中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法技巧：角平分線訓(xùn)練（含答案）方法技巧專題七　角平分線訓(xùn)練1．與角平分線有關(guān)的判定和性質(zhì)(1)角平分線的判定和性質(zhì)．(2)角平分線的夾角：①三角形兩內(nèi)角的平分線的夾角等于90°與第三角一半的和；②三角形兩外角的平分線的夾角等于90°與第三角一半的差；③三角形一內(nèi)角與另一外角的平分線的夾角等于第三角的一半．(3)三角形的內(nèi)心及其性質(zhì)．(4)圓中弧、圓心角、圓周角之間的關(guān)系．2．與角平分線有關(guān)的圖形或輔助線(1)角平分線“加”平行線構(gòu)成等腰三角形．(2)角平分線“加”垂線構(gòu)成等腰三角形．(3)過角平分線上的點(diǎn)作邊的垂線．一、選擇題1．[2017·臺(tái)州]如圖F7－1，點(diǎn)P是∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，垂足為D.若PD＝2，則點(diǎn)P到邊OA的距離是(　　)A．1B．2C.D．4圖F7－1圖F7－22．[2017·眉山]如圖F7－2，在△ABC中，∠A＝66°，點(diǎn)I是內(nèi)心，則∠BIC的大小為(　　)A．114°B．122°C．123°D．132°3．如圖F7－3，半圓O的直徑AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，則AD的長(zhǎng)為(　　)A．4cmB．3cmC．5cmD．4cm圖F7－3　　　4．如圖F7－4，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分線分別交AD，AC,于點(diǎn)E，F(xiàn)，則的值是(　　)圖F7－4A.－1B．2＋C.＋1D.5．[2017·濱州]如圖F7－5，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)．若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：(1)PM＝PN恒成立．(2)OM＋ON的值不變．(3)四邊形PMON的面積不變．(4)MN的長(zhǎng)不變，其中正確的個(gè)數(shù)為(　　)圖F7－5A．4　　　　B．3C．2　　　　D．1二、填空題6．[2015·常德]如圖F7－6，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC＝________度．圖F7－6圖F7－77．[2016·寧夏]如圖F7－7，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，且BE＝3，若平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是16，則EC等于________．8．[2017·十堰]如圖F7－8，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分線交⊙O于D，若AC＝6，BD＝5，則BC的長(zhǎng)為________．,圖F7－8　　　　9．[2015·巴中]如圖F7－9，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分別為△ABC的中線和角平分線，過點(diǎn)C作CH⊥AE于點(diǎn)H，并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連結(jié)DH，則線段DH的長(zhǎng)為________．圖F7－910．如圖F7－10，在?ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分別為∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分線，AE與DM相交于點(diǎn)F，BE與CM相交于點(diǎn)N，連結(jié)EM.若?ABCD的周長(zhǎng)為42cm，F(xiàn)M＝3cm，EF＝4cm，則EM＝________cm，AB＝________cm.圖F7－10三、解答題11．[2017·鹽城]如圖F7－11，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分線BE，DF分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：四邊形BEDF為平行四邊形；(2)當(dāng)∠ABE為多少度時(shí)，四邊形BEDF是菱形？請(qǐng)說明理由．圖F7－11,12．[2017·臨沂]如圖F7－12，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E.(1)求證：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑．圖F7－1213．[2016·濱州]如圖F7－13，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連結(jié)ED，DG.(1)請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，點(diǎn)H是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HG＋HC的最小值．圖F7－13,參考答案1．B　2．C　[解析]因?yàn)辄c(diǎn)I是內(nèi)心，所以∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，因此∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝180°－(180°－66°)＝123°.3．A　[解析]連結(jié)BC，OD相交于點(diǎn)E，連結(jié)BD，BC＝8cm，BE＝4cm，OE＝3cm，DE＝2cm，BD＝2cm，AD＝4cm.4．C　[解析]如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G.依題意可知△ABC是等腰直角三角形，∴△AFG也是等腰直角三角形．設(shè)FG＝1，則AG＝1，AF＝.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝22.5°.∴∠AEB＝90°－∠ABE＝67.5°，∠AFE＝∠CAB＋∠ABE＝67.5°.∴∠AEB＝∠AFE，∴AE＝AF＝，∴EG＝－1.∵FG⊥AD，∠DAB＝90°，∴FG∥AB.∴＝＝＝＋1.故選C.5．B　[解析]結(jié)論(1)，過點(diǎn)P分別作OA、OB的垂線段，由于∠PEO＝∠PFO＝90°，因此∠AOB與∠EPF互補(bǔ)，由已知“∠MPN與∠AOB互補(bǔ)”，可得∠MPN＝∠EPF，可得∠MPE＝∠NPF.根據(jù)“角平分線上一點(diǎn)到角兩邊距離相等”，可證PE＝PF，即可證得Rt△PME≌Rt△PNF，因此對(duì)于結(jié)論(1)，“PM＝PN”由全等即可證得是成立的；結(jié)論(2)，也可以由全等得到ME＝NF，即可證得OM＋ON＝OE＋OF，由于OE＋OF保持不變，因此OM＋ON的值也保持不變；結(jié)論(3)，由“Rt△PME≌Rt△PNF”可得這兩個(gè)三角形的面積相等，因此四邊形PMON的面積與四邊形PEOF的面積始終相等，因此結(jié)論(3)是正確的；結(jié)論(4)，連結(jié)EF，對(duì)于△PMN與△PEF，這兩個(gè)三角形都是等腰三角形，且頂角相等，但由于腰長(zhǎng)不等，因此這兩個(gè)三角形不可能全等，所以底邊MN與EF不可能相等．所以MN的長(zhǎng)是變化的．,6．70　7.28．8　[解析]連結(jié)DA，因?yàn)?ang;ACB＝90°，所以AB為直徑，所以∠ADB＝90°，因?yàn)镃D平分∠ACB，所以BD＝AD，在△ABD中，AB＝＝＝10，在△ABC中，BC＝＝＝8.9．110．5　13　[解析]∵四邊形EFMN有三個(gè)角是直角，∴四邊形EFMN是矩形，∴EM＝5.易知△ADF≌△CBN，△AFD∽△AEB.∴＝＝，即3AF＝4DF.設(shè)AF＝4k，則DF＝3k，AD＝5k，AB＝5(k＋1)．∵AD＋AB＝21，∴5k＋5(k＋1)＝21，解得k＝1.6.∴AB＝13.11．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD.∴∠ABD＝∠CDB.∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB.∴∠EBD＝∠FDB.∴BE∥DF.又∵BC∥AD，∴四邊形BEDF是平行四邊形．(2)當(dāng)∠ABE＝30°時(shí)，四邊形BEDF是菱形．理由如下：∵BE平分∠ABD，∠ABE＝30°，∴∠ABD＝60°，∠DBE＝30°.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠ADB＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°.∴∠DBE＝∠ADB.∴DE＝BE.∵四邊形BEDF是平行四邊形，∴四邊形BEDF是菱形．12．解：(1)證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.,又∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∴∠DBE＝∠BED，∴BD＝DE.(2)如圖，連結(jié)CD.∵∠BAC＝90°，∴BC是直徑，∴∠BDC＝90°.∵AD平分∠BAC，BD＝4，∴BD＝CD＝4，∴BC＝＝4，∴△ABC外接圓的半徑為2.13．解：(1)四邊形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四邊形EBGD是菱形．(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連結(jié)EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG＋HC最小，在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2，∴EM＝BE＝.∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM＝DN＝，MN＝DE＝2，在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，,∴∠NDC＝∠NCD＝45°，∴DN＝NC＝，∴MC＝3.在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，EM＝，MC＝3，∴EC＝＝＝10.∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC，∴HG＋HC的最小值為10.