27圓錐曲線的幾何性質(zhì)【2022屆新高考一模試題分類匯編】一、單選題1．（2022·貴州貴陽·一模（文））已知雙曲線C：的一條漸近線為，則C的離心率為（       ）A．B．C．2D．【答案】C【解析】雙曲線的漸近線為又雙曲線C：的一條漸近線為,所以所以雙曲線的離心率為故選：C2．（2022·新疆·一模（文））若雙曲線的左右焦點分別為，，點P為C的左支上任意一點，直線l是雙曲線的一條漸近線，，垂足為Q．當?shù)淖钚≈禐?時，的中點在雙曲線C上，則C的方程為（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，又，，雙曲線的漸近線方程為：，即，焦點到漸近線的距離為，即的最小值為b，即，不妨設(shè)直線OQ為：，，點，，的中點為，將其代入雙曲線C的方程，得：，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,即，解得：又，，，故雙曲線C的方程為．故選：B.3．（2022·廣西崇左·模擬預(yù)測（文））設(shè)為直線與雙曲線左支的交點，是左焦點，垂直于x軸，則雙曲線的離心率是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】依題意可知在第三象限，將代入，解得，所以，將其代入得，，利用離心率.選：D4．（2022·福建漳州·二模）倫敦奧運會自行車賽車館有一個明顯的雙曲線屋頂，該賽車館是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的雙曲線屋頂?shù)囊欢谓瓶闯呻x心率為的雙曲線上支的一部分，點F是C的下焦點，若點P為C上支上的動點，則與P到C的一條漸近線的距離之和的最小值為（     ）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】因為雙曲線的離心率為，所以，解得，則雙曲線方程為，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,所以下焦點，漸近線方程為，設(shè)上焦點為，則，由雙曲線的對稱性，不妨取一條漸近線為，設(shè)到的距離為，則與P到C的一條漸近線的距離之和為，因為的最小值為到漸近線的距離，所以的最小值為，即與P到C的一條漸近線的距離之和的最小值為5，故選：D5．（2022·江西·模擬預(yù)測（文））如圖，已知雙曲線的右焦點為F，以原點為圓心，焦距為直徑的圓交雙曲線于A，B兩點，線段經(jīng)過右焦點F，若，則該雙曲線的漸近線方程為（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，記左焦點為，連接，由雙曲線的對稱性得，由得，設(shè)，則，又，即，從而由得，，，從而，所以，化簡得，所以，漸近線方程為．故選：D．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,6．（2022·河南·新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測（文））由雙曲線上一點P向其漸近線作垂線，垂足分別為S，T，則四邊形OSPT的周長的最小值為（       ）．A．2B．4C．D．8【答案】B【解析】雙曲線的兩條漸近線分別為，，兩漸近線互相垂直，因此四邊形OSPT為矩形，周長為．設(shè)，點S在漸近線上，點T在漸近線上，則，即，由題意可知，到直線的距離為，即，到直線的距離為，即，顯然，故，當且僅當時，等號成立．所以四邊形OSPT的周長的最小值為4．故選：B.7．（2022·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測（理））如圖，唐金筐寶鈿團花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線C的一部分，若C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率，且點在C上，則雙曲線C的標準方程為（       ）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，設(shè)雙曲線C的標準方程為，半焦距c，則離心率，有，而點在C上，即，即，解得，所以雙曲線C的標準方程為.故選：B8．（2022·陜西周至·一模（文））已知點，點為拋物線的焦點，點在拋物線上移動，則的最小值為（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，如下圖所示：過點作直線的垂線，垂足為點，由拋物線的定義可得，所以，，由圖可知，當點、、三點共線時，即當與直線垂直時，取得最小值，且最小值為.故選：C.9．（2022·廣西崇左·模擬預(yù)測（理））已知為雙曲線學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,的左焦點，若雙曲線右支上存在一點，使直線與圓相切，則雙曲線離心率的取值范圍是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，兩邊平方并化簡得，雙曲線的一條漸近線為，由于在雙曲線的右支，所以，即，，.故選：A10．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1(a>b>0)的左、右焦點，O為坐標原點，點P在橢圓C上，延長PF2交橢圓C于點Q，且|PF1|=|PQ|，若PF1F2的面積為，則=（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由橢圓的定義，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,由余弦定理有：，化簡整理得：，又，由以上兩式可得：由，得，∴，又，所以F1PQ為等邊三角形，由橢圓對稱性可知軸，所以.故選：B.二、多選題11．（2022·海南·模擬預(yù)測）下列雙曲線的漸近線方程為的是（       ）A．B．C．D．【答案】AD【解析】A選項，的漸近線方程為，A正確；B選項，的漸近線方程為：，B錯誤；C選項，的漸近線方程為：，C錯誤；D選項，的漸近線方程為：，D正確.故選：AD12．（2022·廣東深圳·一模）已知定圓A的半徑為1，圓心A到定直線l的距離為d，動圓C與圓A和直線l都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線，記這兩拋物線的焦點到對應(yīng)準線的距離分別為，，則（       ）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,A．B．C．D．【答案】ABD【解析】動圓C與圓A和直線l都相切，當圓C與圓A相外切時，取到A的距離為d+1，且平行于l的直線，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點，以為準線的拋物線；當圓C與圓A相內(nèi)切時，取到A的距離為d-1，且平行于l的直線，則圓心C到A的距離等于圓心C到的距離，由拋物線的定義得：圓心C的軌跡是以A為焦點，以為準線的拋物線；所以，當時，拋物線不完整，所以，，，，故選：ABD13．（2022·福建福州·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，為上一點，則（       ）A．的離心率為B．的周長為C．D．【答案】CD【解析】對于A，由橢圓方程知：，，離心率，A錯誤；對于B，由橢圓定義知：，，的周長為，B錯誤；對于C，當為橢圓短軸端點時，，，，即，，C正確；對于D，，，，D正確.故選：CD.14．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知O為坐標原點，橢圓E的方程為，離心率為，為E上一點，過點A作兩條直線分別與E交于B，C兩點，且直線AB與直線AC學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,的傾斜角互補，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．橢圓E的長軸長為B．直線BC的斜率為定值C．點O到直線BC的距離為定值D．若，則直線BC的方程為【答案】BD【解析】對于選項A，由題意得，，結(jié)合，得，，所以橢圓E的長周長為，故A錯誤.對于選項B，由A得橢圓E的方程為，設(shè)，，由題意知直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，得，則，得，，即.因為直線AB與直線AC的傾斜角互補，所以直線AC的斜率為﹣k，同理可得，故直線BC的斜率，為定值，故B正確.對于選項C，由B知可設(shè)直線BC的方程為，則原點O到直線BC的距離，不是定值，故C錯誤.對于選項D，聯(lián)立直線BC與橢圓的方程，得，整理得，，即，則，，由，得，整理得，得，，此時直線BC的方程為，故D正確.故選：BD.15．（2022·山東濟寧·一模）已知雙曲線的左?右焦點分別為?，左?右頂點分別為?，點P是雙曲線C上異于頂點的一點，則（       ）A．B．若焦點關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點在C上，則C的離心率為C．若雙曲線C為等軸雙曲線，則直線的斜率與直線的斜率之積為1學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,D．若雙曲線C為等軸雙曲線，且，則【答案】BCD【解析】對于A,在中，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，故，故A錯誤；對于B，焦點，漸近線不妨取，即，設(shè)關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為，則，即得，即關(guān)于雙曲線C的漸近線的對稱點為，由題意該點在雙曲線上，故，將代入，化簡整理得：，即，所以，故，故B正確；對于C,雙曲線C為等軸雙曲線，即,設(shè)，則，則，故，故C正確；對于D,雙曲線C為等軸雙曲線，即,且,設(shè)，則，根據(jù)C的結(jié)論，即有，在三角形中，只有兩角互余時，它們的正切值才互為倒數(shù)，故，故D正確；故選：BCD三、填空題16．（2022·陜西·一模（文））已知直線與焦點在軸上的橢圓總有公共點，則b的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題意直線恒過定點，要使直線與焦點在x軸上的橢圓學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,總有公共點，則只需要點在橢圓上或橢圓內(nèi)，，又焦點在x軸上，..故答案為：．17．（2022·陜西周至·一模（文））若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率是________．【答案】2【解析】不妨取雙曲線的一條漸近線，即，則右焦點漸近線的距離，所以，則，所以雙曲線的離心率.故答案為：2.18．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））如圖，橢圓的左、右焦點分別為、，過點、分別作弦、．若，則的最小值為______．【答案】【解析】設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為，由于橢圓關(guān)于原點對稱，則點在橢圓上，因為既為的中點，也為線段的中點，故四邊形為平行四邊形，故且，因為且，故點與點重合，所以，，學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,由題意可知，直線不與軸重合，易知點，設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，，，所以，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.19．（2022·河南·新鄉(xiāng)縣高中模擬預(yù)測（文））已知橢圓，，分別為其左、右焦點，以為直徑的圓與橢圓E在第一象限交于點P，在第三象限交于點Q．若的面積為，則______．【答案】##【解析】如下圖所示：由對稱性知PQ為圓O的直徑，所以．又因為，，所以四邊形為矩形，所以．因為，，所以，，，則．故答案為：20．（2022·四川·成都七中二模（理））已知拋物線C：的焦點為F，點，過點F的直線與此拋物線交于A，B兩點，若．且，則p＝______．【答案】3學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,【解析】設(shè)直線，設(shè)，，聯(lián)立，整理可得：，可得，，所以，所以可得，所以，又為銳角，解得，設(shè)，如圖作軸交于，由題意可得在拋物線的準線上，作準線，作，垂足為，則，所以，所以，所以，所以．故答案為：3．學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司