC與⊙O2相切.4141 初中數(shù)學(xué)中考幾何如何巧妙做輔助線(xiàn)大全例9.如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于E，過(guò)E點(diǎn)作直線(xiàn)與AF垂直交AF延長(zhǎng)線(xiàn)于D點(diǎn)，且交AB于C點(diǎn)．求證：CD與⊙O相切于點(diǎn)E．2.兩個(gè)條件都沒(méi)有,常___________________例10.如圖，AB是半圓的直徑，AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN＝AB，求證:直線(xiàn)MN與半圓相切；例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底邊中點(diǎn)D為圓心的圓切AB邊于E點(diǎn).求證:AC與⊙D相切;例12．菱形ABCD兩對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O，⊙O與AB相切。求證：⊙O也與其他三邊都相切；五、兩圓相關(guān)題型1．兩圓相交作_____________________例13.⊙O1與⊙O2相交于A、B，過(guò)A點(diǎn)作直線(xiàn)交⊙O1于C點(diǎn)、交⊙O2于D點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作直線(xiàn)交⊙O1于E點(diǎn)、交⊙O2于F點(diǎn).求證:CE∥DF;2.相切兩圓作________________________例14.⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P,過(guò)P點(diǎn)的直線(xiàn)分別交⊙O1與⊙O2于A、B兩點(diǎn)，AC切⊙O1于A點(diǎn)，BC交⊙O2于D點(diǎn)。求證：∠BAC=∠BDP；3．兩圓或三圓相切作_________________例15.以AB=6為直徑作半⊙O,再分別以O(shè)A、OB為直徑在半⊙O內(nèi)作半⊙O1與半⊙O2，又⊙O3與三個(gè)半圓兩兩相切。求⊙O3的半徑；4．一圓過(guò)另一圓的圓心，作____________例16.兩個(gè)等圓⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，且⊙O1過(guò)點(diǎn)O2，過(guò)B點(diǎn)作直線(xiàn)交⊙O1于C點(diǎn)、交⊙O2于D點(diǎn).求證：△ACD是等邊三角形；六、開(kāi)放性題目例17．已知：如圖，以的邊為直徑的交邊于點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)平分邊．（1）與是否相切？請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并說(shuō)明理由． ·劉項(xiàng)原來(lái)不讀書(shū)(魏伯河)·高考恢復(fù)三十年回顧：幾多歡欣幾多愁()·萬(wàn)寧調(diào)研（二）——大茂初級(jí)中學(xué)(吳益平)·如何引導(dǎo)學(xué)生"開(kāi)口說(shuō)"(梁珠)·高考改革三十年：在迷霧中尋找方向()·我要做太陽(yáng)(☆無(wú)淚￠淚痕)·上海是怎樣取得高考自主權(quán)的()·教學(xué)拾萃（一）(文昌市會(huì)文中心小學(xué)華春雨)4141