中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法技巧：最短距離訓(xùn)練（含答案）方法技巧專題十　最短距離訓(xùn)練探究平面內(nèi)最短路徑的原理主要有以下兩種：一是“垂線段最短”，二是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．立體圖形上的最短路徑問題需借助平面展開圖轉(zhuǎn)化為平面問題．求平面內(nèi)折線的最短路徑通常用軸對稱變換、平移變換或旋轉(zhuǎn)變換等轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的線段．一、選擇題1．[2016·蘇州]矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖F10－1所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，4)，D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，當(dāng)△CDE的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(　　)A．(3，1)B．(3，)C．(3，)D．(3，2)圖F10－1圖F10－2　　　2．[2015·遵義]如圖F10－2，在四邊形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為(　　)A．50°B．60°C．70°D．80°3．[2015·貴港]如圖F10－3，已知P是⊙O外一點(diǎn)，Q是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，連結(jié)OP，OM.若⊙O的半徑為2，OP＝4，則線段OM的最小值是(　　)A．0B．1C．2D．3圖F10－3圖F10－44．[2017·天津]如圖F10－4，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的兩條中線，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長等于BP＋EP最小值的是(　　),A．BCB．CEC．ADD．AC5．[2017·萊蕪]如圖F10－5，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝120°，M是BC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，P是對角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB＋PM的值最小時(shí)，PM的長是(　　)A.B.C.D.圖F10－5圖F10－66．[2017·烏魯木齊]如圖F10－6，點(diǎn)A(a，3)、B(b，1)都在雙曲線y＝上，點(diǎn)C，D分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，則四邊形ABCD周長的最小值為(　　)A．5B．6C．2＋2D．87．[2016·雅安]如圖F10－7，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足為E，ED＝3BE，點(diǎn)P，Q分別在BD，AD上，則AP＋PQ的最小值為(　　)A．2B.C．2D．3圖F10－7圖F10－88．[2016·安徽]如圖F10－8，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長的最小值為(　　)A.B．2C.D.二、填空題9．[2016·東營]如圖F10－9，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC>AB，點(diǎn)D在BC上，以AC為對角線的平行四邊形ADCE中，DE的最小值是________．圖F10－9,10．[2017·德陽]如圖F10－10，已知⊙C的半徑為3，圓外一定點(diǎn)O滿足OC＝5，點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過O的直線l上有兩點(diǎn)A、B且OA＝OB，∠APB＝90°，l不經(jīng)過點(diǎn)C，則AB的最小值為________．圖F10－10三、解答題11．[2017·德陽]如圖F10－11，函數(shù)y＝的圖象與雙曲線y＝(k≠0，x>0)相交于點(diǎn)A(3，m)和點(diǎn)B.(1)求雙曲線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P在y軸上，連結(jié)PA、PB，求當(dāng)PA＋PB的值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．圖F10－11,12．把△EFP按如圖F10－12所示的方式放置在菱形ABCD中，使得頂點(diǎn)E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上．已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4.(1)求∠EPF的大?。?2)若AP＝6，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)，P分別在線段AB，AD，AC上運(yùn)動(dòng)，請直接寫出AP長的最大值和最小值．圖F10－12參考答案,1．B　[解析]如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)H，連結(jié)CH與AB的交點(diǎn)為E，此時(shí)△CDE的周長最小．∵D(，0)，A(3，0)，∴H(，0)，可求得直線CH的解析式為y＝－x＋4，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3，)．故選B.2．D3．B　[解析]連結(jié)OQ，設(shè)線段OP與⊙O相交于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN是△POQ的中位線，∴MN＝OQ＝1.當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)N重合時(shí)，OM＝3；當(dāng)點(diǎn)Q是射線PO與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，OM＝1.∴OM的最小值是1.故選B.4．B　[解析]連結(jié)PC.由AB＝AC，可得△ABC是等腰三角形，根據(jù)“等腰三角形的三線合一性質(zhì)”可知點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對稱，BP＝CP，因此連結(jié)CE，BP＋CP的最小值為CE，故選B.5．A　[解析]連結(jié)BD、DM，DM交AC于點(diǎn)P，則此時(shí)PB＋PM的值最?。^點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作ME∥BD交AC于點(diǎn)E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°.又∵DC＝BC，∴△BCD是等邊三角形．∴BF＝CF＝BC＝3.∴MF＝CF－CM＝3－2＝1，DF＝BF＝3.∴DM＝＝2.∵M(jìn)E∥BD，∴△CEM∽△COB.∴＝＝＝.又∵OB＝OD，∴＝.∵M(jìn)E∥BD，∴△PEM∽△POD.,∴＝＝，∴PM＝DM＝×2＝.故選A.6．B　[解析]∵點(diǎn)A(a，3)、B(b，1)都在雙曲線y＝上，∴a＝1，b＝3，∴A(1，3)、B(3，1)，則AB＝＝＝2.作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B1，連結(jié)A1B1，交y軸于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，則A1(－1，3)、B1(3，－1)，A1B1＝＝＝4，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，四邊形ABCD周長的最小值是AB＋A1B1＝2＋4＝6，故選B.7．D　[解析]設(shè)BE＝x，則DE＝3x，∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2＝BE·DE，即AE2＝3x2，∴AE＝x.在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＝AE2＋DE2，即62＝(x)2＋(3x)2，解得x＝.∴AE＝3，DE＝3.如圖，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為A′，連結(jié)A′D，PA′，則A′A＝2AE＝6＝AD，AD＝A′D＝6，∴△AA′D是等邊三角形．∵PA＝PA′，∴當(dāng)A′，P，Q三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，A′P＋PQ最?。纱咕€段最短可知當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，A′P＋PQ最小，∴AP＋PQ＝A′P＋PQ＝A′Q＝DE＝3，故選D.8．B　[解析]首先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連結(jié)OC與⊙O交于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問題．∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°.∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP＋∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°.∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連結(jié)OC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC的長最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，,∴OC＝＝5，∴PC＝OC－OP＝5－3＝2.∴PC長的最小值為2.故選B.9．4　[解析]∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴BC∥AE，∴當(dāng)DE⊥BC時(shí)，DE最短．此時(shí)∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵∠B＝90°，∴四邊形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝4，∴DE的最小值為4.故答案為4.10．4　[解析]連結(jié)OP、OC、PC，則有OP≥OC－PC，當(dāng)O、P、C三點(diǎn)共線的時(shí)候，OP＝OC－PC.∵∠APB＝90°，OA＝OB，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，∴⊙O與⊙C相切的時(shí)候，OP取到最小值，此時(shí)OP＝OC－CP＝2，∴AB＝2OP＝4.11．解：(1)由點(diǎn)A(3，m)在直線y＝2x上，得m＝6，則A(3，6)，代入y＝得到k＝18.聯(lián)立解得或(舍)，則點(diǎn)B(6，3)．(2)如圖所示，作A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′(－3，6)，連結(jié)PA′，則PA′＝PA，∴PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，當(dāng)A′，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PB有最小值，∵A′(－3，6)，B(6，3)，∴A′B＝3，∴PA＋PB的最小值為3.設(shè)A′B：y＝kx＋b，將B(6，3)，A′(－3，6)，代入y＝kx＋b，得解得,得A′B：y＝－x＋5，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5，即當(dāng)PA＋PB取得最小值的時(shí)候，P的坐標(biāo)為(0，5)．12．解：(1)如圖①，作PQ⊥EF于點(diǎn)Q，∵EP＝FP＝4，EF＝4，∴QF＝QE＝2.∴cos∠QFP＝＝，∴∠QFP＝30°.∴∠QEP＝∠QFP＝30°，∴∠EPF＝120°.(2)如圖②，將△PAF繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得△PA′E，作PM⊥AA′，垂足為M，在等腰三角形PAA′中，AM＝APcos∠PAA′＝6cos30°＝3，∴AA′＝2AM＝2×3＝6.即AE＋AF＝6.(3)最大值是8，最小值是4.