30.3由不共線三點的坐標確定二次函數(shù)*導入新課講授新課當堂練習課堂小結(jié)第三十章二次函數(shù) 學習目標1.會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式.(難點）2.會根據(jù)待定系數(shù)法解決關(guān)于二次函數(shù)的相關(guān)問題.（重點） 導入新課復習引入1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)有幾個待定系數(shù)？通常需要已知幾個點的坐標求出它的表達式？2.求一次函數(shù)表達式的方法是什么？它的一般步驟是什么？2個2個待定系數(shù)法(1)設(shè)：（表達式）(2)代：（坐標代入）(3)解：方程（組）(4)還原：（寫表達式） 講授新課特殊條件的二次函數(shù)的表達式一典例精析例1.已知二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象經(jīng)過點(2,3)和(－1,－3)，求這個二次函數(shù)的表達式．解:∵該圖象經(jīng)過點（2,3）和(－1,－3)，3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函數(shù)表達式為y=2x2－5.∴{a=2，c=－5.解得{關(guān)于y軸對稱 1.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過點(－2，8)和(－1，5)，求這個二次函數(shù)的表達式．解:∵該圖象經(jīng)過點（-2,8）和（-1,5），做一做圖象經(jīng)過原點8=4a-2b，5=a-b，∴{解得a=-1,b=-6.∴y=-x2-6x. 頂點法求二次函數(shù)的表達式二選取頂點（-2，1）和點（1，-8），試求出這個二次函數(shù)的表達式.解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達式是y=a(x-h)2+k,把頂點（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得y=a(x+2)2+1，再把點（1，-8）代入上式得a(1+2)2+1=-8，解得a=-1.∴所求的二次函數(shù)的表達式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3. 歸納總結(jié)頂點法求二次函數(shù)的方法這種知道拋物線的頂點坐標，求表達式的方法叫做頂點法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達式是y=a(x-h)2+k；②先代入頂點坐標，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將另一點的坐標代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達式. 例2一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)點(0,1)，它的頂點坐標為(8,9)，求這個二次函數(shù)的表達式.解：因為這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為(8,9)，因此，可以設(shè)函數(shù)表達式為y=a(x-8)2+9.又由于它的圖象經(jīng)過點(0,1)，可得0=a(0-8)2+9.解得∴所求的二次函數(shù)的解析式是 解：∵（-3，0）（-1，0）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點.所以可設(shè)這個二次函數(shù)的表達式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2為交點的橫坐標.因此得y=a(x+3)(x+1).再把點（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函數(shù)的表達式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.選取（-3，0），（-1，0），（0，-3），試出這個二次函數(shù)的表達式.交點法求二次函數(shù)的表達式三xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512 歸納總結(jié)交點法求二次函數(shù)表達式的方法這種知道拋物線與x軸的交點，求表達式的方法叫做交點法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把兩交點的橫坐標x1,x2代入到表達式中，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將方程的解代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達式. 想一想確定二次函數(shù)的這三點應滿足什么條件？任意三點不在同一直線上（其中兩點的連線可平行于x軸，但不可以平行于y軸. 一般式法二次函數(shù)的表達式四探究歸納問題1（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中有幾個待定系數(shù)？需要幾個拋物線上的點的坐標才能求出來？3個3個（2）下面是我們用描點法畫二次函數(shù)的圖象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15 解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①選?。?3，0），（-1，0），（0，-3），試求出這個二次函數(shù)的表達式.9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.∴所求的二次函數(shù)的表達式是y=-x2-4x-3.待定系數(shù)法步驟：1.設(shè)：（表達式）2.代：（坐標代入）3.解：方程（組）4.還原：（寫解析式） 這種已知三點求二次函數(shù)表達式的方法叫做一般式法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c；②代入后得到一個三元一次方程組；③解方程組得到a,b,c的值；④把待定系數(shù)用數(shù)字換掉，寫出函數(shù)表達式.歸納總結(jié)一般式法求二次函數(shù)表達式的方法 例3一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,1)、(2,4)、(3,10)三點，求這個二次函數(shù)的表達式.解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達式是y=ax2+bx+c,由于這個函數(shù)經(jīng)過點(0,1)，可得c=1.又由于其圖象經(jīng)過(2,4)、(3,10)兩點，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解這個方程組，得∴所求的二次函數(shù)的表達式是 當堂練習1.如圖，平面直角坐標系中，函數(shù)圖象的表達式應是.注y=ax2與y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一樣都是頂點式，只不過前三者是頂點式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-4321-1345 2.過點（2，4），且當x=1時，y有最值為6，則其表達式是.頂點坐標是（1，6）y=-2(x-1)2+6 3.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求這個二次函數(shù)的表達式．解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達式為y＝ax2＋bx＋c．依題意得∴這個二次函數(shù)的表達式為y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，解得b＝3，c＝－4，a＝2， 4.已知拋物線與x軸相交于點A(－1，0)，B(1，0)，且過點M(0，1)，求此函數(shù)的表達式．解：因為點A(－1，0)，B(1，0)是圖象與x軸的交點，所以設(shè)二次函數(shù)的表達式為y＝a(x＋1)(x－1)．又因為拋物線過點M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求拋物線的表達式為y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1. 5.如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(－4，－3)，與y軸交于點B，對稱軸是x＝－3，請解答下列問題：(1)求拋物線的表達式；解：(1)把點A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵對稱軸是x＝－3，∴＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴拋物線的表達式是y＝x2＋6x＋5； (2)若和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點，點C在對稱軸左側(cè)，且CD＝8，求△BCD的面積．(2)∵CD∥x軸，∴點C與點D關(guān)于x＝－3對稱．∵點C在對稱軸左側(cè)，且CD＝8，∴點C的橫坐標為－7，∴點C的縱坐標為(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵點B的坐標為(0，5)，∴△BCD中CD邊上的高為12－5＝7，∴△BCD的面積＝×8×7＝28. 課堂小結(jié)①已知三點坐標②已知頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最值③已知拋物線與x軸的兩個交點已知條件所選方法用一般式法：y=ax2+bx+c用頂點法：y=a(x-h)2+k用交點法：y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2為交點的橫坐標）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式