中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法技巧：45°角與正切值（含答案）方法技巧專題九　45°角與正切值一、選擇題1．如圖F9－1，直線y＝x＋3交x軸于A點，交y軸于B點．將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于原點O，另兩個頂點M、N恰落在直線y＝x＋3上．若N點在第二象限內(nèi)，則tan∠AON的值為(　　)圖F9－1A.B.C.D.二、填空題2．如圖F9－2，△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝91，CD＝35，則AD的長度為________．圖F9－23．如圖F9－3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(－1，0)，B(0，2)，點C在第一象限，∠ABC＝135°，AC交y軸于D，CD＝3AD，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點C，則k的值為________．圖F9－3圖F9－44．[2017·金華]如圖F9－4，已知點A(2，3)和點B(0，2)，點A在反比例函數(shù)y＝的圖象上．作射線AB，再將射線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，交反比例函數(shù)圖象于點C，則點C的坐標(biāo)為________．三、解答題5．如圖F9－5，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，點P到點A，B和D的距離分別為1，2，.△ADP沿點A旋轉(zhuǎn)至△ABP′，連結(jié)PP′，并延長AP與BC相交于點Q.,(1)求證：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小；(3)求CQ的長．圖F9－56．如圖F9－6，拋物線y＝ax2＋bx－4a經(jīng)過A(－1，0)，C(0，4)兩點，與x軸交于另一點B.(1)求拋物線的解折式；(2)已知點D(m，m＋1)在第一象限的拋物線上，求點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，連結(jié)BD，點P為拋物線上一點，且∠DBP＝45°，求點P的坐標(biāo)．圖F9－6,7．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝2，且與x軸交于A、B兩點．與y軸交于點C.其中A(1，0)，C(0，－3)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖F9－7，若點P在拋物線上運(yùn)動(點P異于點A)，當(dāng)∠PCB＝∠BCA時，求直線CP的解析式．圖F9－78．如圖F9－8，拋物線y＝－x2＋bx＋c與直線y＝x＋2交于C、D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標(biāo)為(3，)．點P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F.(1)求拋物線的解析式；(2)若存在點P，使∠PCF＝45°，求點P的坐標(biāo)．圖F9－89．如圖F9－9，拋物線y＝x2－4x＋3與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點，點P在拋物線上，PD⊥BC于點D，垂足D,在線段BC上．若＝，求點P的坐標(biāo)．圖F9－9參考答案,1．A　[解析]過O作OC⊥AB于C，過N作ND⊥OA于D，∵N在直線y＝x＋3上，∴設(shè)N的坐標(biāo)是(x，x＋3)，則DN＝x＋3，OD＝－x.y＝x＋3，當(dāng)x＝0時，y＝3，當(dāng)y＝0時，x＝－4，∴A(－4，0)，B(0，3)，即OA＝4，OB＝3，在△AOB中，由勾股定理得AB＝5，∵在△AOB中，由三角形的面積公式得：AO×OB＝AB×OC，∴3×4＝5OC，∴OC＝.∵在Rt△NOM中，OM＝ON，∠MON＝90°，∴∠MNO＝45°，∴sin45°＝＝，∴ON＝，在Rt△NDO中，由勾股定理得ND2＋DO2＝ON2，即(x＋3)2＋(－x)2＝()2，計算得出x1＝－，x2＝，∵N在第二象限，∴x只能是－，x＋3＝，即ND＝，OD＝，tan∠AON＝＝.所以A選項是正確的．2．169　3.94．(－1，－6)　[解析]如圖，過點A作AH⊥AB交x軸于點H，過點D分別作DE⊥AB，DF⊥AH，垂足分別為E，F(xiàn).設(shè)AB的解析式為y＝kx＋b，把點A(2，3)和點B(0，2)分別代入，得,解得∴y＝x＋2.令y＝0，則x＋2＝0，得x＝－4.∴G(－4，0)，∴OG＝4，OB＝2.∵點A(2，3)，OG＝4，可得AG＝3.∵∠BGO＝∠AGH，∠GOB＝∠GAH＝90°，∴△BOG∽△HAG，∴＝，即＝，∴AH＝.由△AGH的面積，可得×3GH＝AG·AH，即3GH＝3×，得GH＝.∴OH＝GH－OG＝.∵AH⊥AB，∠GAC＝45°，∴AD平分∠GAH.∵DE⊥AB，DF⊥AH，∴DE＝DF＝AF.由△AGH的面積，可得DE·AG＋DF·AH＝AG·AH，即(3＋)DF＝×3×，∴DF＝，∴AF＝，F(xiàn)H＝－＝.∴DH＝＝，∴OD＝OH－DH＝－＝1，∴D(1，0)．設(shè)直線AD的解析式為y＝mx＋n，把點A(2，3)，D(1，0)代入，得解得∴y＝3x－3.把點A(2，3)代入y＝，得y＝.由得或(舍去)，∴點C的坐標(biāo)為(－1，－6)．5．解：(1)證明：∵△ABP′是由△ABP順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴AP＝AP′，∠PAP′＝90°，,∴△APP′是等腰直角三角形．(2)∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠APP′＝45°，PP′＝，又∵BP′＝，BP＝2，∴PP′2＋BP2＝BP′2，∴∠BPP′＝90°.∵∠APP′＝45°，∴∠BPQ＝180°－∠APP′－∠BPP′＝45°.(3)過點B作BE⊥AQ于點E，則△PBE為等腰直角三角形，∴BE＝PE，BE2＋PE2＝PB2，∴BE＝PE＝2，∴AE＝3，∴AB＝＝，則BC＝.∵∠BAQ＝∠EAB，∠AEB＝∠ABQ＝90°，∴△ABE∽△AQB，∴＝，即＝，∴AQ＝，∴BQ＝＝，∴CQ＝BC－BQ＝.6．解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx－4a經(jīng)過A(－1，0)、C(0，4)兩點，∴解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋3x＋4.,(2)∵點D(m，m＋1)在拋物線上，∴m＋1＝－m2＋3m＋4，即m2－2m－3＝0∴m＝－1或m＝3，∵點D在第一象限，∴點D的坐標(biāo)為(3，4)．由(1)知OC＝OB，∴∠CBA＝45°.設(shè)點D關(guān)于直線BC的對稱點為點E.∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，∴∠ECB＝∠DCB＝45°，∴E點在y軸上，且CE＝CD＝3，∴OE＝1，∴E(0，1)，即點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標(biāo)為(0，1)．(3)作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，由(1)有OB＝OC＝4，∴∠OBC＝45°.∵∠DBP＝45°，∴∠CBD＝∠PBA.∵C(0，4)，D(3，4)，∴CD∥OB且CD＝3，∴∠DCE＝∠CBO＝45°，∴DE＝CE＝.∵OB＝OC＝4，∴BC＝4，∴BE＝BC－CE＝，∴tan∠PBF＝tan∠CBD＝＝.設(shè)PF＝3t，則BF＝5t，OF＝5t－4，∴P(－5t＋4，3t)．∵P點在拋物線上，∴3t＝－(－5t＋4)2＋3(－5t＋4)＋4，∴t＝0(舍去)或t＝，∴P(－，)．7．解：(1)因為拋物線經(jīng)過點A(1，0)，C(0，－3)，對稱軸為直線x＝2，,所以可列方程組解得所以拋物線的解析式為y＝－x2＋4x－3.(2)如圖所示，延長直線CP交x軸于點Q.因為點B(3，0)，C(0，－3)，所以O(shè)B＝OC，即∠OCB＝∠OBC＝45°，因為直線CP經(jīng)過點C，所以可設(shè)直線CP的方程為y＝kx－3.令∠OCA＝α，則∠ACB＝∠OCB－α＝45°－α，因為∠BCP＝∠ACB＝45°－α，所以∠OQC＝∠OBC－∠BCP＝45°－(45°－α)＝α，所以∠OCA＝∠OQC，又因為∠QOC＝∠COA，所以△AOC∽△COQ，故＝＝，所以O(shè)Q＝3OC＝9，即點Q的坐標(biāo)為(9，0)，因為直線CP經(jīng)過點Q，所以k×9－3＝0，解得k＝，所以直線CP的解析式為y＝x－3.8．解：(1)由拋物線過點C(0，2)，D(3，)，可得解得所以拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋2.(2)設(shè)P(m，－m2＋m＋2)．如圖，當(dāng)點P在CD上方且∠PCF＝45°時，作PM⊥CD于點M，CN⊥PF于點N，則△PMF∽△CNF，,∴＝＝＝2，∴PM＝CM＝2CF.∴PF＝FM＝CF＝×CN＝CN＝m.又∵PF＝－m2＋3m，∴－m2＋3m＝m.解得m1＝，m2＝0(舍去)，∴P(，)．當(dāng)點P在CD下方且∠PCF＝45°時，同理可以求得另外一點為P(，)．9．解：令y＝0，則x2－4x＋3＝0，∴x1＝1，x2＝3，∴B(3，0)．當(dāng)x＝0時，y＝3，∴C(0，3)，∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°.連結(jié)CP，則tan∠PCD＝＝2，作PE⊥y軸于E，連接PC.∴∠BCE＝135°，過C點作CH∥x軸，作P點作PH∥y軸，兩直線交于H點，CH交PD于G點，設(shè)CD的長為x，則PD＝2x，PG＝x，CE＝PH＝x，PE＝CH＝x＋x.∴tan∠PCE＝3.設(shè)CE＝a，則PE＝3a，∴P(3a，3＋a)，代入拋物線方程得3＋a＝9a2－12a＋3，∴a＝，∴P(，)．