【類型綜述】數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈，動(dòng)態(tài)幾何問題是近年來中考的熱點(diǎn)問題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，動(dòng)態(tài)問題的解答，一般要將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，抓住運(yùn)動(dòng)過程中的不變量，利用不變的關(guān)系和幾何性質(zhì)建立關(guān)于方程（組）、函數(shù)關(guān)系問題，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。在動(dòng)態(tài)問題中，動(dòng)點(diǎn)形成的等腰三角形問題是常見的一類題型，可以與旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱等幾何變化相結(jié)合，也可以與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象相結(jié)合，從而產(chǎn)生數(shù)與形的完美結(jié)合.解決動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行準(zhǔn)確的分類.【方法揭秘】我們先回顧兩個(gè)畫圖問題：1．已知線段AB＝5厘米，以線段AB為腰的等腰三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？2．已知線段AB＝6厘米，以線段AB為底邊的等腰三角形ABC有多少個(gè)？頂點(diǎn)C的軌跡是什么？已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個(gè)點(diǎn)以外，都是頂點(diǎn)C．已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，垂足要除外．在討論等腰三角形的存在性問題時(shí)，一般都要先分類．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快．幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么；③如圖3，如果CA＝CB，那么．代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)．如果三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．11 圖1圖2圖3【典例分析】例1．如圖，拋物線y=ax2-2ax+b經(jīng)過點(diǎn)C（0，-），且與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，若tanACO=．（1）求此拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），MPQ=45，射線PQ與線段BM交于點(diǎn)Q，當(dāng)△MPQ為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．例2如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1例3如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．11 （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1[來源:Z|xx|k.Com]例4如圖1，已知一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B．[來源:ZXXK]（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l//y軸．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度，沿O—C—A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．①當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．例5如圖1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，點(diǎn)E是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線，過點(diǎn)A作AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，連接DB，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC＝，求AB、BD的長；11 （2）如圖1，求證：HF＝EF．[來源:]（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，請說明理由．圖1圖2例6如圖1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從A向C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從A→B→C方向運(yùn)動(dòng)，它們到C點(diǎn)后都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，求P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值；（2）經(jīng)過t秒的運(yùn)動(dòng)，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在時(shí)間t，使得△PQC為等腰三角形．若存在，求出此時(shí)的t值，若不存在，請說明理由．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）圖1【變式訓(xùn)練】1．如圖，坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)A(2，－1)，O為原點(diǎn)，P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果以點(diǎn)P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()第9題圖(A)2(B)3(C)4(D)511 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B（5，0），有一動(dòng)點(diǎn)P在直線AB上，△APO是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有（）A﹒2個(gè)B﹒3個(gè)C﹒4個(gè)D﹒5個(gè)3．如圖，點(diǎn)A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°。若點(diǎn)M是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，要使△ABM為等腰三角形，則所有符合條件的點(diǎn)M有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)4．如圖，等腰三角形的面積是16，且底邊長為4，腰的垂直平分線分別交邊于點(diǎn).若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值是()[來源:Z#xx#k.Com]A．6B．8C．10D．125．如圖，是⊙的直徑，是弦，，．若點(diǎn)是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，__________．6．如圖，已知點(diǎn)P是射線ON上一動(dòng)點(diǎn)（即P可在射線ON上運(yùn)動(dòng)），∠AON＝30°，當(dāng)∠A＝______________?時(shí)，△AOP為等腰三角形．7．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+4與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（0，2），點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．若△MCD是以CD為底的等腰三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_____．11 8．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點(diǎn)E在邊AB上，AE=3，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為.9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，4），點(diǎn)P為線段BC上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△POA為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)p坐標(biāo)為______________．三、解答題10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在軸正半軸上，邊，（）的長分別是方程的兩個(gè)根，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合）.（1）填空：AB=　　，OA=　?。?）若動(dòng)點(diǎn)D滿足△BOC與△AOD相似，求直線的解析式.（3）若動(dòng)點(diǎn)D滿足，且點(diǎn)為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAD是等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．11 11．如圖，直線：交、軸分別為、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．動(dòng)點(diǎn)、分別在線段、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），滿足.（1）點(diǎn)坐標(biāo)是　　，　　．（2）當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，，說明理由．（3）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．12．如圖，已知拋物線（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M也是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且△MAC為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．13．在中，，，，⊙的半徑長為1，⊙交邊于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，將⊙繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到⊙，請判斷⊙與直線的位置關(guān)系；（4分）11 （2）如圖2，在（1）的條件下，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長；（5分）（3）如圖3，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，如果以為半徑的⊙和以為半徑的⊙外切，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及定義域．（5分）．14．如圖，已知一次函數(shù)的圖像與x軸交于A（-6,0）與y軸相交于點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿x軸向x軸的正方向運(yùn)動(dòng).（1）求b的值，并求出△PAB為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）在點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q也從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度，沿射線AB運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）；①點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含t的表達(dá)式表示）；②若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒k個(gè)單位，請直接寫出當(dāng)△APQ為等腰三角形時(shí)k的值.15．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，若．（1）求此拋物線的解析式；11 （2）若拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），，射線與線段交于點(diǎn)，當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．16．如圖，已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（﹣2，﹣3）在拋物線上．[來源:]（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求出PA+PD的最小值；（3）若拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)M，使△ABM的面積等于△ABC的面積，求M點(diǎn)坐標(biāo)．（4）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在動(dòng)點(diǎn)Q，使得△BCQ為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．17．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、，點(diǎn)坐標(biāo)為．求該拋物線的解析式；拋物線的頂點(diǎn)為，在軸上找一點(diǎn)，使最小，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若平行于軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．問：是否存在這樣的直線，使得是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．18．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中,.11 該拋物線與軸交于點(diǎn),與軸交于另一點(diǎn).(1)求的值及該拋物線的解析式;(2)如圖2.若點(diǎn)為線段上的一動(dòng)點(diǎn)(不與重合).分別以、為斜邊,在直線的同側(cè)作等腰直角△和等腰直角△,連接,試確定△面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).(3)如圖3.連接、,在線段上是否存在點(diǎn),使得以為頂點(diǎn)的三角形與△相似,若存在,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.19．如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對(duì)稱軸為直線l：x=2，過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線的解析式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.20．如圖，直線y=﹣x﹣4與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，其中A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為﹣1和﹣4，且拋物線過原點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；11 （2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）若點(diǎn)P是線段AB上不與A，B重合的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥OA，與拋物線第三象限的部分交于一點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，若S△BGF=3S△EFP，求的值．11