§5.5波動的基本特征平面簡諧波的波函數(shù)(Thebasiccharacterofwavemotionandwavefunctionofsimpleharmonicplanewave)5.5.1波的產(chǎn)生與傳播5.5.2波動的幾何描述5.5.3描述波動的物理量5.5.4平面簡諧波的波函數(shù)(1),5.5.1波的產(chǎn)生與傳播(Theformandpropagationofwave)1.機械波的產(chǎn)生與傳播?機械波產(chǎn)生與傳播的條件:波源(sourceofwaves)媒質(zhì)(medium)(2)所謂波動就是振動在空間的傳播,波傳播到的空間稱為波場(wavefield),波場中任意點的物理狀態(tài)隨時間作周期性的變化。彈性媒質(zhì)中，機械振動由近及遠地傳播出去，形成機械波。,橫波質(zhì)點振動方向?波的傳播方向(僅在固體中)注意波的傳播是振動狀態(tài)或相位、能量(而不是質(zhì)點)的遷移?橫波與縱波(transverseandlongitudinalwaves)(3)縱波質(zhì)點振動方向//波的傳播方向（固液氣中）,1.波面(wavesurface)和波前(wavefront):在波場中某一時刻,振動相位相同的點形成的曲面稱為波面,最前面的波面稱為波前(也叫波陣面)。2.波線(waveline):波的傳播方向稱為波射線,簡稱波線。各向同性均勻媒質(zhì)中波線總是垂直于波面5.5.2波動的幾何描述(Geometricaldescriptionofwavemotion)(4)平面波波線球面波柱面波波面波線波面波線波面,1.波長(wavelength)?:同一波線上相位差為2?的兩點之間的距離。2.周期T:波傳播一個波長距離所需的時間或一個完整波通過波線上某一點所用時間(5)5.5.3描述波動的物理量(Thephysicalquantumofdescribingwavemotion)3.頻率?:單位時間內(nèi)波所傳播距離中所含完整波的數(shù)目或單位時間內(nèi)通過波線上某一點完整波的數(shù)目?,4.波的傳播速度(velocityofwave):u?波速:振動狀態(tài)在空間中傳播速度或相速(phasevelocity)?機械波的波速決定于媒質(zhì)特性:慣性:?彈性:彈性模量(線變,切變等)線變模量(又叫楊氏模量)(Y)(6)?l/l:線應變F/S:應力固體中縱波的波速:胡克定律lDlSFFOxy?,2)波速u與振動速度dy/dt的區(qū)別。3)波速u僅與媒質(zhì)的性質(zhì)有關,而與波源無關。4)頻率?與波源的性質(zhì)有關,而與媒質(zhì)無關。5)波長?=u/?與波源和媒質(zhì)有關。注意(7)1)波長反映了波的空間周期性。周期表征了波的時間周期性。,(8)5.5.4平面簡諧波的波函數(shù)(重點)(Thewavefunctionofsimpleharmonicplanewave)1.平面簡諧波的波函數(shù)空間中任意點的位移隨時間的變化稱為波函數(shù)。其數(shù)學函數(shù)為波線波線簡諧振動在空間的傳播所形成的波，稱為簡諧波(simpleharmonicwave)。波面為平面的簡諧波稱為平面簡諧波。(2)平面簡諧波各處振幅相同。說明(1)復雜的波可分解為一系列簡諧波；,uP(x)(1)沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波函數(shù):y—波射線上某質(zhì)元離開平衡位置的位移設己知O點振動方程P點振動方程:(9)xyO約定:O點振動狀態(tài)傳到P點,需時間:波函數(shù)或波動表達式,或角波數(shù)(angularwavenumber)角波數(shù)的意義:1)2?長度內(nèi)所含完整波長的數(shù)目;2)相間單位長度的二個質(zhì)元的相位差?；?10)波函數(shù)中,?和–kx+?的物理意義?時間周期性的量空間周期性的量每經(jīng)過一個周期T,波就向前推進一個波長?。形象地說:波動是許多質(zhì)元以一定的相位關系進行的集體振動。,(2)沿x軸負方向傳播平面簡諧波的波函數(shù):設己知O點振動方程P(x)u(11)xyO或或P點振動方程:P點振動狀態(tài)比O點超前時間：波函數(shù)或波動表達式,波函數(shù)給出x=x0位置的質(zhì)元振動方程,即y=y(x0,t)(2)當t=t0取一定值時,已知任意點x0的振動方程y=Acos(?t+?),波函數(shù)為波函數(shù)給出波線上任意x處質(zhì)元在t=t0時刻的位移,即y=y(x,t0)波形方程,可繪出波形圖(y-x圖)。2.討論波函數(shù)的意義:(1)當x=x0取一確定的值時,(12)y-AOAxt=t0(3)更一般的平面簡諧波的波函數(shù),(3)x,t均為變量時波函數(shù)給出波線上任一質(zhì)元在任一時刻的位移。x-AOAxtyt時刻x處相位:t+?t時刻x+?x處相位:說明經(jīng)歷?t某相位從x處傳到x+?x處。可見振動狀態(tài)(相位)沿波線在向前傳播,所以稱為行波(travelingwave)(13)t+?t,1.己知波函數(shù)1)求:A、?、?、u;2)畫任一時刻波形圖;3)畫任一質(zhì)元振動圖。2.己知某時刻波形圖1)能寫出波函數(shù);2)畫出另一時刻波形圖。3.己知某質(zhì)元振動圖1)可寫出該質(zhì)元振動方程;2)寫出波函數(shù)。(14)xabxa4.求相位差熟練掌握,(15)例1:己知x=1m處質(zhì)元的振動方程:y=Acos(?t+?/2)波速為u,求:沿x軸正(負)方向傳播的波的波函數(shù)?解:用相位傳播和相位差概念寫出任意質(zhì)元的振動方程yxO1PuP點比x=1m點的相位落后?(x－1)/u,即?1－?P=?(x－1)/u2)波沿x軸負方向傳播yxO1PP點比x=1m點的相位超前?(x－1)/uu波源在什么位置?若波源在x=1m處,如何?1)沿x軸正方向傳播的波?1?P,例2:一根很長的弦線中傳播的橫波,波函數(shù)為:y=6.0cos(0.02?x+4?t)式中x,y單位:cmt單位:s求1)A,?,?,u;2)t=4.2s時各波峰位置的坐標,計算此時離原點最近一個波峰的位置,該波峰何時通過原點?3)寫出質(zhì)元振動速度表達式;4)t=2s時的波形圖。解:1)與y=Acos(?t+2?x/?)比較,得(16)A=6.0[cm],2?/?=0.02???=100[cm]?=?/2?=2[Hz]?u=??=200[cm/s]2)t=4.2s時各波峰位置由位移y=6.0cm決定,即0.02?x+4?×4.2=2k??x=100k－840k=0,±1,±2,…k=8時,x=－40[cm]離原點最近。設此波峰在t'時通過原點,即0.02?×0+4?t'=2×8??t'=4[s]y-40O6.0xt=4.2sut?,3)位于x處的質(zhì)元的振動速度為4)t=2s時(17)yxOA-At=2sx=?/4:y=0x=0:y=6cmyxOA-AyO或用旋轉矢量法:??=0由y=6.0cos(0.02?x),例3:一列波,?=500Hz,u=350m/s求1)同一時刻相位差為?/2的二個質(zhì)元最近距離;2)同一質(zhì)元相間10-3s的二個位移的相位差是多少?2)(18)解:1),例4:平面簡諧波沿x軸負向傳播,圖為t=0時的波形圖己知u=12m/s,求1)A,?,T;2)波函數(shù);3)t=1/60s波形圖解:1)A=5[cm]2)y(19)x=0的振動方程:波函數(shù):uOy(cm)x(cm)52.56.6746.67,(20)3)t=1/60s時波形圖:x(cm)Oy(cm)5-5uyt=0t=1/60s-2.5或利用行波的概念,波形曲線向左移動的距離為?x=ut=20cm,例5:一簡諧波沿x軸正向傳播,T=4s,?=4m,x=0處質(zhì)元振動曲線如右圖,求:(1)寫出x=0處質(zhì)元振動方程(2)寫出波動表達式(3)畫出t=1s時刻波形圖Ot(s)y(10-2m)4y解:(1)(2)(3)t=1s時方程(21)y(10-2m)x(m)u,§5.6波的能量(energyofwave)目的:討論波是如何傳播能量的?5.6.1波的能量傳播特征5.6.2波的能流與能流密度(22),uOx棒上取小質(zhì)元ab:長dx(小質(zhì)元的自然長度)某時刻t,a離開其平衡位置x處的位移:yb離開其平衡位置x+dx處的位移:y+dyab質(zhì)元的伸長量:dy;ab質(zhì)元的線應變:?y/?x1.波的能量(waveenergy)以平面簡諧縱波為例細棒:截面:S質(zhì)量密度:?縱波沿棒長度方向傳播(23)uOxaxbx+dxyy+dy5.6.1波的能量傳播特征(Thetransmittingcharacterofwaveenergy),(1)(2)(3)由(1)得:由(2)得:由(3)得:(24)因質(zhì)元ab很小,ab上各點振動速度視為相等(設為v)ab質(zhì)元中能量:,代入上式得:(25)注意:質(zhì)元的勢能由質(zhì)元的線應變決定,1)波動過程中,質(zhì)元中的動能與勢能總是“相等且同相”,即同時達到最大,又同時達到最小。定量分析:速度最大時:質(zhì)點過平衡位置時動能最大!此時的線應變(決定勢能):也最大!同理可證:質(zhì)元動能最小時,勢能也最小。注意(26),2)質(zhì)元中的機械能(是否守恒?)每個質(zhì)元不斷地從前方吸收能量,向后方放出能量,隨波形的傳播伴隨著能量傳播。質(zhì)元中的能量隨時間周期性變化;注意:波動中質(zhì)元的動能和勢能的這種關系不同于孤立的振動系統(tǒng)。(27)這些點處質(zhì)元的線應變最大(波形曲線斜率最大)這些點處質(zhì)元的線應變最小(波形曲線斜率最小),2.波的能量密度(energydensityofwave)?波的能量密度:波場中單位體積內(nèi)的能量?平均能量密度:彈性波均成立(28),(29)5.6.2波的能流與能流密度(Theenergyflowandenergyflowdensityofwave)uxS(u與S垂直)?平均能流:能流在一個周期內(nèi)平均值?波的能流P:單位時間內(nèi)通過媒質(zhì)中某面積(S)的能量稱為通過該面積的能流。1.波的能流與平均能流(energyflowandaverageenergyflowofwave),2.波的能流密度與平均能流密度(energyflowdensityandaverageenergyflowdensityofwave)?能流密度:通過垂直于波動傳播方向單位面積的能流?平均能流密度或波的強度(waveintensity)I定義:能流密度在一個周期內(nèi)的平均值(30)各類波都適用(如機械波,電磁波等)波的強度為通過垂直波動傳播方向單位面積的功率單位:W/m²,例6:試證明在均勻無吸收的媒質(zhì)中傳播,球面波的振幅滿足:A1r1=A2r2;其中A1表示離波源的距離為r1處的振幅,A2表示離波源的距離為r2處的振幅。OS1S2r1r2波面波線證:由能量守恒,可知在一個周期內(nèi)通過S1和S2面的能量相等。設I1為r1處的平均能流密度,I2為r2處的平均能流密度,則I1S1T=I2S2T(31)說明:均勻無吸收媒質(zhì)中,平面波振幅滿足:A1=A2設r1=1m時，振幅為A1,則球面簡諧波的波函數(shù)為,§5.7波的疊加(superpositionofwaves)(32)5.7.1惠更斯原理5.7.2波的疊加原理5.7.3波的干涉5.7.4駐波5.7.5半波損失,(33)5.7.1惠更斯原理(Huygensprinciple)惠更斯(C.Huygens,1629-1695)荷蘭人球面波平面波惠更斯原理:波的傳播過程中,波陣面(波前)上的每一點都可看作是發(fā)射子波的波源,在其后的任一時刻,這些子波的包跡面(即子波的共切面)就成為新的波陣面。t+?t波面t+?t波面t時刻波面t時刻波面,(34)?用惠更斯原理解釋波的衍射波在傳播過程中遇到障礙物時，能夠繞過障礙物邊緣而傳播的現(xiàn)象稱為波的衍射(diffractionofwave)。,5.7.2波的疊加原理(superpositionprincipleofwaves)波的獨立性:一列波的振幅、頻率、波長、振動方向和傳播方向,不因其它波的存在而有所改變。波的疊加原理:幾列波在傳播過程中相遇時,相遇點的振動位移為各波單獨引起振動位移的矢量和。波的疊加原理對強度很大的波不適用。注意(35),無振動振動最強振動最強無振動無振動振動最強振動最強5.7.3波的干涉(interferenceofwave)(36),1.干涉現(xiàn)象:兩列波在空間相遇處合振動出現(xiàn)穩(wěn)定的加強或減弱的現(xiàn)象2.相干波源(coherentwavesources):相干波源s1,s2振動方程:(37)3.相長干涉和相消干涉:S1?S2?Py相干條件頻率相同振動方向平行相位差恒定極大極小極大極大極小極小極小,P二列波單獨在P點引起的振動分別為:P點合振動:(38)Py,注意1)最大,相長干涉(constructiveinterference)最小,相消干涉(destructiveinterference)如:A1=A2則A=0(39)相位差是波強分布的關鍵,2)如?1=?2波程差(wavepathdifference)最大最小(40),例7:s1,s2為均勻無吸收的同一媒質(zhì)中的二個平面簡諧相干波源?1=?2=100Hz,A1=A2=10cm,波速均為u=20m/s,s1較s2超前?/2求:1)兩列波在p1點的分振動方程及合振幅;2)兩列波在p2點的分振動方程及合振幅。解:?=2??=200?,設:?1=?/2,?2=00.3m•s1•p1•s20.5m0.45m•p2xO1)s1:s2:(41),2)s1:(42)s2:0.3m•s1•p1•s20.5m0.45m•p2xO,1s2s··xO(43)例8:有二個相干波源s1和s2,振幅相等且不隨距離變化,頻率均為100Hz,相位差為?,二者相距30m,波速均為400m/s,求:s1、s2連線之間靜止各點的位置?解:設s1、s2之間靜止的點為x首先寫出s1和s2的波函數(shù):?x,Example:Whatisthesmallestradiusrthatresultsinanintensityminimumatthedetector.Solution:Forr=rminwehaveD?=p,whichisthesmallestphasedifferenceforadestructiveinterferencetooccur.Thus(44),5.7.4駐波(standingwave)1.何謂駐波兩列振幅相同的相干波在同一直線上沿相反方向傳播彼此相遇疊加而形成的波。電動音叉+-(47)波節(jié)(wavenode)波腹(waveloop)右行波左行波演示1演示2,駐波表達式2.駐波分析合成波:(48),駐波的振幅隨x作空間周期性變化,但不隨時間而變。3.駐波的特征1)駐波各點的振幅特征:波腹坐標:波節(jié)坐標:2)駐波各點的相位特征:相鄰兩節(jié)點間的所有質(zhì)點同相,節(jié)點兩側質(zhì)點反相。(49)yx,3)駐波各點的能量特征:(50)xy當介質(zhì)中質(zhì)點的位移最大時,質(zhì)點的能量都是勢能。ABxyAB勢能曲線動能曲線當質(zhì)點到達平衡位置時,質(zhì)點的能量都是動能。勢能集中在波節(jié)附近動能集中在波腹附近駐波能量轉化,(51)反射面波從波疏進入波密介質(zhì)反射面波從波密進入波疏介質(zhì)5.7.5半波損失(half-waveloss)對于機械波,設?、u分別為介質(zhì)的密度和波在介質(zhì)中傳播的速度,??u的大小決定是波密還是波疏介質(zhì)。對于電磁波,設n為介質(zhì)的折射率,n的大小決定是波密還是波疏介質(zhì)。,一般言之,當波在兩種媒質(zhì)界面上反射時,設?1、?2、u1和u2分別為兩種媒質(zhì)的密度和波在兩種媒質(zhì)中傳播的速度。若?1u1<?2u2(從波疏介質(zhì)進入波密介質(zhì)),且垂直入射或掠入射時,反射波中產(chǎn)生“半波損失”(half-waveloss),界面出現(xiàn)節(jié)點,稱為半波反射。若?1u1>?2u2(從波密介質(zhì)進入波疏介質(zhì)),且垂直入射或掠入射時,反射波中無“半波損失”,界面出現(xiàn)腹點,稱為全波反射。(52)?兩端固定拉緊的弦線上的駐波:駐波示意圖Ln=1n=2n=3駐波頻率:,解:1)入射波的波函數(shù):反射波在反射點c處(有半波損失)的振動方程:(53)例9:如圖,一平面余弦波沿x軸正向傳播,在x=L處有一無能損的理想反射面,已知入射波坐標原點振動方程為求:1)反射波的波函數(shù)；2)合成波的波腹和波節(jié)位置。OxLuuc反射波的波函數(shù):,OxLuu(54)2)利用相位差求合振動的極大值與極小值波節(jié)位置:波腹位置:,波動基本要求1.理解機械波產(chǎn)生的條件和相位傳播的概念;了解波長、波速和波頻率的意義、相互關系和決定因素。2.理解波函數(shù)及波形曲線的意義,熟練掌握用相位傳播的概念寫出平面簡諧波的波函數(shù)。3.理解平面簡諧波中質(zhì)元動能與彈性勢能的關系;理解波的能量密度、能流、能流密度及波的強度的概念。4.了解惠更斯原理及其對波的傳播方向的說明。5.理解波的疊加原理和相干條件,理解干涉現(xiàn)象;熟練掌握干涉強弱的計算及其分布規(guī)律。6.理解駐波特點和形成條件;知道半波損失。(55),機械波波的產(chǎn)生與傳播描述波的物理量波動過程的描述波的產(chǎn)生條件:波源、彈性媒質(zhì)波的分類:按媒質(zhì)質(zhì)元振動方向與波傳播方向關系分:橫波、縱波按波面形狀分:平面波、球面波波長:?波速:u周期:T,頻率:?u=??=?/T幾何描述解析描述波線、波面、波前(波陣面)波動曲線平面簡諧波表達式:(56),波動過程的能量傳播機械波波在媒質(zhì)中的傳播規(guī)律媒質(zhì)體積元的總能量:動能和勢能:平均能流密度(波的強度):波的干涉相干條件:頻率相同、振動方向相同和相位差恒定干涉結果:??=2k?k=0,±1,±2,…極大??=(2k+1)?k=0,±1,±2,…極小駐波方程:半波損失惠更斯原理疊加原理多普勒效應(57)